【高考数学大题精做】专题06-三角形中的最值问题(第一篇)(解析版)

1、 第一篇 三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题 类型对应典例求三角形中角相关的最值问题典例1求三角形中边相关的最值问题典例2求三角形中面积相关的最值问题典例3求三角形中周长相关的最值问题典例4平面图形中三角形面积的最值问题典例5求三角形中相关的混合型的最值问题典例6求三角形中线段的最值问题典例7【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形中，内角的对边分别为，且（1）求角的大小（2）求函数的值域【思路引导】（1）由利用正弦定理得，根据两角和的正弦公式及诱导公式可得，可求出的值；（2）对函数的关系式进行恒等变换，利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的

2、关系式变形成同一个角正弦型函数，进一步利用定义域求出函数的值域.解：（1）由，利用正弦定理可得，可化为，.（2），.【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在中，角，所对的边分别是，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.【思路引导】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.解：（1）由正弦定理可得： 即 （2）由（1）知： ， ，即的取值范围为【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】已知ABC的内角

3、A，B，C满足（1）求角A；（2）若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值【思路引导】（1）利用正弦定理将角化为边可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，从而由可得解.解：（1）设内角，所对的边分别为，根据，可得，所以，又因为，所以（2），所以，所以（时取等号）【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知的三个内角，所对的边分别为，设，.（1）若，求与的夹角；（2）若，求周长的最大值.【思路引导】（1）将代入可求得.根据平面向量数量积的坐标运算求得,由数量积的定义即可求得,进而得夹角.（2）根据及向量模的坐标表示,可求得.再由余弦定理

4、可得.结合基本不等式即可求得的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得的取值范围,进而求得周长的最大值.解：（1）,所以,因为,又,（2）因为,即,所以,方法1.由余弦定理,得.,即,即,（当且仅当时取等号）所以周长的最大值为.方法2.由正弦定理可知,所以,又,所以当时,取最大值.所以周长的最大值为.【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】如图，在矩形中，点、分别在边、上，. （1）求，（用表示）；（2）求的面积的最小值.【思路引导】（1）根据，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和即可；（2）由条件知，然后根据

5、的范围，利用正弦函数的图象和性质求出的最小值.解：（1）在中，所以，在中，；（2），因为，所以，即，当时，即当时，取最小值.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（一)】已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）设，的面积为S，求的最大值.【思路引导】（1）用正弦定理化角为边后，再用余弦定理可求得角；（2）用正弦定理把边用角表示，即，这样，又，就表示为的三角函数，由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质可得最大值解：（1）由正弦定理，由余弦定理，；（2）由正弦定理，.当且仅当时等号成立，故最大值为.【典例7】【福建省宁德市20

6、19-2020学年高三上学期第一次质量检查（期末)】的内角，的对边分别为，且，（1）求；（2）若为锐角三角形，为中点，求的取值范围【思路引导】（1）由正弦定理，将式子中的边化成角得到，从而求得的值；（2）由（1）知，可得的范围，再将表示成关于的函数，从而求得的取值范围.解：（1）因为，由正弦定理，得，又，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以.（2）由（1）知，根据题意得 解得. 在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以.因为为中点，所以，所以，因为，所以的取值范围为. 【针对训练】1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在中，、分别是角、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐

7、角三角形，求的取值范围.【思路引导】（1）根据题意，由余弦定理求得，即可求解C角的值；（2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，再根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的图象与性质，即可求解.解：（1）由题意知，由余弦定理可知，又，.（2）由正弦定理可知，即，又为锐角三角形，即，则，所以，综上的取值范围为.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】分别为的内角的对边.已知.（1）若，求；（2）已知，当的面积取得最大值时，求的周长.【思路引导】（1）根据正弦定理，将，化角为边，即可求出，再利用正弦定理即可求出；（2）根据，选择，所以当的面积取得最大值时，最大

8、，结合（1）中条件，即可求出最大时，对应的的值，再根据余弦定理求出边，进而得到的周长解：（1）由，得，即.因为，所以.由，得.（2）因为，所以，当且仅当时，等号成立.因为的面积.所以当时，的面积取得最大值，此时，则，所以的周长为.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在中，角、所对的边分别为、，且满足.（1）求角的大小；（2）若为的中点，且，求的最大值.【思路引导】（1）利用正弦定理边角互化思想得出，再利用两角差的余弦公式可得出的值，结合角的范围可得出角的大小；（2）由中线向量得出，将等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律和定义，并结合基本不等式得出的最大值，再利用三

9、角形的面积公式可得出面积的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，则，化简得，.又，因此，；（2）如下图，由，又为的中点，则，等式两边平方得，所以，则，当且仅当时取等号，因此，的面积最大值为.4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的最大值.【思路引导】（1）根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得.（2）利用正弦定理,表示出,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得的最大值.解：（1）,由正弦定理得从而有,；（2）由正弦定理得：,则,当时,取得最大值；5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在中，分别是

10、角，的对边，已知向量，且.（1）求角的大小；（2）若，求的周长的取值范围.【思路引导】（1）根据向量平行列出方程，再利用正弦定理进行边角转化，然后求出角的大小；（2）根据余弦定理求出的取值范围，再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围.解：（1）由得，由正弦定理，得，即，因为在三角形中，则，又，故；（2）在中，因，由余弦定理得，即，当且仅当时取等号，解得，又由三角形性质得，故，则，即的周长的取值范围为.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学（二)】如图，在四边形ABCD中，A为锐角，.（1）求；（2）设、的外接圆半径分别为，若恒成立，求实数m的最小值.【思路引导】(1)根据三角

11、函数的和差角公式与三角函数值求解即可.(2)根据正弦定理参变分离,再利用的取值范围求解解：（1）由题, ,即,因为.故.所以.（2）,因为,故当时有最大值所以,即实数m的最小值为7. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值【思路引导】（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.解：（1）由题意知，化简得：即，因为，所以，从而，由正弦定理得.（2）由（1）知，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

12、8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】在中，内角的对边分别为，已知(1)求角；(2)若，求的最小值【思路引导】（）利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA的值，可得A的值解：(1) 中，由正弦定理知，(2) 由 (1)及得，所以当且仅当时取等号，所以的最小值为9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】已知中，角，所对的边分别为，且满足.（1）求的面积；（2）若，求的最大值.【思路引导】（1）由诱导公式和二倍角公式可得，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得，从而可把用角表示出来，由三角函数性质求得最大值解：（1）在中，（2）当时

13、，取最大值.10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角B的值；（2）若ABC的面积为，设D为边AC的中点，求线段BD长的最小值【思路引导】（1）根据，化简可得，进一步得到，然后求出的值；（2）由（1）的角及三角形面积公式可得的值，因为D为边AC的中点，所以，利用向量的模和基本不等式可求的取值范围，即可得到的最小值.解：（1）由，得，即，即.由正弦定理得，因，所以，则，所以， 所以，即.（2）由ABC的面积为，即，得.因为D为边AC的中点，所以，所以，即，当且仅当时取“=”，所以，即线段BD长的最小值为.11. 中，的面积为.（