05、2020版高考数学（北京版）新攻略大一轮课标通用夯基提能作业本：2-第二章3-第三节 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

1、第三节函数的奇偶性与周期性a组基础题组1.下列函数中,值域为r的偶函数是()a.y=x2+1b.y=ex-e-xc.y=lg|x|d.y=x2答案cy=x2+1是偶函数,值域为1,+),a错误;y=ex-e-x是奇函数,b错误;y=lg|x|是偶函数,值域为r,c正确;y=x2的值域为0,+),d错误.故选c.2.(2017北京丰台二模,2)下列函数中,既是偶函数又是(0,+)上的增函数的是()a.y=-x3b.y=2|x|c.y=x12 d.y=log3(-x)答案b易知a中的函数为奇函数,c、d中的函数的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故选b.3.(2018北京石景山一模,2)下列函

2、数中,既是奇函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数为()a.y=xb.y=-x3c.y=log12xd.y=x+答案b由定义可知选项a和c都是非奇非偶函数,可排除.d选项在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,可排除.只有b满足条件,故选b.4.已知f(x),g(x)分别是定义在r上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()a.-3b.-1c.1d.3答案c解法一:f(x)- g(x)=x3+x2+1,f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(

3、1)+g(1) =1,故选c.解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,则f(1)+g(1)=12+1-13=1.选c.5.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)()a.是奇函数,且在r上是增函数b.是偶函数,且在r上是增函数c.是奇函数,且在r上是减函数d.是偶函数,且在r上是减函数答案a易知函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=3-x-13-x=13x-3x=-f(x),f(x)为奇函数.又y=3x在r上是增函数,y=-13x在r上是增函数,f(x)=3x-13x在r上是增函数.故选a.6.已知f(x)是定义在r上的偶函数,且在区间

4、(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是()a.-,12b.-,1232,+c.12,32d.32,+答案cf(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且f(-2)=f(2),原不等式可化为f(2|a-1|)f(2).故有2|a-1|2,即|a-1|,解得a0时, f(x)=x1-3x.(1)求当x0时, f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)-.解析(1)因为f(x)是奇函数,所以当x0,此时f(x)=-f(-x)=-x1-3-x=x1-3-x.(2)f(x)0时,x1-3x-,所以11-3x,所以3x-18,解得x2,

5、所以x(0,2);当x0时,x1-3-x-,所以3-x32,所以x-2,所以原不等式的解集是(-,-2)(0,2).9.(2016北京东城期中)已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ax2+bx,x0为奇函数,a,br.(1)求a-b的值;(2)若f(x)在区间-1,m-2上单调递增,求实数m的取值范围.解析(1)令x0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x,所以a=1,b=2.所以a-b=-1.(2)由(1)可得f(x)=-x2+2x,x0,x2+2x,x-1,m-21,解得1m3.所以实数m的取值范围是(1,3.

6、b组提升题组10.(2017北京朝阳期中)下列函数中,既在定义域上是偶函数,又在(0,+)上单调递减的是()a.y=x2b.y=x+1c.y=-lg|x|d.y=-2x答案c选项a:记f(x)=x2,其定义域为r,f(-x)=(-x)2=x2,f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数,但y=x2在(0,+)上单调递增,故a不符合题意.选项b:记f(x)=x+1,则f(1)=2, f(-1)=0,f(-1)f(1),y=x+1不是偶函数,故b不符合题意.选项c:记f(x)=-lg|x|,其定义域为(-,0)(0,+),f(-x)=-lg|-x|=-lg|x|,f(-x)=f(x),即f(x)是偶

7、函数,当x(0,+)时,y=-lg x.y=lg x在(0,+)上单调递增,y=-lg x在(0,+)上单调递减,故c符合题意.选项d:记f(x)=-2x,则f(1)=-2, f(-1)=-,f(-1)f(1),y=-2x不是偶函数,故d不符合题意.故选c.11.已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x0,1时, f(x)=2x-1,则f(2 017)+f(2 018)的值为()a.-2b.-1c.0d.1答案d因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),又因为函数的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f

8、(2+x)+2)=-f(x+2)=f(x).所以f(x)的周期为4.又函数的图象关于x=1对称,所以f(0)=f(2),所以f(2 017)+f(2 018)=f(1)+f(2)=f(1)+f(0)=21-1+20-1=1.12.设奇函数f(x)在(0,+)上是增函数,且f(1)=0,则不等式xf(x)-f(-x)0的解集为()a.x|-1x1b.x|x-1或0x1c.x|x1d.x|-1x0或0x1答案d因为函数f(x)是奇函数且在(0,+)上是增函数,所以f(x)在(-,0)上也是增函数.因为f(-x)=-f(x),所以f(-1)=-f(1)=0,不等式xf(x)-f(-x)0可化为2xf

9、(x)0,即xf(x)0.当x0=f(-1),所以x-1,所以-1x0时,可得f(x)0=f(1),所以x1,所以0x1.综上,原不等式的解集为x|-1x0或0x1.13.设函数f(x)是定义在r上的奇函数,且当x0时, f(x)=x2.若对任意xk,k+2,不等式 f(x+k)f(3x)恒成立,则g(k)=log2|k|的最小值是()a.2b.c.-d.-2答案a由题意得f(x)在r上单调递减,则对任意xk,k+2,不等式f(x+k)f(3x)恒成立等价于对任意xk,k+2,不等式x+k3x恒成立,即k2x恒成立,亦即k(2x)max,故k2(k+2),解得k-4,则g(k)=log2|k|

10、的最小值为g(-4)=log2|-4|=2.故选a.14.(2018北京通州一模,14)设函数f(x)=x2+acos x,ar,非空集合m=x|f(x)=0,xr.(1)m中所有元素之和为;(2)若集合n=x|f(f(x)=0,xr,且m=n,则a的值是.答案(1)0(2)0解析(1)因为函数f(x)=x2+acos x是偶函数,所以函数f(x)的零点关于原点对称,所以m中所有元素之和为0.(2)由m=n得f(0)=f(a),所以a的值为0.思路分析研究函数时,我们通常先研究函数的奇偶性,再研究函数的其他性质,如对称性、单调性、周期性以及函数恒过定点,同时结合已知条件作出该函数的大致图象,这类问题便可迎刃而解.15.已知函数y=f(x)在定义域-1,1上既是奇函数,又是减函数.(1)求证:对任意x1,x2-1,1,有f(x1)+f(x2)(x1+x2)0;(2)若f(1-a)+f(1-a2)0,求实数a的取值范围.解析(1)证明:若x1+x2=0,显然原不等式成立.若x1+x20,则-1x1f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)0.所以f(x1)+f(x2)(x1+x2