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文档简介
1、喷泉,拱桥,与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e的点的轨迹(直线 l 不经过点F),当0e1时,点的轨迹是 ;当e1时,点的轨迹是 ;我们把这个定义叫做椭圆和双曲线的第二定义。那么当e=1时,点的轨迹又是什么呢?,椭圆,双曲线,复习提问:,抛物线,抛物线的焦点,抛物线的准线,一、抛物线定义,平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹,叫做抛物线,(不经过点F),M,1.建:建立直角坐标系.,3.列:根据条件列出等式;,4.代:代入坐标与数据;,5.化:化简方程.,2.设:设点(x,y);,回顾求曲线方程一般步骤:,6.(证):检验,平面内与一个定点F和一条定直线l 的
2、距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 (定点F不在定直线l 上) 点F叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线。,(一)抛物线的定义,想一想:定义中当直线l 经过定点F,则点M的轨迹是什么?,一条经过点F且垂直于l 的直线,想一想:求抛物线方程时该如何建立直角坐标系?,(二)抛物线的标准方程,如图所示,以经过点F且垂直于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K,与抛物线交于点O,则O是线段KF的中点,以O为原点,建立直角坐标系。,y,O,K,设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离 为d=|MN|,想一想:p的几何意义?,求抛物线的方程,为什么?,由抛物线的定义,,化简后得 :,抛物线
3、的标准方程为,它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,坐标是 , 准线方程是,注意:抛物线标准方程表示的是顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线。,一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方程还有其它形式。,想一想:怎样推导出其它几种形式的方程?,y,o,x,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),P的意义:抛物线的焦点到准线的距离,方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,四四种抛物线的对比,想一想:,如何判断上表中抛物线四种标准方程与图象的对应关系?,第一:一次项变量决定对称
4、轴。 第二:一次项系数的正负决定了开口方向。,说明:当对称轴和开口方向确定好之后,抛物线图象就随之确定,根据图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程。整个判断过程体现出从数到形,再由形到数的数形结合思想。,例1(1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程;,(2)已知抛物线的方程是y = 6x2, 求它的焦点坐标和准线方程;,(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。,1 12,1:根据下列条件,写出抛物线的标准方程:,(1)焦点是F(3,0),(2)准线方程 是x =,(3)焦点到准线的距离是2,解:y2 =12x,解:y2 =x,小结,强化提高,根
5、据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点到准线的距离是2;,关键:理解p的几何意义,熟记标准方程四种形式,解:焦点到准线的距离为2 p=2 又焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px , x2=2py 此抛物线的标准方程有四种情况: y2=4x , x2=4y,题后反思:用待定系数法 求抛物线标准方程应 先确定抛物线的形式,再求p值。 无法确定焦点位置,注意分类讨论,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程: (1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)x2 +8y =0,(5,0),x= -5,y=2,(0 , -2),感悟 :求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物
6、线的标准方程。,例2 一种卫星接收天线的轴截面如图(1)所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处。已知接受天线的口径(直径)为4.8m,深度为0.5m。试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标。,0.5m,4.8m,解:如上图,在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系,使接收天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合。,即,所以,所求抛物线的标准方程是 ,焦点的坐标是,4.8m,0.5m,(四)课堂小结,平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一个定义:,两类问题:,三项注意:,四种形式:,求抛物线标准方程; 已知方程
7、求焦点坐标和准线方程。,定义的前提条件:直线l 不经过点F; p的几何意义:焦点到准线的距离; 标准方程表示的是顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线。,抛物线的标准方程有四种: y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0),课外拓展: 1、为什么说二次函数y=ax2(a0)的图像是抛物线?你能指出它的焦点坐标和准线方程?,小结,所以不论a0,还是a0,都有,小结,例3.求过点A(-3,2)的抛物线的 标准方程。,解:当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时,把A(-3,2) 代入x2 =2py,得p=,当焦点在x轴的负半轴上时, 把A(-3,2)代入y
8、2 = -2px, 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,例4、M是抛物线y2 = 2px(P0)上一点,若点 M 的横坐标为X0,则点M到焦点的距离是 ,例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.,例题讲解,解:由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线. p/2=4, p=8. 又因为焦点在轴的正半轴,所以点M的轨迹方程为 y2=16x.,小结,变式训练,1.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是(0,-3) ; (2)准线是 ; 2.求
9、下列抛物线的焦点坐标与准线方程. (1)y=8x2 ; (2)x2+8y=0;,x2= -12y,y2=2x,焦点 ,准线,焦点 ,准线,感悟 :求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程。,感悟:用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式,再求p值。,强化提高,根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点到准线的距离是2; (2)焦点在直线3x-4y-12=0上。,关键:理解p的几何意义,熟记标准方程四种形式,关键:标准方程表示的是顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,解:焦点到准线的距离为2 p=2 又焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px , x2=2
10、py 此抛物线的标准方程有四种情况: y2=4x , x2=4y,解:标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上; 又抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上, 焦点就是直线与坐标轴的交点,直线3x-4y-12=0与x轴的交点是(4,0),与y轴的交点是(0,3), 焦点坐标为(4,0)或(0,3); 当焦点为(4,0)时标准方程为y2=16x , 当焦点为(0,3)时标准方程为x2= 12y , 综上,抛物线标准方程为 y2=16x或 x2= 12y,例2.已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.,解:若抛物线焦点在x轴上,设它的标准方程为y2=2mx, 由于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-2)2
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