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文档简介
1、高一数学必修4第一章集体备课全章导学案(4)课题:1.1.1任意角一、学习目标(1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义;(2)理解任意角以及象限角的概念;(3)掌握所有与角a终边相同的角(包括角a)的表示方法; 教学重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断。教学难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。二、问题导学 1、角的定义:_; 2、角的概念的推广:_; 3、正角_; 负角 _; 零角概念_. 4、象限角_。 5.终边相同的角的表示_ 。三、问题探究 例1. 例1在范围内,找出与角终边相同的角,并判定它是第几象限角.(注:是指) 例2
2、.写出终边在轴上的角的集合. 例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来.四、课堂练习(1)教材第3、4、5题. (2)补充:时针经过3小时20分,则时针转过的角度为 ,分针转过的角度为 。注意: (1);(2)是任意角(正角、负角、零角);(3)终边相同的角不一定相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差的整数倍.5、 自主小结6、 当堂检测1设, ,那么有( )abc( )d 2用集合表示:(1)各象限的角组成的集合(2)终边落在 轴右侧的角的集合3在 间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角(1) ;(2) ;(3) 3.解:(1)
3、 与 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;(2) 与 终边相同的角是 ,它是第四象限的角;(3) 所以与 角终边相同的角是 ,它是第二象限角课后练习与提高1. 若时针走过2小时40分,则分针走过的角是多少?2. 下列命题正确的是: ( ) (a)终边相同的角一定相等。 (b)第一象限的角都是锐角。 (c)锐角都是第一象限的角。 (d)小于的角都是锐角。3. 若a是第一象限的角,则是第 象限角。4.一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_ _5.集合m=k,kz中,各角的终边都在( )a轴正半轴上,b轴正半轴上,c 轴或 轴上,d 轴正半轴或 轴正半轴上6.设 , c|= k180
4、o+45o ,kz , 则相等的角集合为_ _参考答案1. 解:2小时40分=小时, 故分针走过的角为480。 2. c 3. 一或三 4. 5. c 6. _bd,ce 课题:1.1.2 弧度制一、学习目标1.理解弧度制的意义;2.能正确的应用弧度与角度之间的换算;3.记住公式(为以.作为圆心角时所对圆弧的长,为圆半径);4熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。教学重点:弧度与角度之间的换算;教学难点:弧长公式、扇形面积公式的应用。2、 问题导学 (一)1、复习:初中时所学的角度制_; 规定角方法_; 2、角度制的单位有 _ ; 是_ 进制。(二)、自学课本第7、8页.通过自学回
5、答以下问题: 1、角的弧度制 :_ 叫做1弧度的角,用符号 表示,读作 。2、平角、周角的弧度数 _; 3、 角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长的关系_; 4、圆的半径为,圆弧长为、的弧所对的圆心角分别为 _ 5、如果半径为r的园的圆心角所对的弧长为,那么,角的弧度数的绝对值是: ,的正负由 决定。正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 。例如:当弧长且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是:我们用弧度制表示角的时候,“弧度”或经常省略,即只写一实数表示角的度量。 (三)角度与弧度的换算 rad 1=归纳:把角从弧度化为度的方法是: 把角从度化为弧度的方法是: :
6、一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整30901201502700(四)弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一个一一对应关系.正角零角负角正实数零负实数(五)、弧度下的弧长公式和扇形面积公式弧长公式:因为(其中表示所对的弧长),所以,弧长公式为扇形面积公式: 说明:以上公式中的必须为弧度单位三、问题探究例1、把下列各角从度化为弧度:(1) (2) (3) (4) 例2、把下列各角从弧度化为度:(1) (2) 3.5 (3) 2 (4)例3、知扇形的周长为8,圆心角为2rad,求该扇形的面积。四、课堂练习: 1、把下列各角从度化为弧度:(1)22 30
7、(2)210 (3)1200 2、把下列各角从弧度化为度:(1) (2) (3) 3、半径为120mm的圆上,有一条弧的长是144mm,求该弧所对的圆心角的弧度数。 4、半径变为原来的,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的 倍。 5、若2弧度的圆心角所对的弧长是,则这个圆心角所在的扇形面积是 6、以原点为圆心,半径为的圆中,一条弦的长度为,所对的圆心角的弧度数为 五、自主小结: 课后练习与提高1在中,若,求a,b,c弧度数。2直径为20cm的滑轮,每秒钟旋转,则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少?3选做题如图,扇形的面积是,它的周长是,求扇形的中心角及弦的长。 课题:1.2.1任意角的三角
8、函数一、学习目标(1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法;(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来;(4)掌握并能初步运用公式一;(5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).教学难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线
