一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

1、2006.3,一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,一元二次方程根的判别式,两不相等实根,两相等实根,无实根,一元二次方程,一元二次方程 根的判式是:,判别式的情况,根的情况,定理与逆定理,两个不相等实根,两个相等实根,无实根(无解),探究题 解下列方程，找出规律并加以说明。 由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？你能说明你的猜想吗？,a0,4a20,配方法,当,时，,方程有两个不相等的实数根：,当,时，,当,时，,方程有两个相等的实数根：,方程没有实数根.,一、知识要点 1、一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0）的根的判别式= ； 2、一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a0） （

2、1）有两个相等的实根的条件 ； （2）有两个不相等的实根的条件 ； （3）有两个实根的条件 ； （4）有两个正根的条件 ；有两个负根的条件 ；有两异号根的条件 ； （5）一根比m大，一根比m小的条件 ；,b2-4ac,b2-4ac=0,b2-4ac0,b2-4ac0,判别式的应用:,所以，原方程有两个不相等的实根。,说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号情况，得出结论。,1、不解方程，判别方程的根的情况,例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：,所以，此方程有两个不相等的实数根。,解：因为,解：因为,0,所以，此方程无实数根。,0,

3、例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：,解：把此方程化为：,因为,所以，此方程有两个相等的实数根。,=0,归纳步骤：,1.化为一般式，确定a、b、c的值,2.计算的值，确定的符号,3.判别根的情况，得出结论。,思考：,1.不解方程，判断下面关于X的方程根的情况。,或：方程有两个实数根的。,例求证：关于x的方程： 有两个不相等的实根。,证明：,所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。,无论m取任何实数都有：,若已知条件改为“这个方程有实数根”，则a的取值范围是_,a1/3,练习.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_,a1/3,例2：当k取什么值

4、时，已知关于x的方程： （1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；,解：=,(1).当0 ，方程有两个不相等的实根, 8k+9 0 , 即,(2).当 = 0 ，方程有两个相等的实根, 8k+9 =0 , 即,(3).当 0 ，方程有没有实数根, 8k+9 0 , 即,2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围,说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出，再由题目给出的根的情况确定的情况。从而求出待定系数的取值范围,K,例3、已知m为非负整数，且关于x的方程 ： 有两个实数根，求m的值。,解：方程有两个实数根 ,解得：,m为非负数,m=0或m

5、=1,说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围.,例4、求证：关于x的方程： 有两个不相等的实根。,证明：,所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。,无论m取任何实数都有：,即：0,3、证明方程根的情况,说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出，如果不能直接判断情况，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断的情况，从而证明出方程根的情况.,2、已知关于x 的方程： 有两个 不相等的实数根，k为实数，求k 的取值范围。,3、设关于x 的方程： ，证明，不论m 为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。,

6、例：求证方程mx2 +（m + 6）x + 3 = 0必有实根,证明：分两种情况证明：,（1）m = 0，原方程化为一元一次方程 6x + 3 = 0,此方程必有实根 x = 0.5,（2）m 0，原方程为一元二次方程, 0,此方程必有两个不相等的实数根,综合上述两种情况，原方程必有实根。,例1：已知关于x的方程 （1）有两个不相等的实数根，求t的取值范围； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.,解： 方程有两个不相等的实数根, t 1时，方程有两个不相等的实数根.,例2：关于x的二次方程 有两个不相等的实数根，求k的最大整数.,解： 原方程是关于x的二次方程, k 1 0，即k 1

7、.又由 得k0, 方程有两个不相等的实数根,例1：已知：a、b、c是ABC的三边，若方程 有两个等根，试判断ABC的形状.,解： 方程有两个等根,即 4b2 + 4c2 8ab 8ac + 8a2 = 0,4（a b）2 + 4（a c)2 = 0, a = b = c, ABC是等边三角形,解：方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根，,方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根， 方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，,把4n=m2+8m-8代入上两式得 m为整数 m=2，n=3., =(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n, =(7-m)2-4(3

8、+n)0， =(m-4)2-4(n+1)0.,已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0 有两个不相等的实数根，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等 的实数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m、n的值.,m是有理数，当k为何值时，方程 x2 4mx + 4x + 3m2 2m + 4k = 0根为有理数。,解： x2 +（1 4m）x + 3m2 2m + 4k = 0,要使方程有有理根，只需使4m2 24m 16k+16 为完全平方式，只需使,一元二次方程的根与系数的关系： 若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2=

9、 ； 4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程为 ；,基础训练 1、方程 2x2-9x+2=0 的两根为x1、x2 ，则x1+x2= ；x1x2= ； 则 ； = ; 2、以2，-3为根的一元二次方程是 ； 3、方程4x2+4kx+k2=0的一个根是-2，则k= ； 4、若关于x的方程 （m+3）x2+（2m+5）x+m =0 ，有两个实根，则m= ；,5、已知、是方程x2-x-1=0的两实根，则2+22+= ； 6、已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ； 7、已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4， 求 8、在一元二次方程x

10、2+bx+c=0中，若实数b和c在1，2，3，4，5中取值，则其中有不等实数解的方程有 个。,1、已知方程x2-2（m+2）x+2m2-1=0，且x12-x22=0，求m的值；,2、已知关于X的方程x2+（2m+1）x+m2-2=0的两实根的平方和为11， 求证：关于x的方程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0一定有实根,3、已知等腰ABC 的两边a、b是方程x2-kx+12 =0的两根，第三边C=4， 求k、a、b的值,4、已知方程组 的两个解是 ，且x1x2 （1）求实数k的取值范围 （2）当k为何值时，只有一个实数解？ （3）若y1y2+k（x1+x2）=4，求实数k的值,例1 把

11、,分解因式,因式分解：,（1）3x2+5x-3,（2）-2x2+7x-4,（3） x2-6x-3,解：设方程的另一个根为x1，那么,用配方法证明： 关于x的方程（m -12m +37）x +3mx+1=0，无论m取何值，此方程都是一元二次方程,2、已知关于x的一元二次方程x24xm10。 (1)请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； (2)设、是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求22的值。,当x变化时，分式 的最小值是多少？,解：原式=,=,=,故当x=-1时，原式有最小值4。,已知3- 是方程x2+mx+7=0的一个根,则m= ,另一根为 .,国家为了加强对香烟产