层次分析法课件

1第一章层次分析法(AHP)

AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，又称为层次分析法或多层次权重解析方法，是20世纪70年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨蒂(T·L·Saaty)教授首次提出来的。该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较。由于系统、简洁、实用，在社会、经济、管理等许多方面，得到越来越广泛的应用。

1第一章层次分析法(AHP)A21.1AHP方法的基本原理

一、递阶层次结构模型

首先要把问题条理化、层次化，构造出能够反映系统内在联系的递阶层次结构模型。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次。同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。这样，构造了递阶层次结构模型。AHP的层次结构，既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般来说，可以将层次分为三种类型：①最高层。只包含一个元素，表示总目标层。②中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，称目标层。③最低层。表示实现各决策目标的可行方案，称为方案层。

21.1AHP方法的基本原理31.1AHP方法的基本原理

一、递阶层次结构模型

层次结构中相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存在关系，就没有作用线。如果某一元素与相邻下一层次所有元素均有关系，则称此元素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次部分元素存在关系，则称为不完全层次关系。在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的实际需要而定，不宜过多。每一层次元素一般不要超过9个，过多的元素会给主观判断比较带来困难。构造一个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。

G…………C1C2……Cs总目标第1层子目标第n层子目标方案层31.1AHP方法的基本原理层次结构中相邻41.1AHP方法的基本原理

一、递阶层次结构模型

[例1]构建科研课题决策的层次结构模型。决策往往涉及众多因素：成果贡献、人才培养、可行性、发展前景四个目标。和这四个目标相关的因素又有以下几个：①实用价值。研究成果给社会带来的效益，包括经济效益和社会效益。实用价值与成果贡献、人才培养、发展前景等目标都有关系。②科技水平。课题在学术上的理论价值以及在同行中的领先水平。科技水平直接关系到成果贡献、人才培养、发展前景。③优势发挥。课题发挥本单位学科及人才优势程度，体现与同类课题比较的有利因素。与人才培养、课题可行性、发展前景均有关系。④难易程度。指课题本身的难度以及课题组现有人才、设备条件所决定的成功可能性。与课题可行性、发展前景相关联。⑤研究周期。课题研究预计所需时间，与可行性直接相关。⑥财政支持。是指课题的经费、设备以及经费来源。与课题可行性、发展前景直接相关。科研课题决策，就是综合上述各种目标和因素，确定各个课题的相对优劣次序，以供优选课题和安排科研力量参考。为此，建立科研课题决策的层次结构模型。模型从上到下，分为四个层次，层次之司的关联情况均以作用线标明。

41.1AHP方法的基本原理[例1]构建科研51.1AHP方法的基本原理

一、递阶层次结构模型

综合评价科研课题A课题1……成果贡献B1人才培养B2可行性B3发展前景B4实用价值C1科技水平C2优势发挥C3难易程度C4研究周期C5财政支持C6经济效益C11社会效益C12课题N51.1AHP方法的基本原理综合评价科研课题A课题161.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和

1之间。在给定的决策准则之下，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算得到。这个过程称为递阶层次权重解析过程。

[例2]设有3个物体，它们的重量分别为g1，g2，g3。为了测出各物体的重量，现将每一物体与其它物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较，得到3个重量比值gi/g1

，gi/g2，gi/g3

(i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A，称为3个物体重量的判断矩阵。

61.1AHP方法的基本原理AHP方法采71.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

设3个物体重量组成的向量为

根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的重量，就是判断矩阵最大特征值3的特征向量的各个分量。71.1AHP方法的基本原理设3个物体重量组成81.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

判断矩阵

产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵的最大特征值是否存在，是否为单根?