9、的正确理解.2、 问题导学(一)复习:1、初中锐角的三角函数 _ 2、在rtabc中,设a对边为a,b对边为b,c对边为c,锐角a的正弦、余弦、正切依次为_(二)新课:1三角函数定义在直角坐标系中,设是一个任意角,终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么(1)比值_叫做的正弦,记作_,即_(2)比值_叫做的余弦,记作_,即_(3)比值_叫做的正切,记作_,即_;2三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域3三角函数的符号由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知:正弦值对于第一、二象限为_(),对于第三、四象限为_();余弦值对于第一、四象限为_(),对于第
10、二、三象限为_();正切值对于第一、三象限为_(同号),对于第二、四象限为_(异号)4诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:_ 即有:_ 5当角的终边上一点的坐标满足_时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。 设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.()() ()()由四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有,_ ,_我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。3、 问题探究:例1已知角的终边经过点,求的三个函数制值。 变式训练1:已知角的终边过点,求角的正弦、余弦
11、和正切值.例2求下列各角的三个三角函数值:(1); (2); (3) 变式训练2:求的正弦、余弦和正切值.例3已知角的终边过点,求的三个三角函数值。 变式训练3: 求函数的值域例4.利用三角函数线比较下列各组数的大小: 1. 与 2. tan与tan 四、自主小结课后练习与提高一、选择题1. 是第二象限角,p(,)为其终边上一点,且,则的值为( )a. b. c. d. 2. 是第二象限角,且,则是( ) a. 第一象限角 b. 第二象限角 c. 第三象限角 d. 第四象限角3、如果那么下列各式中正确的是( )a. b. c. d. 二、填空题4. 已知的终边过(9,)且,则的取值范围是 。5
12、. 函数的定义域为 。6. 的值为 (正数,负数,0,不存在)三、解答题7.已知角的终边上一点p的坐标为()(),且,求课题:1.2.2同角的三角函数的基本关系一、学习目标:掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义;2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能,提高运用公式的灵活性;3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中,注意培养学生分析问题的能力,从而提高逻辑推理能力教学重点:掌握同角三角函数的基本关系式; 教学难点 通过运用公式的训练过
13、程,培养学生解题技能,提高运用公式的灵活性;二、问题导学1、复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线: 。2、以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即 .根据三角函数的定义,当时,有 .这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1,商等于角的正切.3、 问题探究:【例题讲评】例1化简: 例2 已知例3求证: 例4已知方程的两根分别是,求 例5已知,求四、课堂练习 化简下列各式123 课题:1.3.1三角函数的诱导公式(一)一、学习目标:1、借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求
14、值、化简和恒等式证明问题2、通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想,以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。教学重点:四组诱导公式的记忆、理解、运用。教学难点:四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断2、 问题导学1 、30度、45度、60度角的正弦 余弦 正切值 ;2、在平面直角坐标系中做出单位圆,并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。3、任一角都可以转化为终边在内的角,求它的三角函数值方法: 4、诱导公式的推导由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等,即有公式一: (公式一)诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余弦、正切
15、化为之间角的正弦、余弦、正切。【注意】:运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成,是不对的 5、由单位圆性质可以推得: (公式二) (公式三) 角与角的终边关于原点对称,故有 (公式四)所以,我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。【说明】:公式中的指任意角;在角度制和弧度制下,公式都成立;记忆方法: “函数名不变,符号看象限”;【方法小结】:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般方向是: ; ; 。可概括为:“ ”(有时也直接化到锐角求值)。3、 问题探究例1 求下列三角函数值:(1); (2) 例2 化简四、课堂练习:(1)若,则的取值集合为(
16、 )abcd(2)已知那么( )abcd(3)设角的值等于( )abcd(4)当时,的值为( )a1b1c1d与取值有关(5)设为常数),且 那么 a1b3 c5d7 ( )(6)已知则 . 课后练习与提高一、选择题 1已知,则值为( )a. b. c. d. 2cos (+)= ,,sin(-) 值为( ) a. b. c. d. 3化简:得( )a. b. c. d.4已知,那么的值是( ) a b c d 二、填空题5如果且那么的终边在第 象限6求值:2sin(1110o) sin960o+三、解答题7设,求的值8已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p),求的值。课题
