八年级上册数学-三角形三边关系-命题与证明

1、三角形中的边角关系、命题与证明【学习目的】理解与三角形有关的基本概念命题与证明考点一：三角形中的边角关系知识点拨：1.三角形中的有关概念（1）三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形.用符号“”表示.（2）三角形的顶点、边和角：边的表示；角的表示；对边、对角的概念.2.三角形按边的关系分类（1）不等边三角形：三条边互不相等；等腰三角形：有两条边相等的三角形；（2）等边三角形：三条边都相等的三角形（等腰三角形的特例）3.三角形的三边关系：三角形中任何两条边的和大于第三边，两边的差（绝对值）小于第三边.4.三角形中角的关系（1）按角分类：直角三角形；斜三角形：

2、锐角三角形和钝角三角形.（2）三角形的内角和等于180.注意：用RtABC表示直角三角形；任意一个三角形最多有三个锐角；最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角；任何三角的最大内角不能小于60，最小内角不能大于60.5.三角形中的几条重要线段（1）角平分线：角平分线把角分成两个相等的角.（三条角平分线的交点就是三角形的外心）（2）中线：三角形一顶点与它对边中点的线段叫中线.（三条中线的交点就是三角形的重心）（3）高线：三角形一顶点与它对边所在直线的垂线段叫三角形的高线.注意：三角形的中线所分得的两个三角形的面积相等.6.定义：能明确界定某个对象含义的语句叫做定义. 例1：如图所示，以点A

3、为顶点的三角形共有 （ ）A.6个 B.7个 C.8个 D.9个例2：已知实数、满足，则以、的值为两边的等腰三角形的周长是（ ）A.20或16 B.20 C.60 D.以上都不对例3：若四条线段的长分别为2cm、3cm、4cm、5cm，以其中的三条线段为边长，则可以构成三角形的个数有 （）A.1 B.2 C.3 D.4例4：在ABC中，A=B=C，则ABC是 （ ）A. 锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定例5：如图，CD、CE、CF分别是ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）A. BA=2BF B.2ACE=ACB C.AE=BE D.CDBE例6：下列属

4、于定义的是 （）A. 两点确定一条直线B.两直线平行，同位角相等C.三角形的高、角平分线和中线都是线段D.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形基础训练1、如图所示，ABAC，BECD，ADBDDEAECE，则图中共有个等腰三角形，有个等边三角形.第1题图 第3题图 第4题图2、一个等腰三角形中，一边长为9cm，另一边长为5cm，则等腰三角形的周长是.3、如图，AD、BE、CF分别是ABC的高、中线、角平分线.则ADC的高、中线、角平分线分别是.4、如图，图中以AB为边的三角形的个数是 （ ） A.3 B.4 C.5 D.65、已知，b，c是ABC的三边长，且满足|a-b|+=0，则ABC是 （

5、 ）A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.不能确定6、三角形的两边长分别为3，8，则第三边长为 （ ）A.5 B.6 C.3 D.117、以下各组长度的线段为边，组成的三角形是 （ ）A.2、3、5 B.3、3、6 C.5、8、2 D.4、5、68、设三角形的三边长分别为2，9，1-2，则的取值范围是 （ ）A.35 B.-53 C.-5-3 D.不能确定9、三角形的内角和等于 （ ）A.90 B.180 C.300 D.36010、在ABC中，若A=54，B=36，则ABC是 （ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形11、当三角形中一个内角是另一个内

6、角的2倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”如果一个“特征三角形”的“特征角”为100，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 （ ）A.30 B.50 C.80 D.10012、三角形的角平分线、中线和高 （ ）A.都是射线 B.都是直线 C.都是线段 D.都在三角形内13、如图所示，已知1=2，3=4，则下列结论正确的个数为 （ ）AD平分BAF；AF平分DAC；AE平分DAF；AE平分BAC.A.和 B.和 C.和 D.仅有14、下面四个命题中属于定义的是 （ ）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.有两条边相等的三角形叫等腰三角形D.内错角相等强化训练1.在ABC中

