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1、工程力学A(4) 材料力学（）,第 7 章 弯曲变形,第 7 章 弯曲变形,本章主要研究： 弯曲变形基本方程 计算梁位移的几种方法 积分法、叠加法 简单静不定梁分析 梁的合理刚度设计,第 7 章 弯曲变形,1 引言 2 梁变形基本方程 3 计算梁位移的积分法 4 计算梁位移的奇异函数法 5 计算梁位移的叠加法 6 简单静不定梁 7 梁的刚度条件与合理设计,1 引言梁变形的描述, 弯曲变形特点 挠度与转角,弯曲变形特点,挠曲轴是一条连续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响一般可忽略不计 因而横截面仍保持平面，并与挠曲轴正交., 轴线变为曲线，变

2、弯后的梁轴，称为挠曲轴，,挠曲轴,挠度与转角梁位移,转角,挠度,挠度与转角的关系,（小变形）,挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 w,挠曲轴方程,转角横截面的角位移,转角方程,（忽略剪力影响）,（rad）,挠度与转角梁位移,梁变形的描述：,小变形、不计剪切：,思考：,是否存在梁的轴向位移？ 梁微段dx变形如何?,梁微段dx变形,截面挠度、转角由各微段变形累加而成,2 梁变形基本方程, 挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程 挠曲轴的大致形状, 挠曲轴微分方程,（纯弯）,（非纯弯）挠曲轴曲率, w弯矩引起的挠度 smax sp,挠曲轴微分方程,梁的中性层曲率：, 挠曲轴近似微分方程,小变形时：,

3、小变形, 坐标轴 w 向上, 坐标轴 w 向下时, 位移边界条件与连续条件,位移边界条件与连续条件,约束处位移应满足的条件,梁段交接处位移应满足的条件,位移边界条件,位移连续条件,挠曲轴大致形状的绘制 直观变形分析,绘制依据, 满足变形基本方程, 满足位移边界条件 与连续条件,绘制方法与步骤, 画 M 图, 由位移边界条件确定挠曲轴的空间位置, 由 M 图的正负与零点，确定挠曲轴的凹凸与拐点，由弯矩大小确定曲率大小，即确定挠曲轴的形状。,注意挠曲轴的连续、光滑性,例 2-1 绘制图示梁挠曲轴的大致形状,F=2qa,例： 1.画剪力弯矩图 2.列挠曲线的位移和连续条件 3.画挠曲线大致形状(注明

4、凹凸性与拐点),位移与连续条件,试画出梁的挠度曲线的大致形状,3 计算梁位移的积分法, 挠曲轴微分方程的积分 与边界条件 积分法求梁位移 例题, 近似微分方程的积分与边界条件,挠曲轴近似微分方程的积分,位移边界条件与连续条件, 积分法求梁位移,计算图示梁截面 A 的转角，EI = 常数, 建立挠曲轴微分方程并积分, 利用边界条件确定积分常数, 计算w和转角,由条件 (1), (2) 与式 (b) ，得,（）, 例题3-1,EI = const(常数)试计算截面 B 的挠度与转角,A beam in pure bending,解:弯矩方程,挠曲轴近似微分方程,边界条件,求：梁的挠度与转角方程，以

5、及最大挠度和最大转角。,例3-2，已知：悬臂梁承受均布载荷。均布载荷集度为q ，梁的弯曲刚度为EI 、长度为l。,解：,建立坐标系（如图）。 弯矩可以用一个函数描述，无需分段。,在坐标为x的截面处截开，由右侧部分的平衡，得到弯矩方程：,梁的弯矩方程,建立微分方程并积分,将弯矩方程代入小挠度微分方程，得,积分，得,由约束条件确定积分常数,固定端处的约束条件为：,得到挠度与转角方程,确定最大挠度与最大转角,由挠度曲线看出，在自由端处，挠度和转角均为最大值。,将 x = l，分别代入挠度与转角方程，得到：,例题3-3：求挠曲轴微分方程,列挠曲线的位移边界和连续条件,AB段：,BC段:,位移边界条件和

6、连续条件,四个方程定4个常数,例7-4(书) 图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度为EI，受集中力P的作用，求梁任一截面的转角和挠度。,解： 由整体平衡得 FAx=0， FAy= Pb/l FBy= Pa/l,o,从而，截面的弯矩为,对于AC段，利用梁的挠曲线微分方程,同理，对CB段,得,由边界条件 和连续性条件,解得,得梁的挠曲线方程为,转角方程为,梁的最大转角：,当x =0时，转角为,当x =l时，转角为,于是，当a b时，最大转角为,梁的最大挠度: 梁的最大挠度发生在w= 0处,首先确定w=0的位置。当x =0时，转角A = wA0，而当x = a时，转角C,因此，当0xa时， 必存在w=