17、:1.3.2三角函数诱导公式(二)一、教学目标1通过本节内容的教学,使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式,并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明;2通过公式的应用,培养学生的化归思想,运算推理能力、分析问题和解决问题的能力;教学重点:诱导公式及诱导公式的综合运用. 教学难点:公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透 2、 问题导学复习:1利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值;_ 2诱导公式一及其用途: _ _ _ 3、对于任何一个内的角,以下四种情况有且只有一种成立(其中为锐角):4、 诱导公式二: 5、诱导公式
18、三:6、诱导公式四: 7、诱导公式五: 8、诱导公式六: 三、问题探究问题1:请同学们回顾一下前一节我们学习的与、的三角函数关系。问题2: 如果两个点关于直线y=x对称,它们的坐标之间有什么关系呢?若两个点关于y轴对称呢?探究新知:问题1:如图:设的终边与单位圆相交于点p,则p点坐标为 ,点p关于直线y=x的轴对称点为m,则m点坐标为 , 点m关于y轴的对称点n,则n的坐标为 , xon的大小与的关系是什么呢?点n的坐标又可以怎么表示呢?问题2:观察点n的坐标,你从中发现什么规律了?例1 利用上面所学公式求下列各式的值:(1) (2) (3) (4)变式训练1: 将下列三角函数化为到之间的三角
19、函数:(1) (2) (3)思考:我们学习了的诱导公式,还知道的诱导公式,那么对于,又有怎样的诱导公式呢?例2已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p),求的值变式训练2:已知,求的值。四、课堂练习1利用上面所学公式求下列各式的值:(1) (2)2将下列三角函数化为到之间的三角函数:(1) (2)五、自主小结:课后练习与提高1已知,则值为( )a. b. c. d. 2cos (+)= ,cosx 成立的x取值范围是( )a .(,)( , ) b. ( ,) c. ( ,) d.( ,)( ,)二、填空题4cos1,cos2,cos3的大小关系是_.5=sin(3x-)的周
20、期是_.三、解答题6求函数y=cos2x - 4cosx + 3的最值课题:1.4.3正切函数的图像与性质 一、教学目标:会用单位圆内的正切线画正切曲线,并根据正切函数图象掌握正切函数的性质,用数形结合的思想理解和处理问题。教学重难点:正切函数的图象及其主要性质。二、问题导学 1.画出下列各角的正切线: 2.类比正弦函数我们用几何法做出正切函数图象:3.把上述图象向左、右扩展,得到正切函数,且的图象,称“正切曲线”4.观察正切曲线,回答正切函数的性质:定义域: 值域:最值: 渐近线:周期性: 奇偶性单调性: 图像特征:3、 问题探究例1.讨论函数的性质 变式训练1. 求函数ytan2x的定义域
21、、值域和周期例2.求函数y的定义域 变式训练2. y例3. 比较tan与tan的大小 变式训练3. tan与tan () 四、课堂检测(一)、选择题1. 函数的周期是 ( )(a) (b) (c) (d)2.函数的定义域为 ( )(a) (b) (c) (d)3.下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2为周期,(3)是奇函数的是 ( )(a) (b) (c) (d)(二)、填空题4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_.5.给出下列命题:(1)函数y=sin|x|不是周期函数; (2)函数y=|cos2x+1/2|的周期是/2;(3)函数y=tanx在定义域内是增函数;
22、(4)函数y=sin(5/2+x)是偶函数;(5)函数y=tan(2x+/6)图象的一个对称中心为(/6,0)其中正确命题的序号是_(注:把你认为正确命题的序号全填上)(三)、解答题6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域 课后练习与提高一、选择题1、在定义域上的单调性为( ).a在整个定义域上为增函数 b在整个定义域上为减函数c在每一个开区间上为增函数d在每一个开区间上为增函数2、下列各式正确的是( ).a bc d大小关系不确定3、若,则( ).a bc d二、填空题4、函数的定义域为 .5、函数的定义域为 .三、解答题6、 函数的定义域是( ).课题:1.5函数的图象一、教学目标1.会
23、用 “五点法”作出函数以及函数的图象的图象。 2.能说出对函数的图象的影响. 3.能够将的图象变换到的图象,并会根据条件求解析式.教学重点:由正弦曲线变换得到函数的图象。教学难点:当时,函数与函数的关系。二、问题导学 1.函数,(其中)的图象,可以看作是正弦曲线上所有的点_(当0时)或_(当0且)的图象,可以看作是把正弦曲线 上所有点的横坐标_(当1时)或_(当00且a1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标_(当a1时)或_(当0a0,0)的图象,可以看作用下面的方法得到:先把正弦曲线上所有的点_(当0时)或_(当1时)或_(当01时)或_(当0a0,0,0o, 0,)的最小正周期是
24、,最小值是-2,且图象经过点(),求这个函数的解析式.五、自主小结课题:1.6三角函数模型的简单应用一、教学目标1、会用三角函数解决一些简单的问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.2通过对三角函数的应用,发展数学应用意识,求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 教学重点:精确模型的应用由图象求解析式,由解析式研究图象及性质教学难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型二、问题导学1、三角函数可以作为描述现实世界中_现象的一种数学模型.2、是以_为周期的波浪型曲线.三、问题探究;问题一、如图,某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数(1)求这一天614时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式问题二、画出函数的图象并观察其周期问题三、如图,设地球表面某地正午太阳高度角为,为此时太阳直射纬度,为该地的纬度值,那么这三个量之间的关系是当地夏半年取正值,冬半年取负值如果在北京地区(纬度数约为北纬)的一幢高为的楼房北面盖一新楼,要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?四、课堂练习 1、
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