中考复习专题定值问题

1、苏州市初三数学定值问题专题复习课前演练：一、选择题1(2015潍坊)如图，直线l是一条河，a，b两地相距5 km，a，b两地到l的距离分别为3 km，6 km，欲在l上的某点m处修建一个水泵站，向a，b两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是() 2.(2015甘肃)如图，a，b两个电话机离电话线l的距离分别是3米，5米，cd6米，若由l上一点分别向a，b连线，最短为( )a11米 b10米 c9米 d8米 （第2题图)（第3题图)3如图，acbc于c，连接ab，点d是ab上的动点，ac6，bc8，ab10，则点c到点d的最短距离是()a6 b8 c. d.

2、（第4题图) ,第5题图),第6题图)4(2015贵阳模拟)如图rtabc中，abbc4，d为bc的中点，在ac边上存在一点e，连接ed，eb，则bde周长的最小值为()a2 b2 c22 d22二、填空题5如图，从直线外一点a到这条直线的所有线段中，线段_ _最短6如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是pb，理由是_ _ _7如图，在等腰三角形abc中，abc120，p是底边ac上的一个动点，m，n分别是ab，bc的中点，若pmpn的最小值是2，则abc的周长是_ _,第7题图),第8题图)8如图，在菱形abcd中，bad60，点m是ab的中点，p是对角线ac上的一个动点，若

3、pmpb的最小值是9，则ab的长是_ _9如果p是边长为2的正方形abcd的边cd上任意一点且pedb，pfca，垂足分别为e，f，则pepf _ _,第9题图),第10题图)10如图，abc45，bc4，bd平分abc交ac于点d，m，n分别是bd和bc上的动点(m与b，d两点不重合，n与b，c两点不重合)，则cmmn的最小值是_ _典型例题：例1小虎家新建一间房子，要在屋外的a处安装水表，从大路边到a处怎样接水管最近？把最短的线段画出来，并简要说明道理例2等边abc的边长是8，adbc，e是bd的中点，m，n分别是ab，ad上的动点，求mnen的最小值例3如图，aob45，p是aob内一定

4、点，po10，q，r分别是oa，ob上的动点，求pqr周长的最小值(要求画出示意图，写出解题过程)例4如图，在菱形abcd中，ab4，a135，点p，m，n分别为对角线bd及边bc，cd上的动点，求pmpn的最小值例5如图，正方形abcd的边长为4，dac的平分线交dc于点e，若点p，q分别是ad和ae上的动点，求dqpq的最小值巩固练习：一、填空题1在半o中，点c是半圆弧ab的中点，d是弧bc上距离点b较近的一个三等分点，点p是直径ab上的动点，若ab10，则pcpd的最小值是_ _.（第1题图)（第2题图) （第3题图）2(2015株洲)如图，ab是o的一条弦，点c是o上一动点，且acb3

5、0，点e，f分别是ac，bc的中点，直线ef与o交于g，h两点，若o的半径为7，则gefh的最大值为_ _3(2015莆田)如图，在反比例函数y上有两点a(3，2)，b(6，1)，在直线yx上有一动点p，当p点的坐标为_ _时，papb有最小值二、解答题4已知点m(3，2)，n(1，1)，点p在y轴上，求使得pmn的周长最小的点p的坐标5(2015宁德)如图，ab是o的直径，ab8，点m在o上，mab20，n是弧mb的中点，p是直径ab 上的一动点若mn1，则pmn周长的最小值为多少6(2015永州模拟)如图，已知抛物线yax2bxc经过a(3，0)，b(1，0)，c(0，3)三点，其顶点为d

6、，对称轴与x轴交于点h. (1)求抛物线的解析式； (2)若点p是该抛物线的对称轴上的一个动点，求pbc周长的最小值7小明在学习轴对称的时候，老师留了一道思考题：如图1，若点a，b在直线m的同侧，在直线m上找一点p，使得apbp的值最小，小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的做法是这样的：(a)作点b关于直线m的对称点b，(b)连接ab与直线m交于点p，则点p为所求请你参考小明的做法解决下列问题：(1)如图2，在等边abc中，ab2，点e是ab的中点，ad是高，在ad上找一点p(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，使得bppe的值最小，并求出最小值；(2)如图3，在矩形abc

