初三一元二次方程数学试题含答案

1、一解答题（共30小题）1（2013淄博）关于x的一元二次方程（a6）x28x+9=0有实根（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，求出该方程的根；求的值2（2013孝感）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由3（2013南充）关于x的一元二次方程为（m1）x22mx+m+1=0（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？4（2013荆州）已知：关于x的方程kx2（3k1）x+2（k1）=0（1）求证：无论k为何实数，方程总

2、有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1x2|=2，求k的值5（2012庆阳）已知关于x的方程k2x22（k+1）x+1=0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）当k=1时，设所给方程的两个根分别为x1和x2，求+的值6（2010孝感）关于x的一元二次方程x2x+p1=0有两实数根x1，x2，（1）求p的取值范围；（2）若2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，求p的值7（淄博）已知x1，x2是方程x22x+a=0的两个实数根，且x1+2x2=3（1）求x1，x2及a的值；（2）求x133x12+2x1+x2的值8（江津区）已知a、b、c分别是abc的三边，其中a=1，c=

3、4，且关于x的方程x24x+b=0有两个相等的实数根，试判断abc的形状9（鄂州）已知关于x的方程kx22（k+1）x+k1=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由10（濮阳）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x26x+k=0的两个实数根，且x12x22x1x2=115（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值11（孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（m1）x2m2+m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2（1）当m为何值时，x1x2；（2）若x12+x22=2，求m的值12已知关于x

4、的一元二次方程x2+4x+m1=0（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设，是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求2+2+的值13已知关于x的方程2x2kx+1=0的一个解与方程的解相同（1）求k的值；（2）求方程2x2kx+1=0的另一个解14已知：关于x的一元二次方程x2（2m+1）x+m2+m2=0（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值15已知关于x的一元二次方程x2+kx1=0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1x2，求k的

5、值16已知关于x的一元二次方程kx22（k+1）x+k1=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使+=1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由17已知：abc的两边ab、ac的长是关于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边bc的长为5试问：k取何值时，abc是以bc为斜边的直角三角形？18已知，是关于x的一元二次方程（m1）x2x+1=0的两个实数根，且满足（+1）（+1）=m+1，求实数m的值19已知关于x的方程（m1）x22mx+m=0有两个不相等的实数根x1、x2；（1）求m的取值范围；（2）若（x1x2

6、）2=8，求m的值20已知：关于x的方程x2（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求k的值21设关于x的一元二次方程x24x2（k1）=0有两个实数根x1、x2，问是否存在x1+x2x1x2的情况？22关于x的方程x2+（2k+1）x+k21=0有两个实数根（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由23已知关于x的方程x2+2（2m）x+36m=0（1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根x1、x

7、2满足x1=3x2，求实数m的值24对关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）（1）当a、c异号时，试证明该方程必有两个不相等的实数根；（2）当a、c同号时，该方程要有实数根，还须满足什么条件？请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程，然后解这个方程25已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x122kx1+2x1x2=5，求k的值26已知关于x的方程x22（m+1）x+m23=0（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2（x1+x2）12=0，求m的

8、值27设a，b，c是abc三边的长，且关于x的方程c（x2+n）+b（x2n）2ax=0（n0）有两个实数根，求证：abc是直角三角形28（2013乐山模拟）选做题：题乙：已知关于x的一元二次方程x22kx+k2+2=2（1x）有两个实数根x1、x2（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x21，求k的值29（2012张家港市模拟）若关于x的方程x2+4xa+3=0有实数根（1）求a的取值范围；（2）当a=2012时，设方程的两根为x1、x2，求x12+3x1x2的值30（2012金堂县一模）用适当的方法解下列方程（x+4）2=5（x+4） x26x+

9、5=0 （x+3）2=（12x）2 2x210x=3一解答题（共30小题）1（2013淄博）关于x的一元二次方程（a6）x28x+9=0有实根（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，求出该方程的根；求的值考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到=644（a6）90且a60，解得a且a6，然后在次范围内找出最大的整数；（2）把a的值代入方程得到x28x+9=0，然后利用求根公式法求解；由于x28x+9=0则x28x=9，然后把x28x=9整体代入所求的代数式中得到原式=2x2=2x216x+，再变形得到2（x28x）+，再利用整体思想计

