大学高数下册试题及答案,第7章

1、大学高数下册试题及答案,第7章 第七章 多元函数微分学 作业1 多元函数 1填空题 （1）已知函数，则； （2）的定义域是；（3）的定义域是 ；（4）函数的连续范围是 全平面 ；（5）函数在处间断. 2求下列极限 （1）；解： （2）. 解：由于， 故 3讨论极限是否存在. 解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在 4证明在点分别对于每个自变量或 都连续，但作为二元函数在点却不连续. 解：由于 从而可知在点分别对于每个自变量或 都连续，但沿着曲线,有因而异， 从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续. 作业2 偏导数 1填空题 （1）设，则；（2）（3）设，则；（3）设，则 0 ；（4）曲线在

2、点处的切线与轴正向的倾角是. 2设， 证明 . 证:因为 所以 3. 设，求，. 解：， 从而 4设， 证明 . 解：因为 所以 5设函数. （1）试求的偏导函数；解：当 ， 当 ， （2）考察偏导函数在点处是否连续. ，故在点处连续， 不存在，从而在点处不连续 作业3 全微分及其应用 1填空题 （1）在点处偏导数存在是在该点可微的 必要 条件；（2）函数在点处，当时有全增量 ，全微分；（3）设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；（4）在点处的；（5）,则；（6）,则；（7）,则 . 2证明：在点处连续，与存在，但在 处不可微. 证：由于从而但是 不存在，从而在处不

3、可微. 3设函数 试证：（1）函数在点处是可微的；证：因为 又 所以函数在点处是可微的 （2）函数在点处不连续. 证：当 不存在， 故在点处不连续 作业4 多元复合函数的求导法则 1填空题 （1）设，则 ；（2）设，则 ；（3）设，则；（4）设，则. 2求下列函数的偏导数 （1）设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：（2）设，其中均可微，求和. 解：因为 从而 所以 3验证下列各式 （1）设，其中可微，则；证：因为 所以 （2）设，其中可微，则. 证：因为 所以 4设其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解：因为 所以 4设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：. 证：因为 从而左边 作业5 隐函数求导

4、法 1填空题 （1）已知，则；（2）已知，则；（3）已知，则；（4）已知，则；（5）已知，其中具有一阶连续偏导数，则 . 2设其中具有二阶连续偏导数，求 解： 3求由方程组所确定的及的导数及. 解：由已知 4设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：. 证：因为， 5设函数具有二阶连续偏导数，而满足方程，求. 解：因为 特征方程为 作业6 方向导数与梯度 1填空题 （1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ；（3）函数在点的梯度为；（4）函数在点处沿方向的方向导数是 ，且函数在该点的梯度是；（5）函数在点处沿方向的方向

5、导数是；（6）函数在点处沿指向点方向的方向导数是. 2求在点及点处的梯度间的夹角. 解： 夹角余弦为 3求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿那个方向减少得最快？沿那个方向的值不变？ 解：， 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即方向的值不变 4设轴正向到得转角为，求函数 在点处沿着方向的方向导数. 解：， 由于该函数在点处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向的方向导数： 作业7 偏导数的几何应用 1填空题 （1）已知曲面上点的切平面平行于平面，则点 的坐标是；（2）曲面在点处的切平面方程是；（3）由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转曲面在点 处的

6、指向内侧的单位法向量为；（4）曲面在点处的法线方程是 ；（5）已知曲线上点的切线平行于平面，则点的坐标是或 2求曲线在对应于的点处的切线和法平面方程. 解：切点为， 从而切线为， 法平面为 3求两个圆柱面的交线在点处的切线和法平面的方程. 解：， 切线为，法平面为 4求曲面在点处的切平面及法线的方程. 解：切平面为，法线为 5求函数在点处沿曲线在此点的外法线方向的方向导数. 解：指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为 6证明：曲面在任意点处的切平面都通过原点，其中具有连续导数. 证：设切点为， 则 切平面为 令，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。 作

7、业8 多元函数的极值 1填空题 （1）函数的极值是 0 ； （2）函数的极值点是；（3）函数的极值点是；（4）函数的极值是；（5）函数的极值是. 2证明：函数有无穷多个极大值点，但无极小值点. 证：因为 由 得驻点坐标为 又 故 只有当为偶数时才大于零，从而才有极值。而这时 因此该函数有无穷多个极大值点，但无极小值点。 3求函数在条件下的极值. 解：令 则 从而 4求函数在圆域上的最大值与最小值. 解：先求圆内部的驻点得驻点， 再求圆周上的有约束极值，令 则 若则必有矛盾， 若则必有或 由于 从而要求的最大值为4，最小值为 5在半径为的半球内求一个体积为最大的内接长方体. 解：设在第一卦限内的

8、顶点坐标为，则 令，则由 ， 可得，其长宽均为，高为 6求椭圆的长半轴和短半轴. 解：由对称性，得知椭圆的中心点为，从而问题转化为求在约束条件下或的最值 取 由 从而，当时，由约束条件 当时，由约束条件 于是椭圆的长半轴为和短半轴为. 第七章多元函数微分学测试试卷 1单项选择题（每小题3分） （1）二重极限值为 （ D ）（A）0； （B）1； （C）； （D）不存在. （2）二元函数在点处的两个偏导数和都存在，则（ D ） (A)在该点可微； (B) 在该点连续可微；(C)在该点沿任意方向的方向导数存在；(D) 以上结论都不对. （3）函数在处（ A ）(A) 不取极值； (B) 取极小值；

9、 (C) 取极大值； (D)是否取极值依赖于. （4）在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（ B ）（A）只有1条；（B）只有2条；（C）至少有3条；（D）不存在. （5）设，其中，下面运算中（ B ）， (A)、都不正确； (B) 正确，不正确； (C) 不正确，正确； (D) 、都正确. 2填空题（每小题3分）（1）已知理想气体状态方程，则；（2）设，则；（3）函数在点的梯度为；（4）已知，其中为可微函数，则；（5）已知曲面上的点处的法线平行于直线，则该法线的方程为 3设，其中均为二阶可微函数，求. 解：因为 所以 4设，试以新变量变换方程，其中对各变量有二阶连续偏导数. 解：从而 5已知，其中均为可微函数，求. 解：对函数取全微分得， 从而 6设是曲面在处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：指向下侧在此即抛物面的外侧， 从而 7在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标. 解：设切点为，则切平面为 在的最值问题与在下的最值问题等价，只是最大与最小问题焕位而已。 令 则 与约束条件结合推得 由于在第一卦限，从而切点为 8设 （1）求，； （2），是否在原点连续？在