7、d中，ab4，bc6，g为边ad上的中点，若e，f为ab边上的两个动点，点e在点f的左侧，且ef1，当四边形cgef的周长最小时，请你在图3中确定点e，f的位置(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并求出四边形cgef的周长的最小值8(2015大庆)如图，抛物线yx24x5与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c.已知m(0，1)，e(a，0)，f(a1，0)，点p是第一象限内的抛物线上的动点pcm是以cm为底的等腰三角形(1)求点p的坐标；(2)当a为多少时，四边形pmef周长最小. 拓展提高：1（2012年苏州）如图，已知半径为2的o与直线l相切于点a，点p是直径ab左侧半圆上的动点，过点p作

8、直线l的垂线，垂足为c，pc与o交于点d，连接pa、pb，设pc的长为x（2x4）（1）当x=时，求弦pa、pb的长度；（2）当x为何值时，pdcd的值最大？最大值是多少？2（2012年苏州）如图，正方形abcd的边ad与矩形efgh的边fg重合，将正方形abcd以1cm/s的速度沿fg方向移动，移动开始前点a与点f重合，在移动过程中，边ad始终与边fg重合，连接cg，过点a作cg的平行线交线段gh于点p，连接pd已知正方形abcd的边长为1cm，矩形efgh的边fg，gh的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段gp的长为y（cm），其中0x2.5（1）试求出y关于x的函数关

9、系式，并求当y=3时相应x的值；（2）记dgp的面积为s1，cdg的面积为s2试说明s1s2是常数；（3）当线段pd所在直线与正方形abcd的对角线ac垂直时，求线段pd的长中午作业：（分类练习）一、定值问题解1、如图，在平面直角坐标系o中，矩形aocd的顶点a的坐标是（0,4），现有两动点p、q，点p从点o出发沿线段oc（不包括端点o，c）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点c运动，点q从点c出发沿线段cd（不包括端点c，d）以每秒1个单位长度的速度匀速向点d运动.点p，q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时pq=.（1）求点d的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接aq并延长

10、交轴于点e,把ae沿ad翻折交cd延长线于点f,连接ef，则aef的面积s是否随t的变化而变化？若变化，求出s与t的函数关系式；若不变化，求出s的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形apqf是梯形？（第1题图）2、如图所示，在菱形abcd中，ab=4，bad=120，aef为正三角形，点e、f分别在菱形的边bccd上滑动，且e、f不与bcd重合（1）证明不论e、f在bccd上如何滑动，总有be=cf；（2）当点e、f在bccd上滑动时，分别探讨四边形aecf和cef的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值（2题图）（3题图）二、由运动产生的线段和差问

11、题（最值问题）3、如图所示，已知a，b为反比例函数图像上的两点，动点p在x正半轴上运动，当线段ap与线段bp之差达到最大时，点p的坐标是【 】a. b. c. d. 4、如图，抛物线l交x轴于点a（3，0）、b（1，0），交y轴于点c（0，3）将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点p，使点p到点a的对称点a1及c两点的距离差最大，并说出理由；5、如图，已知抛物线y=x2+bx+c与一直线相交于a（1，0），c（2，3）两点，与y轴交于点n其顶点为d（1）抛物线及直线ac的函数关系式；（2）设点m（3，m），求使mn+md的值最小时m的值；（3）若抛物

12、线的对称轴与直线ac相交于点b，e为直线ac上的任意一点，过点e作efbd交抛物线于点f，以b，d，e，f为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点e的坐标；若不能，请说明理由；（4）若p是抛物线上位于直线ac上方的一个动点，求apc的面积的最大值回家作业：（压轴题训练）1、如图，已知抛物线经过a（4，0），b（2，3），c（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点m，使得ma+mb的值最小，并求出点m的坐标（3）在抛物线上是否存在一点p，使得以点a、b、c、p四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由2. （2012四川自贡

