2009—2015年高考数学圆锥曲线考试真题解答题汇集(全国卷及部分省)附答案

1、20092015年高考数学圆锥曲线考试真题解答题汇集（全国卷及部分省）1、（2014全国卷1理）已知点A（0，2），椭圆E：+=1（ab0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c又，b2=a2c2，即可解得a，b；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距

2、离公式、三角形的面积计算公式即可得出SOPQ通过换元再利用基本不等式的性质即可得出解答：解：（）设F（c，0），直线AF的斜率为，解得c=又，b2=a2c2，解得a=2，b=1椭圆E的方程为；（）设P（x1，y1），Q（x2，y2）由题意可设直线l的方程为：y=kx2联立，化为（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0时，即时，|PQ|= = =，点O到直线l的距离d=SOPQ=，设0，则4k2=t2+3，=1，当且仅当t=2，即，解得时取等号满足0，OPQ的面积最大时直线l的方程为：点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、

3、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题2、（2014课标全国，文)设F1 ，F2分别是椭圆C：（ab0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。（I）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（II）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b。解：（）根据c=以及题设知M（c，），2=3ac将=-代入2=3ac，解得=，=-2（舍去）故C的离心率为（）由题意，原点O的的中点，My轴， 所以直线M与y轴的交点D是线段M的中点，故=4，

4、 即 由=得=设N（x，y），由题意可知yb0)的左、右焦点，过F1斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列 (1)求E的离心率； (2)设点P(0，1)满足|PA|PB|，求E的方程解：(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|a.l的方程为yxc, 其中c.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2b2)0，则x1x2，x1x2.因为直线AB斜率为1，所以|AB|x2x1| .得a，故a22b2，所以E的离心率e.(2)设AB的中点为N(x

5、0，y0)，由(1)知x0c，y0x0c.由|PA|PB|得kPN1.即1，得c3，从而a3，b3.故椭圆E的方程为1.9、（2010 广东 理）已知，椭圆过点，两个焦点为。（1） 求椭圆C的方程； （2） 是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值。解：（）由题意，c=1,可设椭圆方程为， 解得，（舍去）所以椭圆方程为。 （）设直线AE方程为：，代入得 设,因为点在椭圆上，所以 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为。 10、 （2011广东 理）已知焦点在X轴的椭圆，焦点为、

6、，焦距为，（1） 求椭圆方程（2）若是椭圆上一点，且，求的面积。11、（2010 广东 文）设、分别为椭圆：（）的左、右两个焦点（）若椭圆上的点到、两点的距离之和等于4，求出椭圆的方程和焦点坐标；（）设是（）中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程解：（）由椭圆上的点到两焦点、两点的距离之和等于4，知， 2分又点在椭圆上，因此， 4分于是， 5分所以，所求椭圆方程为，焦点坐标为和； 7分（）设中点，并设动点，则 10分又因为点在椭圆上，于是，即，化简得， 所以，所求轨迹方程为 14分12、（2010 广东 文）已知的顶点，在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，

7、且斜边的长最大时，求所在直线的方程解：（）因为，且边通过点，所以所在直线的方程为 1分来源:Zxxk.Com设，两点坐标分别为由得 3分所以 4分又因为边上的高等于原点到直线的距离于是， 5分所以 6分（）设所在直线的方程为，由得 8分因为，在椭圆上，所以 9分设，两点坐标分别为，则，所以 10分又因为的长等于点到直线的距离，即 11分所以所以当时，边最长，（这时）此时所在直线的方程为 12分13、（2013 广东 ）已知椭圆C，过点M(0, 1)的直线l与椭圆C相交于两点A、B.（）若l与x轴相交于点P，且P为AM的中点，求直线l的方程； （）设点，求的最大值. ）解：设A(x1, y1)，

8、 因为P为AM的中点，且P的纵坐标为0，M的纵坐标为1，所以，解得， -1分又因为点A(x1, y1)在椭圆C上，所以，即，解得，则点A的坐标为或，所以直线l的方程为，或. （）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则所以， 则， 当直线AB的斜率不存在时，其方程为，此时；当直线AB的斜率存在时，设其方程为， 由题设可得A、B的坐标是方程组的解， 消去y得， 所以， 则， 所以， 当时，等号成立, 即此时取得最大值1. 综上，当直线AB的方程为或时，有最大值1. 14（2013 广东 理）已知点是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为 ，椭圆的左右焦点分别为F1和F2 。 （）