10、算即可解答：解：（1）根据题意=644（a6）90且a60，解得a且a6，所以a的最大整数值为7；（2）当a=7时，原方程变形为x28x+9=0，=6449=28，x=，x1=4+，x2=4；x28x+9=0，x28x=9，所以原式=2x2=2x216x+=2（x28x）+=2（9）+=点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想2（2013孝感）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2（1

11、）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由考点：根与系数的关系；根的判别式专题：压轴题分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式0，据此列出关于k的不等式（2k+1）24（k2+2k）0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得0成立利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式0，通过解不等式可以求得k的值解答：解：（1）原方程有两个实数根，（2k+1）24（k2+2k）0，4k2+4k+14k28k014k0，k当k时，原方程有两个实数根 （2）假设

12、存在实数k使得0成立x1，x2是原方程的两根， 由0，得0 3（k2+2k）（2k+1）20，整理得：（k1）20，只有当k=1时，上式才能成立 又由（1）知k，不存在实数k使得0成立点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系3（2013南充）关于x的一元二次方程为（m1）x22mx+m+1=0（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？考点：解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解专题：压轴题分析：（1）利用求根根式x=解方程；（2）利用（1）中x的值来确定m的值解答：解：（1）根据题意，得m1=（2m）24（m1

13、）（m+1）=4，则x1=，x2=1；（2）由（1）知，x1=1+，方程的两个根都为正整数，是正整数，m1=1或m1=2，解得，m=2或3即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数点评：本题考查了公式法解一元二次方程要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解4（2013荆州）已知：关于x的方程kx2（3k1）x+2（k1）=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1x2|=2，求k的值考点：根的判别式；根与系数的关系分析：（1）确定判别式的范围即可得出结论；（2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可解答：（1

14、）证明：当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；当k0时，方程是一元二次方程，=（3k1）24k2（k1）=（k+1）20，无论k为何实数，方程总有实数根（2）解：此方程有两个实数根x1，x2，x1+x2=，x1x2=，|x1x2|=2，（x1x2）2=4，（x1+x2）24x1x2=4，即4=4，解得：=2，即k=1或k=点评：本题考查了根的判别式及根与系数的关系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容5（2012庆阳）已知关于x的方程k2x22（k+1）x+1=0有两个实数根（1）求k的取值范围；（2）当k=1时，设所给方程的两个根分别为x1和x2，求+的值考点：根的判别式

15、；根与系数的关系专题：计算题分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k20且=4（k+1）24k20，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可；（2）先把k=1代入方程，再根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=1，然后把所求的代数式变形得到+=，然后利用整体思想进行计算解答：解：（1）根据题意得k20且=4（k+1）24k20，解得k且k0；（2）k=1时方程化为x24x+1=0，则x1+x2=4，x1x2=1，+=14点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0

16、，方程没有实数根也考查了一元二次方程的根与系数的关系6（2010孝感）关于x的一元二次方程x2x+p1=0有两实数根x1，x2，（1）求p的取值范围；（2）若2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9，求p的值考点：根与系数的关系；根的判别式分析：（1）一元二次方程有实根，0，根据判别式的公式代入可求p的取值范围；（2）将等式变形，结合四个等式：x1+x2=1，x1x2=p1，x12x1+p1=0，x22x2+p1=0，代入求p，结果要根据p的取值范围进行检验解答：解：（1）由题意得：=（1）24（p1）0解得，p；（2）由2+x1（1x1）2+x2（1x2）=9得，（2+x1x12）（2+x2

17、x22）=9x1，x2是方程x2x+p1=0的两实数根，x12x1+p1=0，x22x2+p1=0，x1x12=p1，x2x22=p1（2+p1）（2+p1）=9，即（p+1）2=9p=2或p=4，p，所求p的值为4点评：本题考查了一元二次方程的根的判别式运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力7（2009淄博）已知x1，x2是方程x22x+a=0的两个实数根，且x1+2x2=3（1）求x1，x2及a的值；（2）求x133x12+2x1+x2的值考点：根与系数的关系；解二元一次方程组；一元二次方程的解分析：（1）将x1+2x2=3与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组即可求出x1，x2及

