两个平面的位置关系

1、.三两个平面的位置关系知识提要1. 空间两个平面有相交(有一条公共直线)和平行(无公共点)两种位置关系2. (1)定义 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行(2)判定 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(3)性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行3. (1)定义 如果两个平面相交，所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直(2)判定 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直(3)性质 (1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面(2)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面

2、内垂直于另一个平面的直线，也垂直于交线4. 二面角 平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面5. 二面角的平面角 以二面角棱上的任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角是900时称直二面角。6. 作二面角的平面角有：定义法，三垂线(或其逆)定理法，垂面法把平面角放入相关三角形中求解课前练习1、是两个不同的平面，m，n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn，n，m以其中三个论断作为条件，余下的一

3、个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题，并证明它解析：m，n，mn（或mn，m，n）证明如下：过不在、内的任一点P，作PMm，PNn，过PM、PN作平面r交于MQ，交于NQ，同理PNNQ因此MPNMQN = 180，故MQN = 90MPN = 90即m，n，mn 2自二面角内一点分别向这个二面角的两个面引垂线，求证：它们所成的角与这个二面角的平面角互补证明：如图PQb，PQAB，PRa，PRAB，则AB面PQR经PQR的平面交a、b于SR、SQ，那么ABSR，ABSQQSR就是二面角的平面角因四边形SRPQ中，PQSPRS90，因此PQSR1803在60的二面角MaN内有一点P，P到平面M

4、、平面N的距离分别为1和2，求P点到直线a的距离解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PAM，A是垂足，PBN，B是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面，设M=AC，N=BC，Ca由于PAM，则PAa，同理PBa，因此a平面，得aPC这样，ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在PAB中求出AB，再在ABC中利用正弦定理求外

5、接圆直径2R，即为P点到直线a的距离，为4判定下列命题的真假（1）两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们的交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；（2）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两直线，一定分别与另一平面垂直；（3）两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直。ABCDA1D1C1B1解析：（1）若该点在两个平面的交线上，则命题是错误的，如图，正方体AC1中，平面AC平面AD1，平面AC平面AD1AD，在AD上取点A，连结AB1，则AB1AD，即过棱上一点A的直线AB1与棱垂直，但AB1与平面ABCD不垂直，其错误的原因是AB1没有保证在平面ADD1A1内，可以看出：线在面

6、内这一条件的重要性；（2）该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体AC1中，平面AD1平面AC，AD1平面ADD1A1，AB平面ABCD，且ABAD1，即AB与AD1相互垂直，但AD1与平面ABCD不垂直；（3）如图,正方体AC1中，平面ADD1A1平面ABCD，AD1平面ADD1A1，AC平面ABCD，AD1与AC所成的角为600，即AD1与AC不垂直ABCDA1D1C1B1解：由上面的分析知，命题、都是假命题。 点评:在利用两个平面垂直的性质定理时，要注意下列的三个条件缺一不可：两个平面垂直；直线必须在其中一个面内；直线必须垂直它们的交线。5设S为平面外的一

7、点，SA=SB=SC，若，求证：平面ASC平面ABC。解析：（1）把角的关系转化为边的关系（2）利用棱锥的性质（三棱锥的侧棱相等，则顶点在底面上的射影为底面三角形的外心）证明：设D为AB的中点 同理且即为且S在平面上的射影O为的外心 则O在斜边AC的中点。平面ABC平面SAC平面ASC平面ABC教学过程一平面与平面的平行例 1 已知平面、，如果直线,求证：平面平面。证明：设，过O1作两相交直线，设与确定的平面为，从而。同理。所以。例 2 已知平面平面，（1）若直线平面，判断直线与平面的位置关系。（2）若直线平面，判断直线与平面的位置关系。（3）给出的三个平面（与、不重合），试判断平面、之间的位

8、置关系。解：（1）或。（2）。（3）或都相交。例 3 在正方体中，、分别为棱的中点，、分别为棱的中点。（1）求证：、共面；（2）证明：平面平面。证明：（1）EF/B1D1，B1D1/BD，EF/BD，E、F、B、D共面。（2）NE/A1B1，A1B1/AB，NE/AB，且NE=AB，ABEN是平行四边形。AN/平面BEFD。同理：AM/平面BEFD。平面平面。二平面与平面的垂直例 4 已知平面平面，平面，求证：。证明：设在内作。例 5 在三棱锥中，求证：平面SAB平面SAC。证明：作BDSA于D，DESC于E，连接BE，设SD=x,则SB=2x，又，又，所以，所以BDDE，又BDAS，从而BD

9、面SAC。所以平面SAB平面SAC。三二面角例 6 在三棱锥中，底面，垂直平分且分别交、于、，又，求以为棱，以、为面的二面角的大小。解：E为SC的中点，SB=BC，BESC，又DESC，SC平面BDE，BDSC，又BDSA，BD平面SAC，EDG为二面角E-BD-C的平面角。设SA=AB=1，则SB=BC=，SC=2，SCA=300，EDC=600，所以二面角E-BD-C的的大小为600。例7 在立体图形PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，PAAB，Q是PC中点AC，BD交于O点（）求二面角QBDC的大小：（）求二面角BQDC的大小解析：（）解：连QO，则QOPA且QOPAA

10、B PA面ABCD QO面ABCD面QBD过QO， 面QBD面ABCD故二面角QBDC等于90（）解：过O作OHQD，垂足为H，连CH 面QBD面BCD，又 COBD，CO面QBD，CH在面QBD内的射影是OH。 OHQD， CHQD，于是OHC是二面角的平面角设正方形ABCD边长2，则OQ1，OD，QD OHQDOQOD， OH又OC，在RtCOH中：tanOHC OHC60，故二面角BQDC等于60例8 河堤斜面与水平面所成角为60，堤面上有一条直道CD，它与堤脚的水平线AB的夹角为30，沿着这条直道从堤脚上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？解析： 已知 所求河堤斜面与水平面

11、所成角为60 E到地面的距离利用E或G构造棱上一点F 以EG为边构造三角形解：取CD上一点E，设CE10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度在河堤斜面内，作EFAB垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FGAB因此，EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，EFG60由此得：EGEFsin60CE sin30sin60104.3（m）答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米例9 四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90解析：注意

12、到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD的棱为PD，围绕PD而考虑问题解决途径证法一：利用定义法经A在PDA平面内作AEPD于E，连CE因底是正方形，故CDDACEDAED，AEEC，CEDAED90，则CEPD故CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角设AC与BD交于O，连EO，则EOAC，而AEADa所以面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90证法二：运用三垂线法PB面ABCD，则PBAD，又ADAB，AD面PAB，即面PAB面PAD过B作BEPA，则BE面PAD在面PBC内作PGBC，连GD经C作CF面PAD于F，那么连结EF，有EFAD经F作FHPD于H，连CH，则FHC是所求二面角