9、求椭圆方程； （）点M在椭圆上，求MF1F2面积的最大值； （）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解：（）设椭圆方程为. 由已知， ， . 解得 所求椭圆方程为 5分（）令 ，则 7分，故的最大值为当时，的最大值为。 9分（）假设存在一点P, 使，PF1F2为直角三角形， 又 12分2，得 即=5，但由（1）得最大值为，故矛盾，不存在一点P, 使 14分。15、（2013 广东 理）设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，坐标原点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率解：（1）由题

10、设知由于，则有，所以点的坐标为 2分故所在直线方程为 所以坐标原点到直线的距离为 4分又，所以 解得： 所求椭圆的方程为 6分（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为 7分直线的方程为，则有 设，由于、三点共线，且根据题意得,解得或 10分又在椭圆上，故或 12分解得,综上，直线的斜率为或 14分16、在周长为定值的中，已知，动点的运动轨迹为曲线G,且当动点运动时，有最小值.(1)以所在直线为轴，线段的中垂线为轴建立直角坐标系，求曲线G的方程. (2)过点(m,0)作圆x2y21的切线l交曲线G于M，N两点将线段MN的长|MN|表示为m的函数，并求|MN|的最大值解：(1)设 ()为定值，

11、所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距. (2分)因为 又 ，所以 ，由题意得 .所以C点轨迹G 的方程为 (6分) (2) .由题意知，|m|1.当m1时，切线l的方程为x1，点M，N的坐标分别为，此时|MN|.当m1时，同理可知|MN|. (7分)当|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)，由得(14k2)x28k2mx4k2m240. (8分)设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2，又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21，所以|MN| . (12分)由于当m1时，|MN|. 所以|MN|，m(，1 1，)因为|MN|2，且当m时，|

12、MN|2. 所以|MN|的最大值为2. 17、（2014 广东 文）如图，已知点为椭圆的右焦点，圆与椭圆的一个公共点为，且直线与圆相切于点.（）求的值及椭圆的标准方程；（）设动点满足，其中M、N是椭圆上的点，为原点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值. 解：（）由题意可知，又. 又. .2分在中， 故椭圆的标准方程为： .6分（）设, , 8分M、N在椭圆上， 9分又直线OM与ON的斜率之积为， ， 10分于是 12分. 故为定值. .14分18、（2014广东 文）已知椭圆，是其左右焦点，离心率为，且经过点 来源:Z+xx+k.Com（1）求椭圆的标准方程； （2）若分别是椭圆长轴的左

13、右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；（3）若为椭圆上动点，求的最小值解（1），3分（2）设的斜率为，则， 5分 及 6分则 又7分 ，故斜率的取值范围为（） 8分（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c,则有,由椭圆定义，有 9分 10分 11分 12分 13分的最小值为。（当且仅当时，即取椭圆上下顶点时，取得最小值）14分19（ 2013广东 文）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m0），交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3

14、）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 20、（2014年 广东 文）已知点是：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足.（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.解：（1）设，依题意，则点的坐标为 又 在上，故 点的轨迹方程为 （2）假设椭圆上存在两个不重合的两点满足，则是线段MN的中点，且有 又 在椭圆上 两式相减，得 直线MN的方程为 椭圆上存在点、满足，此时直线的方程为 21（2014 广东 文）已知圆的圆心为，半径为，圆与椭圆： 有一个公共点(3,1)，分别是椭圆的左、右

15、焦点（1）求圆的标准方程；（2）若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线与圆能否相切，若能，求出椭圆和直线的方程;若不能，请说明理由解：（1）由已知可设圆C的方程为 将点A的坐标代入圆C的方程，得 ，即，解得 圆C的方程为 .6分（2） 直线能与圆C相切， 依题意设直线的方程为，即若直线与圆C相切，则，解得当时，直线与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当时，直线与x轴的交点横坐标为，由椭圆的定义得：，即， 直线能与圆C相切，直线的方程为，椭圆E的方程为 .14分 、（2015广东 文）已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线的焦点为其一个焦点，以双曲线的焦点为顶点。（1