元素aij＞0（称为正矩阵），i,j=1,2,3，并且满足下列三个条件：

81.1AHP方法的基本原理判断矩阵产91.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

实际中，判断矩阵的构造采用Saaty引用的1-9标度方法，各级标度含义如下表。

标度定

义含

义1同样重要两元素对某准则同样重要3稍微重要两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要2,4,6,8相邻标度中值表示相邻两标度之间折衷时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，反之为l/aij

1-9标度法则符合人的认识规律，有一定科学依据。从人的直觉判断能力看，在区分事物数量差别时，习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将l-9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化。

91.1AHP方法的基本原理实际中，判断矩阵的101.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

[例3]设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵

CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a33101.1AHP方法的基本原理[例3]设有3个元111.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性

定义1:设如果满足下列二个条件：则称A

为互反矩阵。

定义2:设如果满足下列三个条件：则称A

为一致性矩阵。111.1AHP方法的基本原理定义1:设如果满121.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性

定理1(Perron):设则：①A

有最大的正特征值max，并且max是单根，其余特征值的模均小于max

定理2:设A

是互反矩阵。②A

的属于max的特征向量X＞0

①若max是A

的最大特征值，则max≥m

②若1,2,…,m

是A的特征值，则③A是一致性矩阵的充分必要条件是max=m

121.1AHP方法的基本原理定理1(Perr131.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性定理2:设A

是一致性矩阵，则：①一致性正矩阵是互反正矩阵；

②A的转置矩阵AT也是一致性矩阵；③A的每一行均为任意指定一行的正数倍数；④A的最大特征值max=m，其余特征值均为0

；⑤若A的属于max的特征向量为

产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵具有互反性，但是不一定具有一致性，即不一定满足131.1AHP方法的基本原理定理2:设A是一致性141.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性

尽管判断矩阵不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大于阶数m，其余特征值接近于零，称之为满意的一致性。这样，计算出的层次单排序结果才是合理的。因此，必须对判断矩阵的一致性进行检验，使之达到满意的一致性标准。

设判断矩阵A的全部特征值为：1=max，2，，m

由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2，，m)。由矩阵理论有

为达到满意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取作为检验判断矩阵一致性指标。

141.1AHP方法的基本原理尽管判断矩阵不151.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之，偏离一致性越小。当阶数m≤2时，C.I=0，判断矩阵具有完全一致性。因此，必须引入平均随机一致性指标R.I，随判断矩阵的阶数而变化，如下表。这些R.I值是用随机方法构造判断矩阵，经过500次以上的重复计算，求出一致性指标，并加以平均而得到的。

阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59一致性指标C.I与同阶平均随机一致性指标R.I的比较值，称为一致性比率151.1AHP方法的基本原理C.I越大，偏离一致性161.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当C.R≤0.1时，判断矩阵符合一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的。否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。判断矩阵的一致性检验步骤是：

第一步：求出一致性指标

第二步：查表得到平均随机一致性指标R.I

第三步：计算一致性比率

当C.R≤0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵

161.1AHP方法的基本原理用一致性比率C.R检验171.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解判断矩阵A=(aij)m×m是决策者主观判断的描述，求解判断矩阵并不要求过高的精度。有根法、和法及幂法，幂法适于在计算机上运算。

（1）根法

第一步：计算A的每一行元素之积Mi

第二步：计算Mi的m次方根ai

第三步：对向量a=(a1,a2,…,am)T作归一化处理，

得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值max171.1AHP方法的基本原理判断矩阵A=(aij181.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（1）根法取算述平均值：

181.1AHP方法的基本原理取算述平均值：191.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（1）根法[例3]求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。

191.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判201.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（1）根法

进行一致性检验：

所以，判断矩阵A满足一致性检验。

201.1AHP方法的基本原理进行一致性检验：211.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解（2）和法

第一步：判断矩阵A的元素按列作归一化处理得到矩阵Q

第二步：将矩阵Q的元素按行相加，得到向量a

第三步：对向量a=(a1,a2,…,am)T作归一化处理，

得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值max211.1AHP方法的基本原理（2）和法第一步：判221.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（2）和法221.1AHP方法的基本原理231.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（2）和法取算述平均值：

231.1AHP方法的基本原理取算述平均值：241.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（2）和法[例3]求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。

241.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判251.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（2）和法