18、a的值；（2）欲求x133x12+2x1+x2的值，先把代此数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值即可求出x133x12+2x1+x2的值解答：解：（1）由题意，得，解得x1=1+，x2=1所以a=x1x2=（1+）（1）=1；（2）由题意，得x122x11=0，即x122x1=1x133x12+2x1+x2=x132x12x12+2x1+x2=x1（x122x1）（x122x1）+x2=x11+x2=（x1+x2）1=21=1点评：若一元二次方程有实数根，则根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法8（2009江津区）已知

19、a、b、c分别是abc的三边，其中a=1，c=4，且关于x的方程x24x+b=0有两个相等的实数根，试判断abc的形状考点：等腰三角形的判定；根的判别式专题：压轴题分析：先根据关于x的方程x24x+b=0有两个相等的实数根，可知=（4）24b=0，求出b的值为4，再根据a，c的值来判断abc的形状解答：解：方程x24x+b=0有两个相等的实数根=（4）24b=0（3分）b=4（4分）c=4b=c=4（5分）abc为等腰三角形（6分）点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用和利用边与边之间的关系判断三角形的形状总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）

20、=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根9（2009鄂州）已知关于x的方程kx22（k+1）x+k1=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由考点：根与系数的关系；一元二次方程的定义；根的判别式分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可知=2（k+1）24k（k1）0，求得k的取值范围；（2）可假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，列出方程即可求得k的值，然后把求得的k值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在解答：解：（1）方程有两个不相

21、等的实数根，=2（k+1）24k（k1）=12k+40，且k0，解得k，且k0，即k的取值范围是k，且k0；（2）假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1，x2的倒数和为0，则x1，x2不为0，且，即，且，解得k=1，而k=1与方程有两个不相等实根的条件k，且k0矛盾，故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在点评：本题主要考查了根的判别式的运用和给定一个条件判断是否存在关于字母系数的值令条件成立解决此类问题，要先假设存在，然后根据条件列出关于字母系数的方程解出字母系数的值，再把求得的字母系数值代入原式中看看与已知是否矛盾，如果矛盾则不存在，如果不矛盾则存在10（2008濮阳）已知x1，x

22、2是关于x的一元二次方程x26x+k=0的两个实数根，且x12x22x1x2=115（1）求k的值；（2）求x12+x22+8的值考点：根与系数的关系；解一元二次方程-直接开平方法；根的判别式专题：压轴题分析：（1）方程有两个实数根，必须满足=b24ac0，从而求出实数k的取值范围，再利用根与系数的关系，x1x2x1x2=115即x1x2（x1+x2）=115，即可得到关于k的方程，求出k的值（2）根据（1）即可求得x1+x2与x1x2的值，而x12+x22+8=（x1+x2）22x1x2+8即可求得式子的值解答：解：（1）x1，x2是方程x26x+k=0的两个根，x1+x2=6，x1x2=k

23、，x12x22x1x2=115，k26=115，解得k1=11，k2=11，当k1=11时，=364k=36440，k1=11不合题意当k2=11时，=364k=36+440，k2=11符合题意，k的值为11；（2）x1+x2=6，x1x2=11x12+x22+8=（x1+x2）22x1x2+8=36+211+8=66点评：总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根（2）根与系数的关系是：x1+x2=，x1x2=根据根与系数的关系把x12x22x1x2=115转化为关于k的方程，解得k的值是解决本题的关键11（200

24、7孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（m1）x2m2+m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2（1）当m为何值时，x1x2；（2）若x12+x22=2，求m的值考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式分析：（1）当m为何值时x1x2，即方程有两个不同的根，则根的判别式0（2）依据根与系数关系，可以设方程的两根是x1、x2，则可以表示出两根的和与两根的积，依据x12+x22=（x1+x2）22x1x2，即可得到关于m的方程，即可求得m的值解答：解：（1）x2+（m1）x2m2+m=0（m为实数）有两个实数根x1、x2a=1，b=m1，c=2m2+m，=b24ac=（m1）2

