高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案

1、空间向量及其运算课时分配: 第一课 空间向量及其加减运算 1个课时第二课 空间向量的数乘运算 1个课时第三课 空间向量的数量积运算 1个课时第四课 空间向量运算的坐标表示 1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。【教学重点】点在已知平面内的充要条件。共线、共面定理及其应用。【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。【学前准备】：多媒体，预习例题 教学课程 第一课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一

2、、复习引入1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量空间向量的运算2.定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）；3平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。4平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使。这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量的非零要求。注：（1）空间的一个平移就是一个向量；（2）向

3、量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量；（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。思考：运算律：（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）数乘分配律：二.探究新知（25分钟）1共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。和上节我们学习的空间向量的定义、表示方法、空间向量的相等以及空间向量的加减与数乘运算和运算律都是平面向量的推广一样，空间向量共线（平行）的定义也是平面向量相关知识的推广。当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。2共线向

4、量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使。推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 。其中向量叫做直线的方向向量。3向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。4共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使证明：（充分性）设向量不共线，与向量共面，根据平面向量的基本定理，一定存在实数使。（必要性）设存在实数使取空间任意一点M，作，则，

5、于是点P在平面MAB内，向量/平面MAB， 即与向量共面。推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有或 上面式叫做平面的向量表达式。由于空间中任意两个向量都是共面的，所以上述定理和推论仍然是平向量有关定理的推广，因此它们的证明只是需要先确定一个平面，转化为平面向量问题即可。 推论证明如下：/ 对于上任意一点P，存在唯一的实数t，使得。(*) 又对于空间任意一点O，有， 。 若在上取，则有。(*)又 。当时，。（1）表达式和都叫做空间直线的向量参数表示式，式是线段的中点公式。事实上，表达式(*)和(*)既是表达式和的基础，也是直线参数方程的表达形式。（2）表达式

6、和三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式。（3）推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定。三.巩固练习（20分钟）1 已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件：，试判断：点与是否一定共面？解：由题意：，即，所以，点与共面。2已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面。解：（1）四边形是平行四边形，共面；（2），又，所以，平面平面。四小结谈收获向量平行于平面和直线平行于平面是不同的，要注意其共同点与不同点；共面向量定理中，条件的必要性实际上就是平面向量基本定理，该定理说的是三个向量共面的性质，它在空间中也成立。五.布置作业完成课后习题1已知两个非零向量不共线，如果，

7、求证：共面。证明：，共面。2已知，若，求实数的值。解： 。3如图，分别为正方体的棱的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面。4已知分别是空间四边形边的中点，（1）用向量法证明：四点共面；（2）用向量法证明：平面。六教学反思 3.12空间向量的数乘运算【学前准备】：多媒体，预习例题【教学目标】1了解空间向量基本定理及其推论；2理解空间向量的基底、基向量的概念。理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出。3学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物。【教学重点】向量的分解（空间向量基本定理及其推论）【教学难点】空间作图 教学课程 第二课教学

8、环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）1空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。2空间向量的运算3平行六面体：4平面向量共线定理5共线向量6共线向量定理：7向量与平面平行：8共面向量定理注：（1）空间的一个平移就是一个向量。（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下；运算律：（1）加法交换律：（2）加法结合律：（3）数乘分配律：3平行六面体：平行四边形ABCD平移向量到的轨迹所形成的几何体，叫做平

9、行六面体，并记作：ABCD它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。4平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使。要注意其中对向量的非零要求。5共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作。当我们说向量、共线（或/）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。6共线向量定理：空间任意两个向量、（），/的充要条件是存在实数，使。推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零

10、向量的直线，那么对于任意一点O，点P在直线上的充要条件是存在实数t满足等式 。其中向量叫做直线的方向向量。空间直线的向量参数表示式：或，中点公式。 7向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的8共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有 或 上面式叫做平面的向量表达式二.探究新知（25分钟）1空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实

11、数组，使。证明：（存在性）设不共面，过点作；过点作直线平行于，交平面于点；在平面内，过点作直线，分别与直线相交于点，于是，存在三个实数，使，所以（唯一性）假设还存在使不妨设即 共面此与已知矛盾 该表达式唯一综上两方面，原命题成立。由此定理，若三向量不共面，则所有空间向量所组成的集合是，这个集合可以看作由向量生成的，所以我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使三.巩固练习（20分钟）1.已知空间四边形，其对角线，分别是对边的中点，点在线段上，且，用基底向量表示向量解：2如

12、图，在平行六面体中，分别是的中点，请选择恰当的基底向量证明：（1）（2）平面证明：取基底：，（1）， ， （2）， 由（1） ，平面四小结谈收获空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用。五.布置作业完成课后习题六教学反思 3.1.3空间向量的数量积运算【教学目标】1掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律2掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。【教学难点】空间向量的数量积运算教学难点：空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用【学前准备】：多媒体，预习例题 教学课程 第二课教学环节导

