2018-2019北京市高三上学期期末考试数学压轴题汇编

1、（2018-2019丰台高三期末理20）20（本小题13分）将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）.如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质.（）写出一个具有性质的数阵，满足以下三个条件：，数列是公差为2的等差数列，数列是公比为的等比数列；（）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵.试判断数阵是否具有性质A，并说明理由.20（共13分）解：（）（答案不唯一）. . . .4分（）数阵具有性质A.只需证明，对于任意的，都有，其中.下面用反证明法证明：假设存在，则都大于，即在第列中，至少有个数大于，且.根据题意，对于每一个，都至少存在一个

2、，使得，即在第列中，至少有个数小于.所以，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵具有性质A. . . .13分（2018-2019海淀高三期末理20）（20）（本小题满分13分）设为不小于的正整数，集合,对于集合中的任意元素，记 . () 当时，若，请写出满足的所有元素； () 若，且，求的最大值和最小值；（）设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同元素 ，有成立，求集合中元素个数的最大值.20. 解：() 满足的元素为 （）记，注意到，所以，所以 因为，所以 所以中有个量的值为1，个量的值为0.显然，当，时，满足，.所以的最大值为 又 注意到只有时，否则而中个量的

3、值为1，个量的值为0所以满足这样的元素至多有个，当为偶数时，. 当时，满足，且.所以的最小值为 当为奇数时，且，这样的元素至多有个，所以 . 当，时，满足，.所以的最小值为 综上：的最大值为，当为偶数时，的最小值为，当为奇数时，.（）中的元素个数最大值为 设集合是满足条件的集合中元素个数最多的一个 记， 显然 集合中元素个数不超过个，下面我们证明集合中元素个数不超过个 ，则 则中至少存在两个元素 ， 因为 ，所以 不能同时为 所以对中的一组数而言，在集合中至多有一个元素满足同时为所以集合中元素个数不超过个所以集合中的元素个数为至多为 记，则中共个元素， 对于任意的，.对，记 其中，记，显然，均

4、有.记，中的元素个数为，且满足，均有.综上所述，中的元素个数最大值为. （2018-2019东城高三期末理20）(20)（本小题14分）对给定的记由数列构成的集合.（）若数列，写出的所有可能取值；（）对于集合，若. 求证：存在整数，使得对中的任意数列，整数不是数列中的项；（）已知数列，记的前项和分别为.若求证：.（20）（共14分）解：（）由于数列，即，由已知有，所以，将代入得的所有可能取值为 .4分（）先应用数学归纳法证明数列:当时，因此时结论成立.假设当时结论成立，即存在整数，使得成立.当时，或所以当时结论也成立. 由可知，若数列具有的形式. 由于具有的形式，以及，可得不是的整数倍.故取整

5、数，则整数均不是数列中的项. .9分（）由可得：所以有 以上各式相加可得，即当时，有由于所以，于是 .14分（2018-2019西城高三期末理20）20（本小题满分13分）设正整数数列满足，其中. 如果存在，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称为“k阶平衡数列”.（）判断数列2, 4, 6, 8, 10和数列1, 5, 9, 13, 17是否为“4阶平衡数列”？（）若N为偶数，证明：数列不是“k阶平衡数列”，其中. （）如果，且对于任意，数列均为“k阶平衡数列”，求数列A中所有元素之和的最大值.（2018-2019石景山高三理20）20.（本小题13分）将1至这个自然数随机填入方格的

6、个方格中，每个方格恰填一个数（）对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”（）若，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（）当时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为；（）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于3214此填数法的“特征值”为.1234此填数法的“特征值”为.20.（本题13分）或解：（） 3分714582369（）7分（前两问答案不唯一，请酌情给分）（）不妨设A为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为,考虑含n+1个元素的集合 ，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为也必有至少两个数处于同一列，设为.若则有（因为）.若，即，则， 所以.即不论何种情况，总有. 13分（2018-2019朝阳高三期末理20）20.（本小题满分13分）已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：是的倍数；.（）若，写出满足条件的所有的值；（）求证：当时，；（）求所有可能取值中的最大值.20. （本小题满分13分）（）的值可取. .3分 （）由，对于任意的，有.当时，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这