13、12分）如图所示，在菱形abcd中，ab=4，bad=120，aef为正三角形，点e、f分别在菱形的边bccd上滑动，且e、f不与bcd重合（1）证明不论e、f在bccd上如何滑动，总有be=cf；（2）当点e、f在bccd上滑动时，分别探讨四边形aecf和cef的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值3. （2015常州10分）如图，一次函数y=x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点a、b，过点a作x轴的垂线l，点p为直线l上的动点，点q为直线ab与oap外接圆的交点，点p、q与点a都不重合（1）写出点a的坐标；（2）当点p在直线l上运动时，是否存在点p使得o

14、qb与apq全等？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由（3）若点m在直线l上，且pom=90，记oap外接圆和oam外接圆的面积分别是s1、s2，求的值参考答案：课前演练：1. b；2. b；3.d；4. c；5. ad；6. 垂线段最短；7. 42；8. 6；9. ；10. 4；2. 典型例题：例1.解：如图所示：沿ab线段接水管最近，因为直线外一点与直线的所有连接线段中，垂直线段最短（例1答图）（例2答图）（例3答图）例2. 解：作点e关于ad的对称点h，过点h作hgab于g，则mnen的最小值是hg，rthbg中，sin60，解得，gh3 。例3. 解：分别作点p关于oa，o

15、b的对称点m，n，连接om，on，mn，mn交oa，ob于点q，r，连接pr，pq，此时pqr周长的最小值等于mn.由轴对称性质可得，omonop10，moapoa，nobpob，mon2aob24590，在rtmon中，mn10，即pqr周长的最小值等于10。例4. 解：过点m作关于bd的对称点m1, 连接m1n交bd于点p，连接pm, 则pmpn的最小值就是m1n，过点c作chab于点h, 则m1nch，a135，hbc45，四边形abcd是菱形，abbc4，由三角函数的定义有，sin45，解得，ch2，即pmpn的最小值为2 。（例4答图）（例5答图）例5.解：作d关于ae的对称点d，再

16、过d作dpad于p，ddae，afdafd，afaf，daecae，dafdaf，d是d关于ae的对称点，adad4，dp即为dqpq的最小值，四边形abcd是正方形，dad45，appd，在rtapd中，pd2ap2ad2，ad216，appd，2pd2ad2，即2pd216，pd2，即dqpq的最小值为2巩固练习：1. _5；2. _；3. (，)_点拨：设a点关于直线yx的对称点为a，连接ab，交直线yx为p点，此时papb有最小值，a点关于直线yx的对称点为a，a(3，2)，a(2，3)，设直线ab的直线解析式为ykxb，解得k，b2，直线ab解析式为yx2，联立解得x，y，即p点坐标

17、(，)，故答案为(，)。4. 解：作出m关于y轴的对称点m，连接nm，与y轴相交于点p，则p点即为所求，设过nm两点的直线解析式为ykxb(k0)，则解得k，b，故此一次函数的解析式为yx，因为b，所以p点坐标为(0，)。5. 解：作n关于ab的对称点n，连接mn，nn， on，om，on，n关于ab的对称点n， mn与ab的交点p即为pmn 周长最小时的点，n是弧mb的中点， anobmon20，mon60， mon为等边三角形，mnom4, pmn周长的最小值为415（5题答图）（6题答图）（7题答图）6. 解：(1)把a(3，0)，b(1，0)，c(0，3)三点坐标代入yax2bxc中，

18、解得即抛物线的解析式是yx22x3 (2)如图，pbc的周长pbpcbc，bc是定值，当pbpc最小时，pbc的周长最小a，b两点关于对称轴对称，连接ac，交对称轴于点p，点p即为所求，apbp，pbc的最小周长pbpcbcacbc，a(3，0)，b(1，0)，c(0，3)，ac3，bc，pbc的最小周长3。7. 解：(1)如图2，作点e 关于ad的对称点f，交ac于点 f，连接bf，交ad 于点p，连接pe, 点p即为所求. 在等边abc中， ab2，点e是ab 的中点，ad是高，f是ac的中点，bfac于点f,bppe的最小值bf(2)如图3，作点g关于ab的对称点m，在cd上截取ch1，

