参数方程的定义,互化

1、,1.参数方程的概念,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在A点，离地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行. 现在向地面投放救援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹方程？,1、参数方程的概念：,设飞机在点A将物资投出机舱，,记物资投出机舱时为时刻0，在时刻t时物资 的位置为M(x,y).则x表示物资的水平位移量， y表示物资距地面的高度。,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹方程？,在经过飞行航线（直线）且垂直于地平面的平面上建立 平面直角坐标系，其中x轴为地平面

2、与这个平面的交线， y轴经过点A.,由于水平位移量x与高度y 是两种不 同的运动得到的，因此直接建立x,y 所要满足的关系式并不容易。,1、参数方程的概念：,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（1）沿ox作初速度为100m/s的匀速直线运动；,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动的轨迹方程？,（2）沿oy反方向作自由落体运动。,1、参数方程的概念：,如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.现在向地面投放救援物资(不记空气阻力),求出该救援物资运动

3、的轨迹方程？,一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。,二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。,三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。,（2）,并且对于t的每一个允许值, 由方程组(2) 所确定的点M(x,y)都在这条曲线上, 那么方程(2) 就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数x,y的变数t叫做参变数, 简称参数.,相对于参数方程而言，直接给出点的

4、坐标间关系的方程叫做普通方程。,关于参数几点说明： 参数是联系变数x,y的桥梁,1、参数方程的概念：,一般地, 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数,1.参数方程中参数可以有物理意义, 几何意义, 也可以没有明显意义。,2.同一曲线选取参数不同, 曲线参数方程形式也不一样,3.在实际问题中要确定参数的取值范围,例1: 已知曲线C的参数方程是 （1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。,解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,因此M1在曲线C上。,把点M2(5,4)代入

5、方程组，方程组无解，,因此M2不在曲线C上。,（2）因为M3 （6，a)在曲线C上。,解得：t=2,a=9,a=9,例1: 已知曲线C的参数方程是 （1）判断点M1(0, 1)，M2(5, 4)与曲线C的位置关系； （2）已知点M3(6, a)在曲线C上, 求a的值。,解：（1）把点M1(0,1)代入方程组，解得：t=0,因此M1在曲线C上。,把点M2(5,4)代入方程组，方程组无解，,因此M2不在曲线C上。,（2）因为M3 （6，a)在曲线C上。,解得：t=2,a=9,a=9,2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是 （ ）,A、（2，7）；B、 C、 D、（1，0）,1、曲线 与x轴的交点坐标

6、是( ) A、（1，4）；B、 C、 D、,B,D,训练1：,2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是 （ ）,A、（2，7）；B、 C、 D、（1，0）,1、曲线 与x轴的交点坐标是( ) A、（1，4）；B、 C、 D、,B,D,训练1：,3.参数方程和普通方程的互化,(1,1),类型一：参数方程化为普通方程,代入消元法,类型一：参数方程化为普通方程,三角变换消元法,将下列参数方程化为普通方程：,步骤： 1、消掉参数(代入消元，三角变形，配方消元,常用结论) 2、写出定义域（x的范围）,参数方程化为普通方程的步骤,在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。,注意：,x,

7、y范围与y=x2中x,y的范围相同，,代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.,2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.,注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.,在y=x2中，xR, y0，,分析:,发生了变化，因而与 y=x2不等价；,在A、B、C中，x,y的范围都,而在中，,且以,练习：参数方程,表示,（ ）,（A）双曲线的一支，这支过点（1，,）：,（B）抛物线的一部分，这部分过（,1，,）；,（C）双曲线的一支，这支过点（1，,）；,（D）抛物线的一部分，这部分过（1，,）,B,分析,一般思路是：化参数方程为

8、普通方程,求出范围、判断。,解,x2=,=1+sin=2y，, 普通方程是x2=2y，为抛物线。,，又02，,故应选（B）,说明:,这里切不可轻易去绝对值讨论， 平方法是最好的方法。,（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程,如：参数方程,消去参数,可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.,可得普通方程：y=2x-4,通过代入消元法消去参数t ,（x0）,注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的.,类型二：普通方程化为参数方程,注：本题两个参数方程和起来才是椭圆的参数方程。,1.如果没有明确x、y与参数的关系，则参数方程是有限个还是无限个？ 2.为什么（1）的正负取一个，而（2）却要取两个？如何区分？,两个解的范围一样只取一个；不一样时，两个都要取.,无限个,思考并讨论：,将下列参数方程