7、0的点x0。令,得,从而，梁的最大挠度为,极端情况：b0,因此，可用梁的中点挠度代替梁的最大挠度。,当a=b=l/2时，最大挠度发生在梁的中点 最大转角为,对于简支梁，不论受（F, q）作用，只要挠曲轴上无拐点（朝一个方向弯曲）,其最大挠度值可以用梁中点处的挠度值代替，即,其精确度能满足工程计算的要求。,5 计算梁位移的叠加法, 叠加法 逐段分析求和法 例题, 叠加法,方 法,当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和,分解载荷,问题,理论依据,上述线性微分方程的解，为下列微分方程解的组合,（小变形,比例极限内）,（小变形）,叠加法适用

8、范围：小变形,，比例极限内,叠加原理, 逐段分析求和法分段变形叠加, 分解梁, 分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移, 求位移之和（代数和或矢量和）,例：外伸梁 EI=const常数,求: wA,刚化AB段,刚化BC段,Solution II:两段分, 叠加法的应用,典型梁的基本变形,任意梁的变形,载荷叠加,分段变形叠加,加附加载荷,简支梁、悬臂梁,三种典型载荷,例 5-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求 wB=?,解：,(),(),例 5-2,解：,例 5-3 求自由端位移d,挠曲轴与外力作用面不重合,一般情况,解：,例5-4：利用对称性求下面梁中点挠度与转角 ( 2

9、a = l ),反对称, 挠度为0 (弯矩为0, 拐点),对称, 转角为0,反对称, 挠度为0 (弯矩为0, 拐点),刚化AB段：,仅考虑BC段变形：,仅考虑AB段变形：,BC段刚化：,AB段的变形：,悬臂梁，同时承受均布载荷q和集中载荷F的作用，且Fqa，试求自由端C处挠度，弯曲刚度EI为常数。,例5-6：,解：,叠加法，C处挠度是载荷F和q分别单独作用时的挠度之和,查表，F单独作用时，截面C挠度为,q单独作用时，需要考虑B点的挠度和转角，并利用光滑连续条件求得C处的挠度,BC段不受载荷，为直线。由连续性条件知，其左端的挠度和转角必须和AB段右端B点一致。,载荷q在C点引起的挠度为：,C点总

10、的挠度为：,例: 求,组合梁的变形分析,6 简单静不定梁, 静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法 例题, 静不定度与多余约束,多余约束 凡是多于维持平衡所必须的约束,多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩,静不定度 支反力（力偶）数有效平衡方程数,静不定度多余约束数,4-3=1 度 静不定,5-3 = 2 度 静不定, 简单静不定梁分析方法,选 Fby 为多余力,变形协调条件,物理方程,补充方程,平衡方程,一度静不定,算例,综合考虑三方面,求梁的支反力, 判断梁的静不定度, 用多余力 代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁所谓相当系统, 计算相当系统在多余约束处的位移，并

11、根据变形协调条件建立补充方程, 由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力,相当系统, 通过相当系统计算内力、位移与应力等,求解依据综合考虑三方面,求解关键确定多余支反力,分析方法与步骤,相当系统,例 6-1 求支反力,解：1. 问题分析,水平反力忽略不计，2多余未知力,2. 解静不定,例 6-2 悬臂梁 AB，用短梁 DG 加固，试分析加固效果,解：1. 静不定分析,2. 加固效果分析,与 Fa 相比，减少 50%,与 相比，减少39.9%,例 6-3 试求杆 BC 的轴力,解：,梁的轴向变形一般忽略不计,如计及梁的轴向变形，如何求解?,例6-4 直径为d 的圆截面梁,支座 B 下沉 d，

12、smax=?,解：,例6-5：求支反力,1. 静不定度：6-3=3,2. 建立相当系统,小变形，轴向变形可忽略 HA= HB=0。(两度静不定),3. 建立变形协调条件,4. 联立求解,本题也可以利用对称性直接求出RA和RB RA= RB=ql/2,例6-6：求支反力,变形协调条件：,7 梁的刚度条件与合理设计, 梁的刚度条件 梁的合理刚度设计 例题, 梁的刚度条件,最大位移控制,指定截面的位移控制,例如滑动轴承处, 梁的合理刚度设计, 横截面形状的合理选择, 材料的合理选择,使用较小的截面面积 A，获得较大惯性矩 I 的截面形状，例如工字形与盒形等薄壁截面,影响梁刚度的力学性能是 E ，为提高刚度，宜选用E 较高的材料,注意：各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同, 梁跨度的合理选取,跨度微小改变，将导致挠度显著改变,例如 l 缩短 20，dmax 将减少 48.8%, 合理安排约