不等式知识点总结及题型归纳

1、不等式知识点总结及题型归纳一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 2、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为

2、正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一

3、特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最

4、大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线ax+by0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式1、若a,bR,则a2+b22ab,当且仅当a=b时取等号.2、如果a,b是正数，那么变形： 有:a+b；ab,当且仅当a=b时取等号.3、如果a,bR+,ab=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;如果a,bR+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的

5、最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”4、常用不等式有：1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；3）若，则（糖水的浓度问题）。不等式主要题型讲解一、不等式与不等关系题型一：不等式的性质1、对于实数中，给出下列命题：； ； ； ； ； ，则。其中正确的命题是_题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）2、设，试比较的大小3、比较1+与的大小4、若，则的大小关系是 .二、解不等式题型三：解不等式5、解不等式： 6、解不等式。7、解不等式8、不

6、等式的解集为x|-1x2，则=_, b=_9、关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为10、解关于x的不等式题型四：恒成立问题11、关于x的不等式a x2+ a x+10 恒成立，则a的取值范围是_ 12、若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.13、已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。三、基本不等式题型五：求最值14、（直接用）求下列函数的值域1）y3x 2 2）yx15、（配凑项与系数）1）已知，求函数的最大值。2）当时，求的最大值。16、（耐克函数型）求的值域。注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。17、（用耐克函数单调性）求函数的值域。1

7、8、（条件不等式）1）若实数满足，则的最小值是 .2）已知，且，求的最小值。3）已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.4）已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.题型六：利用基本不等式证明不等式19、已知为两两不相等的实数，求证：20、正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc21、已知a、b、c，且。求证：题型七：均值定理实际应用问题：22、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计

8、污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。四、线性规划题型八：目标函数求最值23、满足不等式组，求目标函数的最大值24、已知实系数一元二次方程的两个实根为、,并且,则的取值范围是 25、已知满足约束条件： ,则的最小值是26、已知变量（其中a0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 。27、已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于 题型九：实际问题28、某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？不等式的基本

9、知识参考答案高中数学必修内容练习-不等式1、；2、；3、当或时，1+； 当时，1+； 当时，1+4、 （ RQP。5、 6、或；7、）；8、不等式的解集为x|-1x2，则=_-6_, b=_6_9、）.10、解：当a0时，不等式的解集为；2分当a0时，a(x)(x1)0；当a0时，原不等式等价于(x)(x1)0不等式的解集为；6分当0a1时，1，不等式的解集为；8分当a1时，1，不等式的解集为；10分当a1时，不等式的解为12分11、0x412、）13、 14、解：1）y3x 22 值域为，+）2）当x0时，yx22；当x0时， yx= （ x）2=2值域为（，22，+）15、1）解，当且仅当

10、，即时，上式等号成立，故当时，。2）当，即x2时取等号 当x2时，的最大值为8。16、解析一： 当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x1时取“”号）。17、解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。18、（条件不等式）1）解： 都是正数，当时等号成立，由及得即当时，的最小值是62）解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，3）解：xx x下面将x，分别看成两个因式：x 即xx 4）解：法一：a， abb 由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300， 5u3 3，ab18，y19、已知为两两不相等的实数，求证：20、正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc21、已知a、b、c，且。求证：证明：a、b、c，。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得。当且仅当时取等号。22、解：若设污水池长为x米，则宽为 （米）水池外圈周壁长： （米）中间