信号与系统复习.ppt

1、第一章 绪论,1.常见信号,欧拉公式:,第一章 绪论,1.常见信号 冲激信号的筛选特性,第一章 绪论,2. 信号的运算 1).移位、反褶与尺度,三种情况综合: f(-at+t0),a0.一般步骤如下,已知 应按下列那种运算求得正确结果 ( D )。 A 左移t0 B. 右移t0 c. 左移 D. 右移,第一章 绪论,3. 线性是不变系统的判断,1).叠加性与均匀性(齐次性),叠加性:e1(t)+e2(t)r1(t)+r2(t).,均匀性:ae(t)ar(t).,2).时不变特性,若e(t)r(t),则e(t-t0)r(t-t0),3).因果性,因果系统是指系统在t=t0时刻的响应只与t=t0和

2、tt0时刻的输入有关.否则,为非因果系统.,第二章 连续时间系统的时域分析,(1) 微分方程的建立与求解 (2) 起始点的跳变-从0-到0+状态的转换 (3) 零输入响应和零状态响应 (4) 冲激响应和阶跃响应 (5) 卷积及其性质,第二章 连续时间系统的时域分析,(1) 微分方程的建立与求解 (2) 起始点的跳变-从0-到0+状态的转换 (3) 零输入响应和零状态响应 (4) 冲激响应和阶跃响应 (5) 卷积及其性质,对应齐次方程的特征方程如下,n个根:1 ,2, n称为微分方程的特征根.,(1) 在特征根各不相同(无重根)的情况下, 微分方程的齐次解为,微分方程的特解,激励函数e(t),特

3、解函数,E(常数),B,例2-2:给定系统的微分方程,若激励信号为 , 初始状态为,求系统的响应r(t).,2.3 起始点的跳变从0-到0+状态的转换,系统的0-状态到0+状态有无跳变决定于微分方程 右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.如果包 含(t)及其各阶导数,则0-到0+状态发生了跳变, 即,冲激函数匹配法的原理是根据t=0时刻微分方程 左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等.,下面举例说明冲激函数匹配法确定0+状态方法.,例2-4:给定系统的微分方程,若激励信号为 , 起始状态为,求0+状态,解:将e(t)=u(t)代入方程式(1),求得t=0时微分方程表示为,u(t)为0-到0

4、+相对单位跳变函数,方程(2)右端自由项中含有(t),故 从0-到0+状态发生跳变. 方程(2)右端的冲激函数项最高阶次是(t),因而可以设,(1),(2),(0-t0+),代入式(2),求得,因而有,0+状态为,2.4 零输入响应和零状态响应,零输入响应:没有外加激励信号的作用,只有起始状态(起始 时刻系统储能)所产生的响应.记作 .,零状态响应:不考虑起始时刻系统储能的作用(起始状态等 于零),由系统的外加激励信号所 产生的响应. 记作 .,H,e(t),x(0-),r(t)=He(t)+Hx(0-),1)零输入响应 是满足方程,及起始状态 的解.它是齐次解中的 一部分.,由于无外界激励作

5、用,因而系统的状态不会发生变化,所以Azik可以由 确定.,2)零状态响应 是满足方程,及起始状态 的解.其形式为,B(t)为特解.由此可见,零状态响应由由自由响应的一部分及强迫响应B(t)构成.,例2-5:给定系统的微分方程*,若激励信号为 , 起始状态为,求系统的完全响应r(t).,(1),解: 1.零输入响应rzi(t),rzi(t)为满足微分方程,(2),及起始状态r(0-)=1, r (0-)=2的解.,特征方程:,特征根为:,1=-1 ,2=-2,零输入响应的形式:,(t0),由于在零输入状态下,无外界激励作用,因而系统的状态不会发生变化, r(0+) =r(0-)=1,r (0+

6、)=r (0-)=2,代入求出常数,零输入响应:,2.零状态响应rzs(t),rzs(t)为满足微分方程,(3),及起始状态r(0-)=0, r (0-)=0的解.,上面已求出特征根为:,1=-1 ,2=-2,方程式(3)对应的齐次解为,用冲激函数匹配法可求出系统的0+状态如下:,(4),t0时,微分方程为,(4),方程式(4) 的特解为,零状态响应的形式,代入求出常数,零状态响应为,3)系统的完全响应为,零状态响应,零输入响应,自由响应,强迫响应,(t0),2.6 卷积,1.卷积的定义,信号f1(t)和f2(t)的卷积定义为,方法二: 图解法.(注意五个步骤),上述积分可看作e(t),h(t