进行一致性检验：

所以，判断矩阵A满足一致性检验。

251.1AHP方法的基本原理进行一致性检验：261.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解（3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算

第一步：k=0，任取初始正向量

第二步：k=1，迭代计算定理：设则，其中E=(1,1,…,1)T，C为常数

第k+1步：迭代计算（k=0,1,2,3,…）261.1AHP方法的基本原理（3）幂法：逐步迭代方271.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解（3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算

第三步：精度检查，当|mk+1-mk|<，转入第四步；否则令k=k+1，转入第二步

第四步：求最大特征值和对应的特征向量

271.1AHP方法的基本原理（3）幂法：逐步迭代方281.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（3）幂法[例3]求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。精度=0.0001

解：任取初始正向量

kX(k)Y(k)011111118.00008.50001.34290.941210.158023.73122.57660.489110.69060.131133.03672.10830.429810.69430.141543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419当k=7时，|m8－m7|=|3.1189－3.1189|=0＜0.0001，迭代终止。得到

281.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判291.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（3）幂法

进行一致性检验：

所以，判断矩阵A不满足一致性检验。

291.1AHP方法的基本原理进行一致性检验：301.2递阶层次结构权重解析过程

一、递阶权重解析公式G…………C1C2……Cs总目标第1层子目标第2层子目标方案层……第n层子目标┆301.2递阶层次结构权重解析过程G…………C1C2…311.2递阶层次结构权重解析过程

一、递阶权重解析公式第一层n1个子目标关于总目标G的优先权重向量（第一层子目标判断矩阵最大特征值对应的特征向量）第二层n2个子目标关于总目标G的优先权重向量

第二层n2个子目标关于第一层第1个元素优先权重向量第二层n2个子目标关于第一层第2个元素优先权重向量第二层n2个子目标关于第一层第n1个元素优先权重向量311.2递阶层次结构权重解析过程第一层n1个子目标关321.2递阶层次结构权重解析过程

一、递阶权重解析公式第三层n3个子目标关于总目标G的优先权重向量

第三层n3个子目标关于第二层第1个元素优先权重向量第三层n3个子目标关于第二层第2个元素优先权重向量第三层n3个子目标关于第二层第n2个元素优先权重向量321.2递阶层次结构权重解析过程第三层n3个子目标关331.2递阶层次结构权重解析过程

一、递阶权重解析公式第n层nn个子目标关于总目标G的优先权重向量

第n层nn个子目标关于第n-1层第1个元素优先权重向量第n层nn个子目标关于第n-1层第2个元素优先权重向量第n层nn个子目标关于第n-1层第nn-1个元素优先权重向量331.2递阶层次结构权重解析过程第n层nn个子目标关341.2递阶层次结构权重解析过程

二、AHP方法的基本步骤①建立层次结构模型：对决策对象调查研究，将目标体系所包含的因素划分为不同层次。

②构造判断矩阵：按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。每一层元素都以相邻上一层次各元素为准则，按1-9标度方法两两比较构造判断矩阵。也可以用其他改进的标度方法构造。③层次单排序及一致性检验：求解判断矩阵最大特征值和对应的特征向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。层次单排序要进行一致性检验，检验不合格的要修正判断矩阵，直到符合满意的一致性标准。

④层次总排序。层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。341.2递阶层次结构权重解析过程①建立层次结构模型351.2递阶层次结构权重解析过程

[例4]某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大，经常造成交通堵塞。市政府决定解决这个问题，经过有关专家会商研究制定出三个可行方案：

c1：在商场附近修建一座环形天桥；

c2：在商场附近修建地下人行通道；

c3：搬迁商场。决策的总目标是改善市中心交通环境。根据当地的具体条件和有关情况,专家组拟定五个目标作为对可行方案的评价准则：

b1：通车能力；

b2：方便群众；

b3：基建费用不宜过高；

b4：交通安全；

b5：市容美观。试对该市改善市中心交通环境问题作出决策分析。

351.2递阶层次结构权重解析过程[例4]某市中心有一361.2递阶层次结构权重解析过程

[解]用AHP方法对此问题作出决策分析

(1)构建层次结构模型

改善交通环境A总目标准则层方案层通车能力B1方便群众B2基建费用B3交通安全B4市容美观B5天桥C1地道C2搬迁C3361.2递阶层次结构权重解析过程[解]用AHP方法对37(2)层次单排序及其一致性检验①第一层：对于总目标A，准则层各准则构造判断矩阵A(1)，求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。最大特征值特征向量(权重)所以，判断矩阵A(1)满足一致性检验。