16、）求椭圆的标准方程；（2）已知点，且分别为椭圆的上顶点和右顶点，点是线段上的动点，求的取值范围。（1）抛物线的焦点为，双曲线的焦点为2分可设椭圆的标准方程为，由已知有，且，3分，椭圆的标准方程为。5分（2） 设，线段方程为，即7分点是线段上，10分将代入得12分，的最大值为24，的最小值为。的取值范围是。14分1、（2015全国卷1理）在直角坐标系xoy中，曲线C：y与直线l:ykxa(a0)交于M，N两点，()当k0时，分别求C在点M和N处的切线方程；()y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.【解析】：（）由题设可得，或，. 又，故在处的导数值为，在点处的切线方程为

17、 ，即. 在处的导数值为在点处的切线方程为 ，即. 故所求切线方程为和.（）存在符合题意的点，证明如下： 设为符合题意的点，直线，的斜率分别为， 将代入的方程得 ，.从而当时，有，则直线的倾角与直线的倾角互补故，点符合题意。2、（2012全国卷1文、理）设抛物线C：（）的焦点为F，准线为，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交于B，D两点。（1）若BFD=90，ABD的面积为，求的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线上，直线与平行，且与C只有一个公共点，求坐标原点到，距离的比值。【解析】（1）若BFD=90，则BFD为等腰直角三角形，且|BD|=，圆F的半径，又根据抛物线

18、的定义可得点A到准线的距离。因为ABD的面积为，所以，即，所以，由，解得。从而抛物线C的方程为，圆F的圆心F（0，1），半径，因此圆F的方程为。（2）若A，B，F三点在同一直线上，则AB为圆F的直径，ADB=90，根据抛物线的定义，得，所以，从而直线的斜率为或。当直线的斜率为时，直线的方程为，原点O到直线的距离。依题意设直线的方程为，联立，得，因为直线与C只有一个公共点，所以，从而。所以直线的方程为，原点O到直线的距离。因此坐标原点到，距离的比值为。当直线的斜率为时，由图形的对称性可知，坐标原点到，距离的比值也为3。3、（2011全国卷1文）在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C

19、上（）求圆C的方程；（）若圆C与直线交与A，B两点，且，求a的值。4、（2011全国卷1理）在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线上，M点满足，M点的轨迹为曲线C（I）求C的方程；（II）P为C上动点，为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值【解析】()设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y）， =(0，-3-y)， =(x，-2).再由题意可知（+）=0， 即（-x，-4-2y）(x，-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.()设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x因此直线的方程为，即。则O点到的

20、距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.ABFyxO5、（2009 广东 理）已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若，求点A的坐标；（2）求线段AB的长的最小值.解：由，得，其准线方程为，焦点. （2分）ABFyxOAB设，.（1）由抛物线的定义可知， ，从而. 代入，解得. 点A的坐标为或. （4分）（2）当直线的斜率存在时，设直线l的方程为.与抛物线方程联立，得， （6分）消去y，整理得，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则，并设其两根为，则.由抛物线的定义可知，.（10分）当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，与抛物线相交于A（1，2），B（

21、1，-2），此时=4（12分）所以，即线段AB的长的最小值为4. （13分）5、（2011 广东 文）等已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.ABFyxO（1）若，求点A的坐标；（2）若直线l的倾斜角为，求线段AB的长.6、（2011广东 文）抛物线,椭圆经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。 （1）求椭圆的方程；（2）若是椭圆上的点，设的坐标为（是已知正实数），求与之间的最短距离。解：(1）抛物线的焦点为（1，0）2分设椭圆方程为，则椭圆方程为6分（2）设，则 8分 当时，即时，； 当时，即时，；综上，。14分（注：也可设解答，参照以上解答相应评分）7、（2010 广东 文）已知顶点在原点，准线方程是的抛物线与过点的直线交于，两点，若直线和直线的斜率之和为1 （）求此抛物线的标准方程； （）求直线的方程；（ ）求直线与抛物线相交弦的弦长。解：（）由题意可知抛物线焦点在轴正半轴，设抛物线的标准方程为 由准线方程是，可得所以抛物线的标准方程为 4分（）设直线的方程为：， 代人抛物线的标准方程消整理得设，则 因为，代人，得 因为，代人得所以直线的方程为： 9分（ ）将直线方程与抛物线的标准方程联立得：消整理得因为， 14分8、（ 2015 广东文）如图，在