14讲函数的综合应用

1、新课标高中一轮总复习,第二单元 函 数,第15讲,函数的综合应用,理解函数的概念，掌握函数的图象和性质，会用函数的图象和性质解决数学中的综合问题；理解函数与方程、不等式的关系，会用这些关系解决有关问题.,1.设f(x)=xsinx,若x1、x2 - , 且f(x1)f(x2), 则下列不等式恒成立的是( ),D,A.x1x2 B.x10 D.x12x22,(方法一)因为f(-x)=(-x)sin(-x)=xsinx=f(x),所以f(x)在R上是偶函数.又f(x1)f(x2)， 所以f(|x1|)f(|x2|). 又f(x)在0, 上是增函数， 所以|x1|x2|， 即x12x22，故选D.

2、(方法二)f(x)在R上是偶函数,且在0, 上递增,作图如右,由图象知|x1|x2|,即x12x22,故选D.,2.设f(x)= (x1) 1 (x=1),若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有三个不同的实数解x1、x2、x3，则x12+x22+x32等于（ ）,A,A.5 B.2+ C.13 D.3+,作函数f(x)的图象如图所示. 由图象知f(x)关于x=1对称,因此方 程的根也必须关于x=1对称. 由题意，方程三个根，必有x1=1的根，另外两根有x2+x3=2， 且由 =1 2=0或x2=2,则x3=2或x3=0.所以x12+x22+x32=5，选A.,3.已知f(x)是定义在R

3、上且以3为周期的偶函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值为( ),B,A.5 B.4 C.3 D.2,因为f(x)是偶函数,所以f(-2)=f(2)=0. 又因为f(x)是以3为周期的周期函数， 所以f(-2)=f(1)=f(4)=0,f(2)=f(5)=0, 故方程f(x)=0在(0,6)内至少有4个解.,4.若a1，且a-m+logana-n+logam，则m、n的关系是（ ）,A,A.mn0 B.m=n0 C.nm0 D.不确定,设f(x)=a-x-logax，因为a1，所以f(x)为单调递减函数. 由a-m+logann0.,1.函数的综合主要包括以

4、下两个方面 (1)函数内容本身的相互综合，如函数的概念、图象和性质等方面知识的综合，复合函数等. (2)函数与其他知识的综合，如函数与方程、不等式、三角函数、数列和几何的综合. 2.函数的思想方法包括：化归、数形结合、分类讨论等思想方法,题型一 恒成立问题,例1,f(x)=ax3-3x+1对于x-1,1总有f(x)0成立,求a的值.,若x=0,则不论a取何值,f(x)0显然成立, 当x0即x(0,1时，f(x)=ax3-3x+10，可化为a - .,设g(x)= - ，则g(x)= , 所以g(x)在区间(0, 上单调递增，在区间 ,1上单调递减， 因此g(x)max=g( )=4,从而a4.

5、 当x0即x-1,0)时，f(x)=ax3-3x+1可化为a - , g(x)= - 在区间-1,0)上单调递增， 因此g(x)min=g(-1)=4，从而a4,综上a=4.,函数的综合运用,包括构造函数模型、解决不等式的恒成立问题，通常采用分离参数后，构造函数模型求最值.,题型二 比较参数值的大小,例2,若正实数a、b满足ab=ba,且a1,则有( ),C,A.ab B.ab C.a=b D.不能确定a、b的大小,由a0， 所以函数f(x)在(0,1)上是增函数， 又f(a)=f(b)，所以a=b.,等式ab=ba两边取对数可以转化为 = ,构造函数f(x)= ,利用函数的性质解题.,在近几

6、年的高考中，出现了与函数f(x)= 相关的一些试题,若利用函数f(x)= 的图象和性质进行求解，就比较简单易解.,函数f(x)= 的导函数f (x)= , 若f (x)0,则xe. 即函数f(x)= 在(0,e上是增函数，,在e,+)上是减函数.且注意x1时，函数f(x)0，所以函数f(x)的图象如图所示，由图象可得其性质.,若m、n是正整数，且nm1，求证：(1+m)n(1+n)m.,(1+m)n(1+n)m (nm1), 构造函数f(x)= (x1)， 易知函数f(x)= 在(1,+)上是减函数， 当nm1时，f(m)f(n), 即 ,所以(1+m)n(1+n)m.,题型三 函数与不等式的

7、综合问题,例3,已知函数f(x)的定义域为 0,1,且同时满足：对任意x0,1总有f(x)2；f(1)=3；若x10，x20，且x1+x21，则有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)-2.求： （1）f(0)的值； （2）f(x)的最大值.,(1)由条件，得f(0)2， 又由条件,取x1=x2=0,得f(0)2,所以f(0)=2. (2)任取x1、x20,1,且x1x2,则0x2-x11， 所以f(x2-x1)2. 又f(x2)=f(x2-x1)+x1f(x2-x1)+f(x1)-2f(x1), 所以f(x)在0,1上为增函数， 所以f(x)max=f(1)=3.,已知f(x)是二次函数，不

8、等式f(x)0的解集是(0,5)，且函数f(x)在区间-1，4上的最大值是12. (1)求函数f(x)的解析式； (2)是否存在自然数m,使得方程f(x)+ =0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由.,(1)因为函数f(x)是二次函数,且f(x)0),如图所示. 又函数f(x)在区间-1,4 上的最大值为12， 由图象可知f(-1)=6a=12, 所以a=2, 由此得到函数f(x)=2x(x-5)=2x2-10 x. (2)方程f(x)+ =0等价于方程2x3-10 x2+37=0. 设函数g(x)=2x3-10 x2+37,则g(x)=6

9、x2-20 x=2x(3x-10). 当x(0, )时,g(x)0,g(x)在( ,+)上是增函数, 又因为g(3)=10，g( )=- 0, 所以方程g(x)=0在区间(3, ),( ,4)内分别有惟一实数根,而在区间(0,3),(4,+)内没有实根, 所以存在惟一的自然数m=3,使得方程f(x)+ =0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.,本题主要考查“三个二次”的关系、函数的单调性、极值、最值、求二次函数的解析式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查函数与方程、数形结合等思想方法和分析问题、解决问题的能力.与二次函数有关的综合题涉及面广，包容量大，几乎贯穿高中数学的

10、各个章节，是推理能力的重要题型.,1.理解函数的概念，掌握函数的图象和性质是解决函数综合问题的基础，灵活运用函数的图象、性质及数学思想方法是解决函数的综合问题的关键. 2.解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系、把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决.要注意等价转换(化归)、数形结合、分类讨论等数学思想和方法的综合运用.,3.函数与方程，函数与不等式是函数的综合中最重要的部分，是历年高考的重点、热点和难点，应予以重视. 4.隐函数问题：注意赋值法的应用，其次要充分的利用已知的条件挖掘隐含条件，抽象概括函数的一些性质，如奇偶性、单调性、周期性等.,(2009天津卷)已知函数 f(x)=x2+4x,x0 4x-x2,x0，若f(2-a2)f(a)，则实数a的取值范围是（ ）,C,A.(-，-1)(2，+) B.(-1，2) C.(-2，1) D.(-，-2)(1，+),本题解题的关键是正确作出函数的图象,概括出函数在R上是单调递增函数. 所以由f(2-a2)f(a) 2-a2a -2a1.,(2009全国卷)已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦,垂足为M（1, ),则四边形ABCD的面积的最大值为 .,5,如图，取AC的中点F