7、)经过如下过程完成,(1)将e(t),h(t)的自变量t换为， e(),h()波形不变；,(2)将h()折叠，得到h(-)；,(3)将h(-)沿轴平移t， t为参变量，得到h-(-t) 即h(t-), t 0为右移， t 0为左移；,(4)将e() 与h(t-)重叠部分相乘e() h(t-) ；,(5)完成相乘后图形的积分。,t0时, f1() f2(t-)=0 f1(t)*f2 (t)=0,f2(t)或f2(t),f1(t)或f1(t),t或t,t或t,例2-8:求图示f1(t) 和f2(t)的卷积,(3) 1t2时,(4) 2t3时,(2) 0t1时,(5) t3时,若f1(t), f2(

8、t)都为时限信号则卷积后仍为时限信号，其左边界为原两信号左边界之和，右边界为原两信号右边界之和.卷积结果所占有的时宽等于两个信号各自时宽的总和.,(三)卷积时移,设f1(t)*f2(t)=y(t)，则：,f1(t-t1)*f2(t-t2)=y(t-t1-t2);,推论：,f1(t)*f2(t-t0)=f1(t-t0)*f2(t)=y(t-t0),(四)与冲激函数或阶跃函数的卷积,(1) f(t)*(t)=f(t),即f(t)与(t)卷积等于f(t)本身,f(t)*(t-t0)=f(t-t0),f(t-t1)*(t-t2)=f(t-t1-t2),第三章 傅里叶变换,典型周期信号的傅里叶级数 傅里

9、叶变换 典型非周期信号的傅里叶变换 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 傅里叶变换的基本性质 抽样定理,对称信号的傅里叶级数,三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称,(1)周期偶函数只含直流和余弦项,(2)周期奇函数只含正弦项,傅里叶变换的定义,3.5 典型非周期信号的傅里叶变换,(一) 单边指数信号,信号表达式 幅度频谱 相位频谱,(二) 双边指数信号,f(t),0,t,0,(三) 矩形脉冲信号,幅度频谱,相位频谱,3.6 冲激函数和阶跃函数的 傅里叶变换,(一) 冲激函数的傅里叶变换,1,t,0,0,直流信号的傅里叶

10、变换是冲激函数,均匀谱或白色谱,(三) 阶跃函数的傅立叶变换,u(t),0,t,0,1,3.7 傅立叶变换的基本性质,一、对称性,若已知 则,(二) 线性（叠加性）,若 则,ai为常数,n为正整数.,(四) 尺度变换特性,若 则,的傅里叶变换为,的傅里叶变换为 ?,信号 的傅里叶变换为 ？,(六) 频移特性,若 则,调幅信号的频谱（载波技术）,求：,的频谱？,频移特性,载波频率,例:求余弦信号的频谱,解:,(七) 微分特性,若 则,3.8 卷积定理,(一) 时域 卷积定理,则,若,(二) 频域 卷积定理,若,其中,3.11 抽样定理,（一）时域抽样定理 一个频率有限信号 如果频谱只占据 的范围

11、，则信号 可以用等间隔的抽样值来唯一地表示。而抽样间 隔不大于 （其中 ），或者 说最低抽样频率为 。 奈奎斯特频率：,奈奎斯特间隔：,或,的最高频率为,进行时域抽样，不混迭的最大抽样间隔为 ?,第四章 连续时间系统的复频域分析,(1) 拉普拉斯变换的定义、收敛域 (2) 拉普拉斯变换的基本性质 (3) 拉普拉斯逆变换 (4) 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型 (5) 系统函数H(s) (6) 由系统函数零、极点分布决定时域特性 (7) 由系统函数零、极点分布决定频响特性 (9) 线性系统的稳定性,1、冲激信号,2、阶跃信号,(三) 常见信号的拉氏变换,3、指数函数信号,4、正幂信号,斜