37(2)层次单排序及其一致性检验①第一层：对于总目标A，38(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B1、B2、B3，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2)，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。最大特征值特征向量所以，判断矩阵A1(2)满足一致性检验。

●对于准则B1(通车能力)：38(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B139(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B1、B2、B3，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2)，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。最大特征值特征向量所以，判断矩阵A2(2)满足一致性检验。

●对于准则B2(方便群众)：39(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B140(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B1、B2、B3，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2)，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。最大特征值特征向量所以，判断矩阵A3(2)满足一致性检验。

●对于准则B3(基建费用)：40(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B141(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B1、B2、B3，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2)，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。最大特征值特征向量所以，判断矩阵A4(2)满足一致性检验。

●对于准则B4(交通安全)：41(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B142(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B1、B2、B3，构造判断矩阵A1(2)、A2(2)、A3(2)，分别求解最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。最大特征值特征向量所以，判断矩阵A5(2)满足一致性检验。

●对于准则B5(市容美观)：42(2)层次单排序及其一致性检验②第二层：对于各准则B143(2)层次单排序及其一致性检验●第二层权重向量（此时为层次总排序）这说明三个可行方案的排序结果是C1＞C2＞C3，即是修建天桥是最满意方案，其次是修建地下人行通道，最次是搬迁商场。

43(2)层次单排序及其一致性检验●第二层权重向量（此时为44习题一

1、某单位需要建立一个蓄水池，有南区方案和北区方案，按照投资合理、效益显著、运行可靠、管理方便的原则选择最优方案，各项比较准则所需的相关资料如下，试用确定最佳方案。

目标方案A工程投资B1工程效益B2施工条件B3开挖量C11地基条件C12施工条件C12进水C21管理条件C22影响环境C23蓄水量C24施工条件C31南区方案D1北区方案D244习题一目标方案A工程投资B1工程效益B2施工条件B345第一章层次分析法(AHP)

AHP(AnalyticHierarchyProcess)方法，又称为层次分析法或多层次权重解析方法，是20世纪70年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨蒂(T·L·Saaty)教授首次提出来的。该方法是定量和定性分析相结合的多目标决策方法，能够有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度决策者的判断和比较。由于系统、简洁、实用，在社会、经济、管理等许多方面，得到越来越广泛的应用。

1第一章层次分析法(AHP)A461.1AHP方法的基本原理

一、递阶层次结构模型

首先要把问题条理化、层次化，构造出能够反映系统内在联系的递阶层次结构模型。将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次。同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。这样，构造了递阶层次结构模型。AHP的层次结构，既可以是序列型的，也可以是非序列型的。一般来说，可以将层次分为三种类型：①最高层。只包含一个元素，表示总目标层。②中间层。包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，称目标层。③最低层。表示实现各决策目标的可行方案，称为方案层。

21.1AHP方法的基本原理471.1AHP方法的基本原理

一、递阶层次结构模型

层次结构中相邻两层次元素之间的关系用直线标明，称为作用线，元素之间不存在关系，就没有作用线。如果某一元素与相邻下一层次所有元素均有关系，则称此元素与下一层次存在完全层次关系；如果某元素仅与相邻下一层次部分元素存在关系，则称为不完全层次关系。在实际操作中，模型的层次数由系统的复杂程度和决策的实际需要而定，不宜过多。每一层次元素一般不要超过9个，过多的元素会给主观判断比较带来困难。构造一个合理而简洁的层次结构模型，是AHP方法的关键。