13、案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）1、 平面向量的夹角：2、 平面向量的数量积：二.探究新知（25分钟）1空间向量的夹角：已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；（1） 规定，（2） 显然有；（3），那么与同向；，那么与反向（4），则称与互相垂直，记作：；2、空间向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即思考：面直线及所成的角的范围? 注:两个向量的数量积是数量，而不是向量.规定:零向量与任意向量的数量积等于零3、 两个向量的数量积的几何意义4、 空间两个向量的数量积性质5、空间向量的数量积满足的运算律；思考：1、若，是否有成立？2、若，是否有，或

14、成立？3、向量数量积是否有结合律成立？三.巩固练习（20分钟）1：已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，如图所示，点E、F分别是AB、AD的中点，求(1) ；(2)； 如图，在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=4，AD=3，AA=5，BAD=，BAA=DAA=，求对角线AC的长解： 练习3、如图，线段AB，BD在平面内，BDAB，线段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D间的距离。四小结谈收获五.布置作业完成课后习题六教学反思 学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向

15、量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算。空间向量的正交分解及其坐标表示【教学目标】1巩固空间向量数量积的概念；2熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。【教学重点】应用空间向量数量积解决问题【教学难点】应用空间向量数量积解决问题【学前准备】：多媒体，预习例题 教学课程 第二课教学环节导案/学案师生互动/随堂测试备注一、复习引入（5分钟）1空间向量的概念2空间向量的运算3平行六面体：4平面向量共线定理5共线向量6共线向量定理7向量与平面平行8共面向量定理9空间向量基本定理10空间向量的夹角及其表示11向量的模12向量的数量积13空间向量数量积的性质： （1

16、）。（2）。（3）。14空间向量数量积运算律注：（1）空间的一个平移就是一个向量。（2）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。（1）。（2）。（3）。空间向量数量积运算律：（1）。（2）（交换律）。（3）（分配律）二.探究新知（25分钟）1已知线段在平面内，线段，若，求间的距离。解：（方法一）连结，在中，在中，所以，。（方法二）： 又，又，所以 。例2已知平行六面体中，求的长。解： 所以，。例3已知是边长为的正三角形所在平面外一点，且，分别是，的中点，求异面直线与所成角的余弦值。分析：要求异面直线与所成角的余弦值，

17、只要求与所成的角的余弦值，因此就要求以及，然后再用向量夹角公式求解。解：设，所以，异面直线与所成角的余弦值为。设出空间的一个基底后，求数量积的时候目标就更加明确了，只要将与都化为用基向量表示就可以了本题中与的夹角是异面直线与所成角的补角。4如图长方体中，为与的交点，为与的交点，又，求长方体的高。分析：本题的关键是如何利用这个条件，在这里可利用 将其转化为向量数量积问题。解法一：，所求高。解法二：设，则，则 0 即0，即所求高。三.巩固练习（20分钟）1设，且，求向量的模。2已知，问实数取何值时与垂直。3若，且，求的值。4在棱长为1的正方体中，分别是中点，在棱上，为的中点，（1）求证：；（2）求

18、所成角的余弦；（3）求的长。解：设，则，（1）， （2）， ，所以所成角的余弦为（3）的长为四小结谈收获利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题。五.布置作业完成课后习题六教学反思 空间向量运算的坐标表示【教学目标】1掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标；2掌握空间向量坐标运算的规律；3会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；4会用中点坐标公式解决有关问题。【教学重点】空间右手直角坐标系，向量的坐标运算。【教学难点】空间向量的坐标的确定及运算。 教学课程 第四课教学环节导案/学案师生互动/随堂测

19、试备注一、复习引入（5分钟）1平面向量的坐标表示 2平面向量的坐标运算3 ()的充要条件是x1y2-x2y1=04平面两向量数量积的坐标表示5平面内两点间的距离公式6向量垂直的判定7两向量夹角的余弦8空间向量的基本定理1平面向量的坐标表示 分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，2平面向量的坐标运算若，则，若，则3 ()的充要条件是x1y2-x2y1=04平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量

20、，那么，所以又，所以这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。5平面内两点间的距离公式（1）设，则或。（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)6向量垂直的判定设，则7两向量夹角的余弦（） cosa，b= cosq=8空间向量的基本定理：若是空间的一个基底，是空间任意一向量，存在唯一的实数组使。二.探究新知（25分钟）1空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴。我们称建

21、立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；（3）作空间直角坐标系时，一般使（或），；（4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系。2空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量，设为坐标向量，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作。 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，

22、叫竖坐标。3空间向量的直角坐标运算律：（1）若，则，。（2）若，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。1.已知，求，。解：，。例2求点关于平面，平面及原点的对称点解：在平面上的射影，在平面上的射影为， 点关于平面的对称点为，关于平面及原点的对称点分别为，。例3.在正方体中，分别是的中点，求证平面。证明：不妨设已知正方体的棱长为个单位长度，设，分别以为坐标向量建立空间直角坐标系，则， ，又，所以，平面。三.巩固练习（20分钟）1已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标分析：要求点E的坐标，过点E与x轴、y轴垂直的平面已存在，只要过E作平面垂直于z轴交E点，此时|x|y|z|，当的方向与x轴正向相同时，x0，反之x0，同理确定y、z的符号，这样可求得点E的坐标。解：D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，E(2，2，1)，F(0，1，0)2已知a(2，3，