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文档简介

1、方阵的特征值和特征向量,.基本概念,定义1. 设A是一个n阶方阵，0是一个数字，是一个非零的n维向量，若A = 0，则称0是方阵A的一个特征值，是A的与特征值0对应的一个特征向量。,显然：,0是方阵A的一个特征值,线性方程组(A - 0E)X = 0有非零解,行列式|A - 0E| = 0,定义2. 称关于变量的n次多项式,为方阵A的特征多项式 .,称关于未知数的n次代数方程|A - E| = 0为方阵A的特征方程。,显然，,0是方阵A的一个特征值,0是特征方程|A - E| = 0的一个根。,是A的与特征值0对应的一个特征向量,是线性方程组(A - 0E)X = 0的一个解向量,二. 特征值

2、和特征向量的计算方法,第一步 计算行列式|A - E|,第二步 解方程|A - E| = 0，得方阵A的所有特征值1, 2, , n,第三步 解诸线性方程组(A - jE)X = 0, j = 1, 2, , n，得到方阵A的所有特征向量,例1. 计算,的特征值和特征向量,解：,显然，方阵A的特征值为：2，i, -i,解方程组,得,这便是与特征值2对应的特征向量. (c 0),再解方程组,即 x1 = 0, x2 = (1 + i)x3.,令 x3 = c, 得到:,这样便求得与特征值i对应的特征向量. (c 0),由,得：,从而又得到与特征值-i对应的特征向量,例2. 计算,的特征值和特征向

3、量,解：,该方阵的特征值为1，2，2,解方程组:,得方阵与特征值1所对应的特征向量:,解方程组:,得方阵与特征值2所对应的特征向量：,例3. 计算,的特征值和特征向量,解：,该方阵与上一方阵具有相同的特征值2，2，1,解方程,得方阵A与特征值2对应的特征向量:,解方程,得方阵A与特征值1对应的特征向量:,例4. 求,的特征值和特征向量,解：,解方程组,得A的与特征值5对应的特征向量:,解方程组,得到A的与特征值1对应的特征向量:,三. 特征值和特征向量的性质,定理1 设A是一个n阶方阵，则A与AT具有相同的特征值.,定理2 设A是一个n阶可逆方阵，则是A的一个特征值 -1是A-1的一个特征值。,定理3 设A是一个n阶方阵，1, 2, , m是它的m个互不相同的特征值，1, 2, , m是A的分别与1, 2, , m对应的特征向量，则1, 2, , m线性无关。,证明:,设有一组数1, 2, , m, 满足:,11 + 22 + + mm = 0,由Aj = jj, j = 1, 2, , m,在上式两端依次左乘以A, A2, , Am-1得到:,从而1, 2, , m皆为零。,即1, 2, , m线性无关.,证毕,定理4 设A是一个实对称方阵，则A的所有特征值皆是实数，并且A的对应于不同特征值的特征向量是正交的。,证明：设是A的一个特征值，是与之对应的特征向量，即A =

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