19、连接mh，交ab于点e，在be上截取ef1，连接cf，则e，f为所求，ab4，bc6, g为边ad上的中点，dggaam3，aedh，maemdh，ae1，在rtgae，rtcbf，rtcdg中，分别由勾股定理解得，ge，cf2，cg5, 四边形gefc的周长的最小值geeffccg125 638. 解：(1)yx24x5与y轴交于点c，点c的坐标为(0，5)又m(0，1)，pcm是以点p为顶点的等腰三角形，点p的纵坐标为3，令yx24x53，解得x2，点p在第一象限，p(2，3)(2)四边形pmef的四条边中，pm，ef长度固定，因此只要mepf最小，则pmef的周长将取得最小值， 将点m向

20、右平移1个单位长度(ef的长度)，得m1(1，1)，作点m1关于x轴的对称点m2，则m2(1，1)，连接pm2，与x轴交于f点，此时mepfpm2最小，设直线pm2的解析式为ymxn，将p(2，3)，m2(1，1)代入得：，解得：，yx，当y0时，解得x.f(，0)，f(a1，0)，a，a时，四边形pmef周长最小（8题答图）（拓展1答图）（拓展2答图）拓展提高：1. 解：（1）o与直线l相切于点a，且ab为o的直径，abl，又pcl，abpc，cpa=pab，ab是o的直径，apb=90，又pcl，pca=apb=90，pcaapb，=，即pa2=pcab，pc=，ab=4，pa=，rtap

21、b中，ab=4，pa=，由勾股定理得：pb=；（2）过o作oepd，垂足为e，pd是o的弦，oepd，pe=ed，又ceo=eca=oac=90，四边形oace为矩形，ce=oa=2，又pc=x，pe=ed=pcce=x2，cd=pcpd=x2（x2）=4x，pdcd=2（x2）（4x）=2x2+12x16=2（x3）2+2，2x4，当x=3时，pdcd的值最大，最大值是22. 解：（1）cgap，gcdapg，=，gf=4，cd=da=1，af=x，gd=3x，ag=4x，=，即y=，y关于x的函数关系式为y=，当y=3时，=3，解得x=2.5，经检验的x=2.5是分式方程的根故x的值为2.

22、5；（2）s1=gpgd=（3x）=，s2=gdcd=（3x）1=，s1s2=即为常数；（3）延长pd交ac于点q正方形abcd中，ac为对角线，cad=45，pqac，adq=45，gdp=adq=45dgp是等腰直角三角形，则gd=gp，3x=，化简得：x25x+5=0解得：x=，0x2.5，x=，在rtdgp中，pd=（3x）=中午作业：1.【答案】解：（1）由题意可知，当t=2（秒）时，op=4，cq=2，在rtpcq中，由勾股定理得：pc=4，oc=op+pc=4+4=8。又矩形aocd，a（0，4），d（8，4）。t的取值范围为：0t4。（2）结论：aef的面积s不变化。aocd是

23、矩形，adoe，aqdeqc。，即，解得ce=。由翻折变换的性质可知：df=dq=4t，则cf=cd+df=8t。s=s梯形aocfsfcesaoe=（oa+cf）oc+cfceoaoe= 4（8t）8+（8t）4（8）。化简得：s=32为定值。所以aef的面积s不变化，s=32。（3）若四边形apqf是梯形，因为ap与cf不平行，所以只有pqaf。由pqaf可得：cpqdaf。cp：ad=cq：df，即82t：8= t：4t，化简得t212t16=0，解得：t1=6+2，t2=。由（1）可知，0t4，t1=6+2不符合题意，舍去。当t=秒时，四边形apqf是梯形。2. 【答案】解：（1）证明

24、：如图，连接ac。四边形abcd为菱形，bad=120，bae+eac=60，fac+eac=60，bae=fac。bad=120，abf=60。abc和acd为等边三角形。acf=60，ac=ab。abe=afc。在abe和acf中，bae=fac，ab=ac，abe=afc，abeacf（asa）。be=cf。（2）四边形aecf的面积不变，cef的面积发生变化。理由如下：由（1）得abeacf，则sabe=sacf。s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc，是定值。作ahbc于h点，则bh=2，。由“垂线段最短”可知：当正三角形aef的边ae与bc垂直时，边ae