G…………C1C2……Cs总目标第1层子目标第n层子目标方案层31.1AHP方法的基本原理层次结构中相邻481.1AHP方法的基本原理

一、递阶层次结构模型

[例1]构建科研课题决策的层次结构模型。决策往往涉及众多因素：成果贡献、人才培养、可行性、发展前景四个目标。和这四个目标相关的因素又有以下几个：①实用价值。研究成果给社会带来的效益，包括经济效益和社会效益。实用价值与成果贡献、人才培养、发展前景等目标都有关系。②科技水平。课题在学术上的理论价值以及在同行中的领先水平。科技水平直接关系到成果贡献、人才培养、发展前景。③优势发挥。课题发挥本单位学科及人才优势程度，体现与同类课题比较的有利因素。与人才培养、课题可行性、发展前景均有关系。④难易程度。指课题本身的难度以及课题组现有人才、设备条件所决定的成功可能性。与课题可行性、发展前景相关联。⑤研究周期。课题研究预计所需时间，与可行性直接相关。⑥财政支持。是指课题的经费、设备以及经费来源。与课题可行性、发展前景直接相关。科研课题决策，就是综合上述各种目标和因素，确定各个课题的相对优劣次序，以供优选课题和安排科研力量参考。为此，建立科研课题决策的层次结构模型。模型从上到下，分为四个层次，层次之司的关联情况均以作用线标明。

41.1AHP方法的基本原理[例1]构建科研491.1AHP方法的基本原理

一、递阶层次结构模型

综合评价科研课题A课题1……成果贡献B1人才培养B2可行性B3发展前景B4实用价值C1科技水平C2优势发挥C3难易程度C4研究周期C5财政支持C6经济效益C11社会效益C12课题N51.1AHP方法的基本原理综合评价科研课题A课题1501.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和

1之间。在给定的决策准则之下，数值越大，方案越优，反之越劣。方案层各方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算得到。这个过程称为递阶层次权重解析过程。

[例2]设有3个物体，它们的重量分别为g1，g2，g3。为了测出各物体的重量，现将每一物体与其它物体重量两两比较：第i个物体重量与其它物体重量相比较，得到3个重量比值gi/g1

，gi/g2，gi/g3

(i=1,2,3)。构成一个3行3列的矩阵A，称为3个物体重量的判断矩阵。

61.1AHP方法的基本原理AHP方法采511.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

设3个物体重量组成的向量为

根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的重量，就是判断矩阵最大特征值3的特征向量的各个分量。71.1AHP方法的基本原理设3个物体重量组成521.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

判断矩阵

产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵的最大特征值是否存在，是否为单根?

元素aij＞0（称为正矩阵），i,j=1,2,3，并且满足下列三个条件：

81.1AHP方法的基本原理判断矩阵产531.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

实际中，判断矩阵的构造采用Saaty引用的1-9标度方法，各级标度含义如下表。

标度定

义含

义1同样重要两元素对某准则同样重要3稍微重要两元素对某准则，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某准则，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某准则，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某准则，一元素比另一元素极端重要2,4,6,8相邻标度中值表示相邻两标度之间折衷时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，反之为l/aij

1-9标度法则符合人的认识规律，有一定科学依据。从人的直觉判断能力看，在区分事物数量差别时，习惯使用相同、较强、强、很强、极端强等判断语言。根据心理学实验表明，多数人对不同事物在相同准则上的差异，其分辨能力介于5-9级之间，1-9标度反映了多数人的判断能力。Saaty将l-9标度方法和其它标度方法进行对比，大量模拟实验证明，1-9标度是可行的，与其它标度方法比较，能更有效地将思维判断数量化。

91.1AHP方法的基本原理实际中，判断矩阵的541.1AHP方法的基本原理

二、判断矩阵及其特征向量

[例3]设有3个元素A1，A2，A3，现在构造关于准则Cr的判断矩阵

CrAlA2A3Ala11a12a13A2a21a22a23A3a31a32a33101.1AHP方法的基本原理[例3]设有3个元551.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性