12、坡信号,5、余弦信号,6、正弦信号,一些常用因果信号的L变换见表4-1(P181),4.3 拉氏变换的基本性质,(一) 线性特性：,a,b为常数.,推论,(三) 时域的微分性,时域微分性和积分性可将f(t)微分方程和积分方程化为复频域F(s)的代数方程，而且自动引入初始状态，因而通过复频域分析法可求得系统的全响应。,(二) 时域的积分性,注意：,(四) 时移特性,证明:,(五) S域平移特性,证明:,例:求,的拉氏变换.,解:,(六) 尺度变换特性,证明:,例:求Lf(at-b)u(at-b),解:,(七) 初值定理,证明:,注：终值定理应用的条件是F(s)的极点必须位于左半平面，虚轴上有极点

13、也必须是一阶极点。,注：初值定理应用的条件是F(s)是真分式，若不是，则在t=0处有冲激及其导数产生。 F(s)可写成多项式和真分式之和。,(八) 终值定理,例：,解（1）求初值,（2）求终值,4.4 拉氏变换逆变换,由象函数求原函数(即求拉普拉斯反变换)的方法：,(一) 部分分式展开法,F(s)通常为s的有理分式，一般形式为,总的思路：,有理假分式有理真分式最简分式之和f(t),按D(s) = 0的根(称为F(s)的极点)有无重根等分别讨论如下：,1当mn且为n个单根p1 , p2 , , pn (可为实根、虚根或复根),有理真分式F(s)可展开为如下的部分分式：,式中Kj(j=1, 2,

14、, n)为待定系数.,则有原函数,例 求下示函数的逆变换,解,4.5 线性系统复频域分析法,拉普拉斯变换的线性性质、时域微分性质与时域卷积性质，可使线性微分方程变为复频域的线性代数方程，同时将系统的初始状态自然反映在象函数中，所以用s域分析法可直接求解全响应。,一、系统微分方程的复频域解,例:已知某LTI连续系统的微分方程，其激励f(t)=u(t)，0-初始条件为y(0-)=2，y(0-)=1，试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,方程：,解：对微分方程两边取拉普拉斯变换得：,以具体的微分方程为例：,4.6 系统函数(网络函数)H(s),1.系统函数(网络函数)H(s)的定义,系统零状态

15、响应的拉氏变换与激励的拉氏变 换之比称为系统函数(或网络函数),4.7 由系统函数零极、点分布决定时域特性,一、H(s)的零点、极点与零、极点图,将分子、分母因式分解(设为单根情况)得,系统函数,H0=bm(分子分母最高次项系数之比)为实常数。,D(s)=0的根pi称为(s)的极点，(pi),(s)=0的根zi称为(s)的零点，(zi)0。,网络函数的零、极点只能是实数或共轭复数对，可以是多重的；在s平面上，用“”表示零点，用“”表示极点称为零、极点分布图。若H01时要在图中标出来；若具有多重的零点或极点时，则应在“”旁或“”旁标出其重数。,例:,命,极点:s=-1(二阶),s=j2,命,零点

16、:s=0,s=1j1,s=,1,2,-1,-2,j,-j2,j2,零、极点分布图,(2),S,1）极点pi决定系统自由响应（固有响应）的变化的规律。取决于系统的结构与元件的参数，且量纲为1/s，故pi称为系统的自然频率或固有频率。,2）H(s)的零点只影响h(t)波形的幅度和相位 ，不影响波形模式；当阶次变化， h(t)出现冲激函数。,总结:1.若H(s)极点落于s平面的左半平面,则h(t) 波形为衰减形式;(系统稳定) 2.若H(s)极点落于右半平面,则h(t)波形为 增长形式; (系统不稳定) 3.落于虚轴上的一阶极点对应的h(t)为等幅振荡或 阶跃(临界状态);落于虚轴上的二阶极点对应的 h(t)为增长形式(系统不稳定).,5.4 无失真传输,线性系统引起的信号失真由两方面因素造成:1.幅度失真;2.相位失真.,无失真系统:响应与激励相比,只是大小与出现的时间不同,而无波形上的变化.,设激励为e(t),响应为r(t),无失真传输的条件为: r(t)=Ke(t-t0) (K为常数),调制：,相乘,同步解调：,相乘,低通,差分方程时域经典法,差分方程 特征根： 有N个特征根 齐次解： 非重根时的齐次解 L次重根时的齐次解 (见教材例7-7) 共轭根时的齐次解,(见教材例7-8),(见教材例