行列式的定义及其性质证明

1、行列式的定义及其性质证明摘 要:本文 出了与原有行列式定 不同的定 ，利用此定 和引理 出定理， 一步 出行列式的性 ， 出了行列式性 与以往教材不同的完整 明， 形成了有关行列式的新的知 体系， 通 定理性 的 明 程， 重点在培养同学 的 思 能力、 推理能力和 新能力。关 :行列式；定 ；性 ；代数余子式；逆序数1 基本定理与性质的证明引理 设 t 行 排列 q1q2qn 与列 排列 p1p2pn 的逆序数之和，若行 排列与列 排列同 作相 的 ， 则 t 的奇偶性不 。 明 根据 定理 :一个排列中的任意两个元素 ，排列改 奇偶性。若行 排列与列 排列同 作相 的 ， 行 排列的逆序数

2、与列 排列的逆序数的奇偶性同 改 ， 因而它 的逆序数之和的奇偶性不 。定理 1n 行列式也可定 明由定 1 和引理即可 得。性 1行列式与它的 置行列式相等(由定理 1 即可 得 )。(根据性 1 知 行成立的性 列也成立)性 2行列式等于它的任一行 (列)的各元素与其 的代数余子式乘 之和。 明利用定理 1 和代数余子式的定 即可 得。性 3如果行列式中有两行 (两列 )元素 相等， 此行列式等于零。 明(利用 推方法来 ) 行列式中第k 行和第 j 行的元素 相等，由性 2 可知又 Ais=(-1)i+s(s=1，2， n)，根据性 2，M i+s 又可以展开成 n-1 的和，每一 都是

3、一 数与 n-1 行列式的乘 ，以此 推， Mi+s 可以展开成一个 数与一个二 行列式的乘 之和，即(mi 数， Di 含有原行列式中 k 行和 j 行的二 行列式 )， 个二 行列式的两行就是原 n 行列式中的 k 行 j 行 的元素，由于 供参考2 行对应元素相等，根据二阶行列式的定义可知 Di=0，所以 M i+s=0，因此 D=0，证毕。性质 4 行列式的某行 (列)的每个元素与另一行 (或列 )的对应元素的代数余子式乘积之和为零。证明设 D1=有性质 2 可知=0性质 5 行列式的某一行 (列)中所有元素都乘以同一数 K，等于用数 K 乘以此行列式。证明设 D=的第行的所有元素都乘

4、以数K，得行列式 A，根据定理 1，A=证毕。性质 6 行列式中如果有两行 (列)对应元素成比例，则此行列式等于零。证明利用性质 5 和性质 3 即可证得。性质 7行列式的某一列 (行)的元素都是 2 数之和，设D=，则 D 等于下列 2供参考个行列式之和 :证明由定理 1 知:=D1+D2，证毕。性质 8 把行列式的某一列 (行)的各元素乘以同一数然后加到另一列 (行)对应的元素上去，行列式值不变。由性质 5 可知=0，所以 D供参考=D，证毕。性质 9互换行列式的两行 (列)，行列式变号。证明由性质 8、性质 7，根据性质 3 可证。2 结论n 阶行列式的性质 1、2、5、7 只运用定理

5、1 证明，化繁为简。以往教材，性质 3 和性质 9 必有一个性质用逆序数的有关概念来证，非常抽象，本文改进了行列式的定义后，性质3 运用性质 2 证得，性质 9 运用性质 3、 7、8 证得，化难为易 ;同时，也提升了我们学习的逻辑思维能力、推理能力、 创新能力。充分体现了非数学专业的大学数学除了具有为专业课提供使用工具的功能， 还应该有训练科学思维，激发学生创新热情的素质教育的功能。参考文献 :1齐成辉。求解行列式的方法和技巧 J。陕西师范大学学报 :自然科学版， 2003，31(1):27-30。2王朝旺。行列式的归纳定义极其性质的证明 J。北京联合大学学报，2005(3):12-15。3程伟健。一个行列式的计算与推广J。高等数学研究，2005(1):61-65。4马菊侠。关于 Hadamard 矩阵 Kronecker 积的构造和正规性 J。陕西师