定义1:设如果满足下列二个条件：则称A

为互反矩阵。

定义2:设如果满足下列三个条件：则称A

为一致性矩阵。111.1AHP方法的基本原理定义1:设如果满561.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性

定理1(Perron):设则：①A

有最大的正特征值max，并且max是单根，其余特征值的模均小于max

定理2:设A

是互反矩阵。②A

的属于max的特征向量X＞0

①若max是A

的最大特征值，则max≥m

②若1,2,…,m

是A的特征值，则③A是一致性矩阵的充分必要条件是max=m

121.1AHP方法的基本原理定理1(Perr571.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性定理2:设A

是一致性矩阵，则：①一致性正矩阵是互反正矩阵；

②A的转置矩阵AT也是一致性矩阵；③A的每一行均为任意指定一行的正数倍数；④A的最大特征值max=m，其余特征值均为0

；⑤若A的属于max的特征向量为

产生问题：根据决策者主观判断所构造的判断矩阵具有互反性，但是不一定具有一致性，即不一定满足131.1AHP方法的基本原理定理2:设A是一致性581.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性

尽管判断矩阵不具有完全的一致性，仍希望它的最大特征值max略大于阶数m，其余特征值接近于零，称之为满意的一致性。这样，计算出的层次单排序结果才是合理的。因此，必须对判断矩阵的一致性进行检验，使之达到满意的一致性标准。

设判断矩阵A的全部特征值为：1=max，2，，m

由于A是互反矩阵，aii=1，(i=1，2，，m)。由矩阵理论有

为达到满意一致性，除了max之外，其余特征值尽量接近于零。取作为检验判断矩阵一致性指标。

141.1AHP方法的基本原理尽管判断矩阵不591.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性C.I越大，偏离一致性越大。反之，偏离一致性越小。判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大，反之，偏离一致性越小。当阶数m≤2时，C.I=0，判断矩阵具有完全一致性。因此，必须引入平均随机一致性指标R.I，随判断矩阵的阶数而变化，如下表。这些R.I值是用随机方法构造判断矩阵，经过500次以上的重复计算，求出一致性指标，并加以平均而得到的。

阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59一致性指标C.I与同阶平均随机一致性指标R.I的比较值，称为一致性比率151.1AHP方法的基本原理C.I越大，偏离一致性601.1AHP方法的基本原理

三、判断矩阵的一致性用一致性比率C.R检验判断矩阵的一致性，当C.R越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当C.R≤0.1时，判断矩阵符合一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的。否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。判断矩阵的一致性检验步骤是：

第一步：求出一致性指标

第二步：查表得到平均随机一致性指标R.I

第三步：计算一致性比率

当C.R≤0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵

161.1AHP方法的基本原理用一致性比率C.R检验611.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解判断矩阵A=(aij)m×m是决策者主观判断的描述，求解判断矩阵并不要求过高的精度。有根法、和法及幂法，幂法适于在计算机上运算。

（1）根法

第一步：计算A的每一行元素之积Mi

第二步：计算Mi的m次方根ai

第三步：对向量a=(a1,a2,…,am)T作归一化处理，

得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值max171.1AHP方法的基本原理判断矩阵A=(aij621.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（1）根法取算述平均值：

181.1AHP方法的基本原理取算述平均值：631.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（1）根法[例3]求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。

191.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判641.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（1）根法

进行一致性检验：

所以，判断矩阵A满足一致性检验。

201.1AHP方法的基本原理进行一致性检验：651.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解（2）和法

第一步：判断矩阵A的元素按列作归一化处理得到矩阵Q

第二步：将矩阵Q的元素按行相加，得到向量a

第三步：对向量a=(a1,a2,…,am)T作归一化处理，

得到最大特征值对应的特征向量W=(w1,w2,…,wm)T

第四步：求A的最大特征值max211.1AHP方法的基本原理（2）和法第一步：判661.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（2）和法221.1AHP方法的基本原理671.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（2）和法取算述平均值：

231.1AHP方法的基本原理取算述平均值：681.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（2）和法[例3]求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。