25、最短故aef的面积会随着ae的变化而变化，且当ae最短时，正三角形aef的面积会最小，又scef=s四边形aecfsaef，则此时cef的面积就会最大scef=s四边形aecfsaef。cef的面积的最大值是。3.【答案】d。【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】把a，b分别代入反比例函数 得：y1=2，y2= ，a（ ，2），b（2， ）。在abp中，由三角形的三边关系定理得：|apbp|ab，延长ab交x轴于p，当p在p点时，papb=ab，即此时线段ap与线段bp之差达到最大。设直线ab的解析式是y=kx+b，把a、b的坐标代入得： ，

26、解得：。直线ab的解析式是。当y=0时，x= ，即p（ ，0）。故选d。4.【答案】解：（1）如图1，设经翻折后，点ab的对应点分别为a1、b1，依题意，由翻折变换的性质可知a1（3，0），b1（1，0），c点坐标不变，抛物线l1经过a1（3，0），b1（1，0），c（0，3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则，解得。抛物线l1的解析式为：y=x22x3。（2）抛物线l1的对称轴为：x=，如图2，连接b1c并延长，与对称轴x=1交于点p，则点p即为所求。此时，|pa1pc|=|pb1pc|=b1c。设p为对称轴x=1上不同于点p的任意一点，则有：|papc|=|pb1pc|b

27、1c（三角形两边之差小于第三边），|papc|pa1pc|，即|pa1pc|最大。设直线b1c的解析式为y=kx+b，则，解得k=b=3。直线b1c的解析式为：y=3x3。令x=1，得y=6。p（1，6）。5. 【答案】解：（1）由抛物线y=x2+bx+c过点a（1，0）及c（2，3）得，解得。抛物线的函数关系式为。设直线ac的函数关系式为y=kx+n，由直线ac过点a（1，0）及c（2，3）得：，解得。直线ac的函数关系式为y=x+1。（2）作n点关于直线x=3的对称点n， 令x=0，得y=3，即n（0，3）。n（6，3）由得：d（1，4）。设直线dn的函数关系式为y=sx+t，则：，解得。

28、故直线dn的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当m（3，m）在直线dn上时，mn+md的值最小，。使mn+md的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得d（1，4），b（1，2）， 当bd为平行四边形对角线时，由b、c、d、n的坐标知，四边形bcdn是平行四边形，此时，点e与点c重合，即e（2，3）。 当bd为平行四边形边时，点e在直线ac上，设e（x，x+1），则f（x，）。又bd=2，若四边形bdef或bdfe是平行四边形时，bd=ef。，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），e（0，1）。若，解得，e或e。综上，满足条件的点e为（2，3）、（0，1）、。（4）如图，过点

29、p作pqx轴交ac于点q；过点c作cgx轴于点g， 设q（x，x+1），则p（x，x2+2x+3）。 。，当时，apc的面积取得最大值，最大值为。回家作业：（压轴题训练）1. 【答案】解：（1）抛物线经过a（4，0），b（2，3），c（0，3）三点， ，解得。抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由b（2，3），c（0，3），且对称轴为x=1，可知点b、c是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接ac，交对称轴x=1于点m，连接mb，则mamb=mamc=ac，根据两点之间线段最短可知此时mamb的值最小。设直线ac的解析式为y=kxb，a（4，0），c（0，3）， ，解得。直线ac的解析

30、式为：y=x3。令x=1，得y= 。m点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点p满足题意：若bcap1，此时梯形为abcp1。由b（2，3），c（0，3），可知bcx轴，则x轴与抛物线的另一个交点p1即为所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。p1（2，0）。p1a=6，bc=2，p1abc。四边形abcp1为梯形。若abcp2，此时梯形为abcp2。设cp2与x轴交于点n，bcx轴，abcp2，四边形abcn为平行四边形。an=bc=2。n（2，0）。设直线cn的解析式为y=k1x+b1，则有： ，解得。直线cn的解析式为：y=x+3。点p2既在直线cn：y=x+3上，又在抛物线：上，x+3=，化简得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。点p2横坐标为6，代入直线cn解析式求得纵坐标为6。p2（6，6）。abcn，ab=cn，而cp2cn，cp2ab。四边形abcp2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点p，使得以点a、b、c、p四点为顶点所构成的四边形为梯形，点p的坐标为（2，0）或（6，6）。2. 【答案】解：（1）证明：如图，连接ac四边形abcd为菱形，ba