结构动力学ch4

1、2020/11/6,1,第四章 自振频率和振型的 实用计算,2020/11/6,2,4.1 能量法求第一频率-Rayleigh法,此外，根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得： 0Umax=Tmax0,根据能量守恒和转化定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T 和应变能U之和应等于常数。 UTC（常数）,2020/11/6,3,求Umax ，Tmax,求频率,如梁上还有中质量mi,Yi是集中质量mi处的位移幅值,

2、.,2020/11/6,4,设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：,1、必须满足运动边界条件: （铰支端：Y=0；固定端： Y=0，Y=0）,尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。 2、所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第n 主振型相似，则可求的n的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故 Rayleigh法主要用于求1的近似解。,2020/11/6,5,3、相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。 4、通常可取结构在某个静荷载q(x) （

3、如自重）作用下的弹性曲线作为Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q(x)所作的功来代替，即,2020/11/6,6,2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x).,例4-1 试求等截面简支梁的第一频率。 1）假设位移形状函数为抛物线，,满足边条且与 第一振型相近,3）假设.,正是第一振型的精确解。,精 确 解,2020/11/6,7,例4-2 求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为，高度h=h0 x/l。,解：,设位移形状函数,满足：,Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原 因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，就是迫使梁 按照这种假设的形状振动，这就相当于给梁加上

4、了某种 约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越 接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的 频率越接近于真实，即偏高量越小。,2020/11/6,8,集中质量法,：在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。 等效原则：使集中后的重力与原来的重力互为静力等效，即两者的合力相等。 作法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。,该法即可求基频，也可求较高频率。使用各类结构。,集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。,4.2 集中质量法,2020/11/6,9,例4-3,(0.7%）,(0.1%）,(3.1%）,(0.05%）,(4.8%）,(0.7%）,2020/11/6,10,对于对称刚架，可分别用 不同的集中质量方案求出对 称