二00六年湖南省高中数学竞赛B卷试题

1、.二00六年湖南省高中数学竞赛B卷试题（含参考答案及评分标准）一、选择题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知函数的图象过点（1,0），则的反函数一定过点（）A、（1,6）B、（6,1）C、（0,6）D、（6,0）2、已知在矩形ABCD中，AB2，BC3，则的模等于（）A、0B、5C、D、23、已知，且tan1，则cos（）A、B、C、D、4、在等差数列中，若a2a4a6a8a1080，则a7a8的值为（）A、4B、6C、8D、105、等于（）A、1B、2C、1D、26、设函数，f（2）9，则（）A、f（2）f（1）B、f（1）

2、f（2）C、f（1）f（2）D、f（2）f（2）7、已知，则下列k值中能使ABC是直角三角形的一个值是（）A、B、1C、1D、8、已知，且xy1，则的最小值是（）A、B、C、D、9、四边形各顶点位于一长为1的正方形的各边上，若四条边的平方和为t，则t的取值区间是（）A、1，2B、2，4C、1，3D、3，610、朝阳电器厂和红星电器厂2005年元月份的产值相等，朝阳电器厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，红星电器厂的产值也逐月增加，且每月增加的百分率相同，已知2006年元月份两厂的产值又相同，则2005年7月份，产值高的工厂是（）A、朝阳电器厂B、红星电器厂C、两厂一样D、无法确定二、填空题（

3、本大题共4个小题，每小题6分，共24分，请将正确的答案填在横线上）11、若ABC的三条中线AD、BE、CF相交于点M，则12、对于实数x，当且仅当nxn1（nN）时，规定xn，则不等式的解集为13、在数列中，2，设为数列的前n项和，则的值为14、在ABC中，AB，AC，BC，有一个点D使得AD平分BC并且ADB是直角，比值能写成的形式，这里m,n是互质的正整数，则mn三、解答题（本大量题共5小题，共66分，要求解答有必要的过程）15、（本大题12分）在ABC中，怭在，求的值16、（本大题12分）已知函数，x(1,（1）当a2时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x(1,，f（x）0恒成立，

4、试求实数a的取值范围17、（本大题12分）已知向量，且（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值，并求此时x的值18、（本大题15分）设是正数数列，其前n项和Sn满足（1）求数列的通项公式；（2）令，试求的前n项和Tn19、（本大题15分）2006年8月中旬，湖南省资兴市遇到了百年不遇的洪水灾害。在资兴市的东江湖岸边的O点处（可视湖岸为直线）停放着一只救人的小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15，速度为2.5km/h，同时岸上一人，从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上追的速度为4 km/h，在水中游的速度为2 km/h，问此人能否追上小船？若小船速度改变，则小船能被此人追上的最

5、大速度是多少？参考答案及评分标准一、ADCCCACCBA解析：1、的图象过（0,1），所以的图象过（6,1），它的反函数图象过（1,6）2、因为又所以23、结合易得4、因为a2a4a6a8a105a680所以a616a7a8a6d（a62d）a685、原式6、将x2代入得a，则，进而可以判断出f（2）f（1）7、若BAC是直角，则，得k若ABC是直角，则解得k若ACB是直角，则解得k58、由已知得，所以xymnabcd1x1y1m1n当且仅当，即时，取等号故当时，有最小值9、如图，t因为所以即同理所以即t的取值范围是2，410、设两个工厂2005年元月份的产值为a，朝阳电器厂每月增加的产值为d

6、，红星电器厂每月增加的百分率为q（q1），则a12d，两个工厂2005年7月份的产值分别为a6d和，而a6d，故产值高的工厂是朝阳电器厂。二、11、012、13、314、65解析：11、作图，设AB的中点为D，由平行四边形法则得所以012、解得，故所以13、当n为偶数时，故当n奇数时，故故DBCAE14、设BC中点为E，AD，由中线公式得AE故所以mn273865三、解答题15、由已知得（4分）（8分）（12分）16、（1）当a2时，f（x）在1，）上是增函数f（x）在1，）上有最小值f（1）8（5分）（2）在1，）上，恒成立，等价于恒成立，令则g（x）在1，）上是增函数，当x1时，有最小值6a由f（x）0恒成立，得6a0，故a6（12分）17、（1）02（5分）（2）当，即或时，取最小值18、（1）由及得，3由得（4分）故是以3为首项，2为公差的等差数列，故2n1（8分）（2）2n1Tn（15分）19、如图，设此人在岸上跑到A点后下水，在B处追上小船OAB设船速为v，人追上船的时间为t，人在岸上追船的时间为t的k倍（0k1），则人在水中游的时间为（1k）t故OA