抛物线及其标准方程17717.ppt

1、喷泉,拱桥,与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离的比是常数e的点的轨迹（直线 l 不经过点F）,当0e1时，点的轨迹是 ；当e1时，点的轨迹是 ；我们把这个定义叫做椭圆和双曲线的第二定义。那么当e=1时，点的轨迹又是什么呢？,椭圆,双曲线,复习提问：,抛物线,抛物线的焦点,抛物线的准线,一、抛物线定义,平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹,叫做抛物线,（不经过点F）,M,1.建:建立直角坐标系.,3.列:根据条件列出等式;,4.代:代入坐标与数据;,5.化:化简方程.,2.设:设点(x,y);,回顾求曲线方程一般步骤：,6.（证）:检验,平面内与一个定点F和一条定直线l 的

2、距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 （定点F不在定直线l 上） 点F叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线。,（一）抛物线的定义,想一想：定义中当直线l 经过定点F，则点M的轨迹是什么?,一条经过点F且垂直于l 的直线,想一想：求抛物线方程时该如何建立直角坐标系？,（二）抛物线的标准方程,如图所示，以经过点F且垂直于l 的直线为x轴, x轴与直线l 交于点K，与抛物线交于点O，则O是线段KF的中点，以O为原点,建立直角坐标系。,y,O,K,设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离 为d=|MN|,想一想：p的几何意义？,求抛物线的方程,为什么？,由抛物线的定义，,化简后得 :,抛物线

3、的标准方程为,它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上,坐标是 ， 准线方程是,注意：抛物线标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。,一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式。,想一想：怎样推导出其它几种形式的方程？,y,o,x,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),P的意义:抛物线的焦点到准线的距离,方程的特点: (1)左边是二次式, (2)右边是一次式;决定了焦点的位置.,四四种抛物线的对比,想一想：,如何判断上表中抛物线四种标准方程与图象的对应关系？,第一：一次项变量决定对称

4、轴。 第二：一次项系数的正负决定了开口方向。,说明：当对称轴和开口方向确定好之后，抛物线图象就随之确定，根据图象可以很容易判断焦点坐标和准线方程。整个判断过程体现出从数到形，再由形到数的数形结合思想。,例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；,（2）已知抛物线的方程是y = 6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；,（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。,1 12,1：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）,（2）准线方程 是x =,（3）焦点到准线的距离是2,解：y2 =12x,解：y2 =x,小结,强化提高,根

5、据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点到准线的距离是2；,关键：理解p的几何意义，熟记标准方程四种形式,解：焦点到准线的距离为2 p=2 又焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px ， x2=2py 此抛物线的标准方程有四种情况： y2=4x ， x2=4y,题后反思：用待定系数法 求抛物线标准方程应 先确定抛物线的形式，再求p值。 无法确定焦点位置，注意分类讨论,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,y=2,(0 , -2),感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物

6、线的标准方程。,例2 一种卫星接收天线的轴截面如图（1）所示。卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处。已知接受天线的口径（直径）为4.8m,深度为0.5m。试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。,0.5m,4.8m,解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。,即,所以，所求抛物线的标准方程是 ，焦点的坐标是,4.8m,0.5m,（四）课堂小结,平面内与一个定点F的距离和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,一个定义：,两类问题：,三项注意：,四种形式：,求抛物线标准方程； 已知方程

7、求焦点坐标和准线方程。,定义的前提条件：直线l 不经过点F; p的几何意义：焦点到准线的距离； 标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线。,抛物线的标准方程有四种： y2=2px(p0) y2= -2px(p0) x2=2py(p0) x2= -2py(p0),课外拓展： 1、为什么说二次函数y=ax2（a0)的图像是抛物线？你能指出它的焦点坐标和准线方程？,小结,所以不论a0,还是a0，都有,小结,例3.求过点A（-3，2）的抛物线的 标准方程。,解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=,当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y

8、2 = -2px， 得p=,抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。,例4、M是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点 M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是 ,例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.,例题讲解,解:由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线. p/2=4, p=8. 又因为焦点在轴的正半轴,所以点M的轨迹方程为 y2=16x.,小结,变式训练,1.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是（0，-3） ； (2)准线是 ； 2.求

9、下列抛物线的焦点坐标与准线方程. (1)y=8x2 ； (2)x2+8y=0；,x2= -12y,y2=2x,焦点 ，准线,焦点 ，准线,感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程。,感悟：用待定系数法求抛物线标准方程应先确定抛物线的形式，再求p值。,强化提高,根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点到准线的距离是2； (2)焦点在直线3x-4y-12=0上。,关键：理解p的几何意义，熟记标准方程四种形式,关键：标准方程表示的是顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线,解：焦点到准线的距离为2 p=2 又焦点的位置不确定 该抛物线标准方程有四种形式 y2=2px ， x2=2

10、py 此抛物线的标准方程有四种情况： y2=4x ， x2=4y,解：标准方程表示的抛物线的焦点在坐标轴上； 又抛物线的焦点在直线3x-4y-12=0上， 焦点就是直线与坐标轴的交点，直线3x-4y-12=0与x轴的交点是（4，0），与y轴的交点是（0，3）， 焦点坐标为（4，0）或（0，3）； 当焦点为（4，0）时标准方程为y2=16x , 当焦点为（0，3）时标准方程为x2= 12y , 综上，抛物线标准方程为 y2=16x或 x2= 12y,例2.已知抛物线经过点(-4,-2),求它的标准方程.,解:若抛物线焦点在x轴上,设它的标准方程为y2=2mx, 由于点(-4,-2)在抛物线上,故有(-2)2