25、4（2m2+m）=m22m+1+8m24m=9m26m+1=（3m1）2，要使x1x2，则应有0，即=（3m1）20，m；（2）根据题意得：x1+x2=1m，x1x2=2m2+mx12+x22=2，即x12+x22=（x1+x2）22x1x2，即（1m）22（2m2+m）=2，解得m1=，m2=1点评：本题是常见的根的判别式与根与系数关系的结合试题把求未知系数m的问题转化为解方程问题是解决本题的关键12（2006沈阳）已知关于x的一元二次方程x2+4x+m1=0（1）请你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；（2）设，是（1）中你所得到的方程的两个实数根，求2+2+的值考点

26、：根的判别式；根与系数的关系专题：计算题；开放型；判别式法分析：（1）根据0求得m的取值范围，再进一步在范围之内确定m的一个整数值；（2）根据根与系数的关系，对2+2+进行变形求解解答：解：（1）根据题意，得=b24ac=164（m1）0，解得m5只要是m5的整数即可如：令m=1（2）当m=1时，则得方程x2+4x=0，是方程x2+4x=0的两个实数根，+=4，=0，2+2+=（+）2=（4）20=16点评：（1）一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根（2）一元二次方程的两根之和等于，两个之积等于13（2006旅顺口区）已知

27、关于x的方程2x2kx+1=0的一个解与方程的解相同（1）求k的值；（2）求方程2x2kx+1=0的另一个解考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；解分式方程分析：（1）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k的值（2）根据两根之和=即可求得另一根的解解答：解：（1）解方程：，得2x+1=44x经检验是原方程的解把代入方程2x2kx+1=0解得k=3（2）当k=3时，方程为2x23x+1=0由根与系数关系得方程另一个解为：x=1点评：此题主要考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识注意运用根与系数的关系使运算简便14（2006龙岩）已知：关于x的一元二次方程x2（2m+1

28、）x+m2+m2=0（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；解分式方程专题：计算题；证明题分析：（1）方程总有两个不相等的实数根的条件是0，由0可推出m的取值范围（2）欲求m的值，先把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组，解方程组即可求m的值解答：解：（1）=（2m+1）24（m2+m2）=4m2+4m+14m24m+8=90不论m取何值，方程总有两个不相等实数根（2）解法一：根据根与系数的关系有x1+x2=2m+1，x1x

29、2=m2+m2又整理得m2=4解得m1=2，m2=2经检验m=2是增根，舍去m的值为2解法二：由原方程可得x（m1）x（m+2）=0x1=m+2，x2=m1又m=2经检验：m=2符合题意m的值为2点评：本题考查了一元二次方程根的判别方法，根与系数关系的灵活运用等知识根据一元二次方程的根与系数的关系把求m的问题转化为解方程的问题，是解决本题的关键15（2006江西）已知关于x的一元二次方程x2+kx1=0，（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1x2，求k的值考点：根与系数的关系；根的判别式专题：计算题；证明题分析：当0时方程有两个不相等的

30、实数根，本题中=k241（1）=k2+40利用两根之和公式、两根之积公式与x1+x2=x1x2联立组成方程组，解方程组即可求出k的值解答：证明：（1）=k241（1）=k2+40原方程有两个不相等的实数根解：（2）由根与系数的关系，得x1+x2=k，x1x2=1x1+x2=x1x2，k=1，解得k=1点评：命题立意：考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系及推理论证能力16（2006黑龙江）已知关于x的一元二次方程kx22（k+1）x+k1=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使+=1成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由考点：根的判别式；一

31、元二次方程的定义；根与系数的关系专题：开放型分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求得k的取值范围（2）利用根与系数的关系，根据+=，即可求出k的值，看是否满足（1）中k的取值范围，从而确定k的值是否存在解答：解：（1）由题意知，k0且=b24ac0b24ac=2（k+1）24k（k1）0，即4k2+8k+44k2+4k0，12k4解得：k且k0（2）不存在x1+x2=，x1x2=，又有+=1，可求得k=3，而3满足条件的k值不存在点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：0方程有两个不相等的实数根；=0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根2、一元二次方程

32、的根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=3、一元二次方程的二次项系数不为017（2006广安）已知：abc的两边ab、ac的长是关于x的一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边bc的长为5试问：k取何值时，abc是以bc为斜边的直角三角形？考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；勾股定理分析：abc是以bc为斜边的直角三角形，即ab，ac的平方和是25，则一元二次方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根的平方和是25，根据韦达定理和勾股定理解出k的值，再把k的值代入原方程，检查k是哪个值时，abc是以bc为斜边的直角三角形则可解答：解：