241.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判691.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（2）和法

进行一致性检验：

所以，判断矩阵A满足一致性检验。

251.1AHP方法的基本原理进行一致性检验：701.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解（3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算

第一步：k=0，任取初始正向量

第二步：k=1，迭代计算定理：设则，其中E=(1,1,…,1)T，C为常数

第k+1步：迭代计算（k=0,1,2,3,…）261.1AHP方法的基本原理（3）幂法：逐步迭代方711.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解（3）幂法：逐步迭代方法，容易编程计算

第三步：精度检查，当|mk+1-mk|<，转入第四步；否则令k=k+1，转入第二步

第四步：求最大特征值和对应的特征向量

271.1AHP方法的基本原理（3）幂法：逐步迭代方721.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（3）幂法[例3]求解下列判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，并进行一致性检验。精度=0.0001

解：任取初始正向量

kX(k)Y(k)011111118.00008.50001.34290.941210.158023.73122.57660.489110.69060.131133.03672.10830.429810.69430.141543.09612.18480.440610.70570.142353.12292.20180.443110.70500.141963.11952.19830.442610.70470.141973.11892.19800.442610.70470.141983.11892.19800.442610.70470.1419当k=7时，|m8－m7|=|3.1189－3.1189|=0＜0.0001，迭代终止。得到

281.1AHP方法的基本原理[例3]求解下列判731.1AHP方法的基本原理

四、判断矩阵求解:（3）幂法

进行一致性检验：

所以，判断矩阵A不满足一致性检验。

291.1AHP方法的基本原理进行一致性检验：741.2递阶层次结构权重解析过程

一、递阶权重解析公式G…………C1C2……Cs总目标第1层子目标第2层子目标方案层……第n层子目标┆301.2递阶层次结构权重解析过程G…………C1C2…751.2递阶层次结构权重解析过程

一、递阶权重解析公式第一层n1个子目标关于总目标G的优先权重向量（第一层子目标判断矩阵最大特征值对应的特征向量）第二层n2个子目标关于总目标G的优先权重向量

第二层n2个子目标关于第一层第1个元素优先权重向量第二层n2个子目标关于第一层第2个元素优先权重向量第二层n2个子目标关于第一层第n1个元素优先权重向量311.2递阶层次结构权重解析过程第一层n1个子目标关761.2递阶层次结构权重解析过程

一、递阶权重解析公式第三层n3个子目标关于总目标G的优先权重向量

第三层n3个子目标关于第二层第1个元素优先权重向量第三层n3个子目标关于第二层第2个元素优先权重向量第三层n3个子目标关于第二层第n2个元素优先权重向量321.2递阶层次结构权重解析过程第三层n3个子目标关771.2递阶层次结构权重解析过程

一、递阶权重解析公式第n层nn个子目标关于总目标G的优先权重向量

第n层nn个子目标关于第n-1层第1个元素优先权重向量第n层nn个子目标关于第n-1层第2个元素优先权重向量第n层nn个子目标关于第n-1层第nn-1个元素优先权重向量331.2递阶层次结构权重解析过程第n层nn个子目标关781.2递阶层次结构权重解析过程

二、AHP方法的基本步骤①建立层次结构模型：对决策对象调查研究，将目标体系所包含的因素划分为不同层次。

②构造判断矩阵：按照层次结构模型，从上到下逐层构造判断矩阵。每一层元素都以相邻上一层次各元素为准则，按1-9标度方法两两比较构造判断矩阵。也可以用其他改进的标度方法构造。③层次单排序及一致性检验：求解判断矩阵最大特征值和对应的特征向量，经过归一化处理，即得层次单排序权重向量。层次单排序要进行一致性检验，检验不合格的要修正判断矩阵，直到符合满意的一致性标准。

④层次总排序。层次总排序是从上到下逐层进行的。在实际计算中，一般按表格形式计算较为简便。341.2递阶层次结构权重解析过程①建立层次结构模型791.2递阶层次结构权重解析过程

[例4]某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车辆流量过大