33、设边ab=a，ac=ba、b是方程x2（2k+3）x+k2+3k+2=0的两根a+b=2k+3，ab=k2+3k+2又abc是以bc为斜边的直角三角形，且bc=5a2+b2=52，即（a+b）22ab=52，（2k+3）22（k2+3k+2）=25k2+3k10=0k1=5或k2=2当k=5时，方程为：x2+7x+12=0解得：x1=3，x2=4（舍去）当k=2时，方程为：x27x+12=0解得：x1=3，x2=4当k=2时，abc是以bc为斜边的直角三角形点评：此题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及勾股定理的应用求出k的值后，一定要代入原方程进行检验18（2005徐州）已知，是关于x的一

34、元二次方程（m1）x2x+1=0的两个实数根，且满足（+1）（+1）=m+1，求实数m的值考点：根与系数的关系；一元二次方程的定义；解分式方程分析：，是关于x的一元二次方程（m1）x2x+1=0的两个实数根，有+=，=，且（+1）（+1）=（+）+1代入可得（+1）（+1）=m+1即可得到关于m的方程，从而求解解答：解：一元二次方程（m1）x2x+1=0有两个实数根，解之得m且m1，而+=，=，又（+1）（+1）=（+）+1=m+1，+=m，解之得m1=1，m2=2，经检验m1=1，m2=2都是原方程的根m，m2=2不合题意，舍去，m的值为1注：如果没有求出m的取值范围，但在求出m值后代入原方

35、程检验，舍去m=2也正确点评：本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是利用根与系数的关系把求m的问题转化为方程的问题，是解决本题的关键19（2005龙岩）已知关于x的方程（m1）x22mx+m=0有两个不相等的实数根x1、x2；（1）求m的取值范围；（2）若（x1x2）2=8，求m的值考点：根与系数的关系；根的判别式；解分式方程分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式0时，方程有两个不相等的实数根，建立关于m的不等式，然后求出m的取值范围；（2）把根与系数的关系式代入（x1x2）2=8即（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=8，代入即可得到

36、一个关于m的方程，求得m的值解答：解：（1）a=m1，b=2m，c=m，而方程有两个不相等的实数根，=b24ac=4m24（m1）m=4m0，m0（m1）；（2），（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=8，解得：m1=2，m2=经检验2和都是方程的解点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根（3）0方程没有实数根2、若一元二次方程有实根，则根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=20（2005荆门）已知：关于x的方程x2（k+1）x+k2+1=0的两根是一个矩形两邻边的长（1）k取何值时，方程有两个实数根；（2

37、）当矩形的对角线长为时，求k的值考点：根与系数的关系；根的判别式；勾股定理；矩形的性质分析：（1）根据一元二次方程根的判别式，方程有两个实数根，则判别式0，得出关于k的不等式，求出k的取值范围（2）根据勾股定理和根与系数的关系得出关于k的方程，求出k的值并检验解答：解：（1）设方程的两根为x1，x2则=（k+1）24（k2+1）=2k3，方程有两个实数根，0，即2k30，k当k，方程有两个实数根（2）由题意得：，又x12+x22=5，即（x1+x2）22x1x2=5，（k+1）22（k2+1）=5，整理得k2+4k12=0，解得k=2或k=6（舍去），k的值为2点评：解决本题的关键是利用一元二

38、次方程根与系数的关系和勾股定理，把问题转化为解方程求得k的值21（2005江西）设关于x的一元二次方程x24x2（k1）=0有两个实数根x1、x2，问是否存在x1+x2x1x2的情况？考点：根与系数的关系；根的判别式分析：本题运用一元二次方程根与系数的关系即可把x1+x2x1x2转化为关于k的不等式，检验所得值，是否能使方程的判别式0解答：解：不存在一元二次方程x24x2（k1）=0有两个实数根x1、x2x1+x2=4，x1x2=2（k1）假设存在x1+x2x1x2，即有42（k1），k1又所给方程有实根，由根的判别式=（4）42（k1）0得k1k值不存在即不存在x1+x2x1x2的情况点评：

39、将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法22（2004荆州）关于x的方程x2+（2k+1）x+k21=0有两个实数根（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的平方和与两个实数根的积相等？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由考点：根与系数的关系；根的判别式专题：计算题分析：（1）根据判别式0即可求解；（2）根据根与系数的关系，得到关于k的方程即可求解解答：解：（1）方程的判别式=4k+5，依题意，=4k+50，k5/4；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，x12+x22=x1x2，得k=2时k=2时，o，故不存在实数k，使方程的两个实数根的

40、平方和与两个实数根的积相等点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，属于基础题，关键是掌握根与系数的关系23（2003盐城）已知关于x的方程x2+2（2m）x+36m=0（1）求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足x1=3x2，求实数m的值考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系专题：计算题；证明题分析：（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=4x2=2（2m）=2m4，以及x1x2=3x22=36m即可求得m的值解答：解：（1）证明：关于x的方程x2+2（2m）x+36

41、m=0中，=4（2m）24（36m）=4（m+1）20，无论m取什么实数，方程总有实数根（2）如果方程的两个实数根x1，x2满足x1=3x2，则x1+x2=4x2=2（2m）=2m4x2=1 x1x2=3x22=36m，x22=12m，把代入得m（m+4）=0，即m=0，或m=4答：实数m的值是0或4点评：解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式的关系，及根与系数的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根（4）若一元二次方程有实数根，则x1+x2=，x1x2=24（2002海南）对关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）（

42、1）当a、c异号时，试证明该方程必有两个不相等的实数根；（2）当a、c同号时，该方程要有实数根，还须满足什么条件？请你找出一个a、c同号且有实数根的一元二次方程，然后解这个方程考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法专题：证明题；开放型分析：利用一元二次方程根的情况与判别式的关系解答解答：解：（1）a、c异号，ac0，4ac0，又b20，=b24ac0，方程有两个不相等的实数根（2）当a、c同号时，方程ax2+bx+c=0（a0）有实数根还需满足b24ac0，如a=1，b=3，c=2时，=b24ac=（3）2412=10，方程为x23x+2=0，解得：x1=1，x2=3点评：解答此题要根据

43、一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根25（2001苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x122kx1+2x1x2=5，求k的值考点：根与系数的关系；根的判别式专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可解答：解：（1）已知关于x的一元二次方程，=（2k）24（k22）=2k2+8，2k2+80恒成

44、立，不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根（2）x1、x2是方程的两个根，x1+x2=2k，x1x2=k22，x122kx1+2x1x2=x12（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k22=5，解得k=点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法26（2001福州）已知关于x的方程x22（m+1）x+m23=0（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2（x1+x2）12=0，求m的值考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式专题：压轴题分析：（1）若一元二次方程有

45、两不等实数根，则根的判别式=b24ac0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2=2（m+1），代入且（x1+x2）2（x1+x2）12=0，即可解答解答：解：（1）方程有两个不相等的实数根，=b24ac=2（m+1）241（m23）=16+8m0，解得：m2；（2）根据根与系数的关系可得：x1+x2=2（m+1），（x1+x2）2（x1+x2）12=0，2（m+1）22（m+1）12=0，解得：m1=1或m2=（舍去）m2；m=1点评：根据方程的根的情况即可得到关于未知系数的不等式，转化为结不等式的问题，另外

46、（2）把求未知系数的问题，根据一元二次方程的根与系数的关系即可转化为方程的问题27（1998山西）设a，b，c是abc三边的长，且关于x的方程c（x2+n）+b（x2n）2ax=0（n0）有两个实数根，求证：abc是直角三角形考点：根的判别式；勾股定理的逆定理专题：证明题；压轴题分析：先把关于x的方程整理成一元二次方程的一般形式，再根据方程由两个相等的实数根即可得出a、b、c的关系，进而得出结论解答：证明：关于x的方程c（x2+n）+b（x2n）2ax=0（n0）可化为（c+b）x22ax+（cb）n=0，方程有两个相等的实数根，=（2a）24n（c+b）（cb）=0，即a2=b2+c2，a，b，c是abc三边的长，abc是直角三角形点评：本题考查的是根的判别式及勾股定理的逆定理，熟知一元二次方程的根与判别式之间的关系是解答此题的关键28（2