7、，如果A:B:C=1：2：3，则ABC一定是 （ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形2.如图，AE是ABC的中线,D是BE上一点,若BE=5，DE=2，则CD的长为 （ ）A.7 B.6 C.5 D.43.如图，过ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是 （ ）4.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是 （ ）A.3cm，4cm，8cm B.8cm ，7cm，15cmC.5cm ，5cm，11cm D.13cm ，12cm，20cm5.如图，在ABC中，点D是边AB上的一点，点E是边AC上一点，且DEBC，B=40，AED=60，则A的度

8、数是 （ ）A.100 B.90 C.80 D.70 第5题图 第7题图 第8题图6.一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边的取值范围是7.如图，AD是ABC的BC边上的高，AE是BAC的平分线.（1） 若B=47，C=53，则DAE=度；（2） 若B=，C=(c）满足条件的三角形的个数444、5、6、7434241441（1）将表格补充完整；（2）满足条件的三角形共有多少个?其中等腰三角形有多少个?等边三角形又有多少个?考点二：命题与证明知识点拨：1.命题及其分类（1） 命题定义：对某一事件作出正确或不正确判断的语句（或式子）叫做命题.举例：一年有365天；对顶角相等；欢迎光临，其中前两

9、个是命题.识别：没有对一件事的正确与否作出任何判断的语句，不是命题.（2）分类：真命题：正确的命题；假命题：错误的命题；识别：一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.注意：命题必须是一个完整的句子，是对事情作出肯定或否定的判断；命题一般为陈述句.2.命题的结构题设（或条件），是已知事项；一般形式：如果p，那么q（其中p是题设，q是结论）；结论（或题断），由已知事项推出的事项.3.互逆命题原命题与逆命题：将命题“如果p，那么q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题.4.反例：符合命题条件

10、，但不满足命题结论的例子，称为反例.注意：对于一个命题，只要能举出反例，就说明它是假命题.5.定理、证明定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.证明：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推倒出结论，这一方法称为演绎推理.演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明. 6.三角形的外角及三角形内角和定理的推论三角形外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角.三角形内角和定理的推论：推论1：直角三角形的两个锐角互余.推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.推论4

11、：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.例1：下列语句不是命题的是 （ ）A. 直角都等于90 B.对顶角相等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB例2：把下例命题改写成“如果.那么.”的形式，并分别指出它们的题设和结论.(1) 整数一定是有理数；(2) 同角的补角相等；(3) 两个锐角互余.例3：写出下列命题的逆命题，并判断真假（1） 两直线平行，同位角相等；（2） 若=0，则b=0；（3） 对顶角相等.例4：请举反例说明命题“对于任意实数，的值总是正数”是假命题，你举的反例是_（写出一个的值即可）.例5：在下列证明中，填上推理依据：如图，CDEF，1=2，求证：3=ACB.例6：如图

12、，在ABC中，ABC=66，ACB=54，BE、CF是两边AC、AB上的高，它们交于点H.求ABE和BHC的度数.基础训练1、下列语句中，不是命题的是 （ ）A.两点之间线段最短B.对顶角相等C.不是对顶角的两个角不相等D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线2、下列命题中，是真命题的是 （ ）A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的一个外角等于两个内角之和C.三角形的两边之和一定不小于第三边D.三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心3、“两条直线相交只有一个交点”的题设是 （ ）A. 两条直线 B.相交 C.只有一个交点 D.两条直线相交4、已知命题A：“任何偶数都是8的整

13、数倍”.在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是 （ ） A.2k B.15 C.24 D.42 5、如图，下列说法中错误的是 （ ）A.1不是ABC的外角B.B1+2C.ACD是ABC的外角D.ACDA+B第5题图 第6题图 第7题图6、一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则的度数是 （ ）A.165 B.120 C.150 D.1357、如图，在ABC中，ACB=90，CDAB，ACD=40，则B的度数为 （ ）A.40 B.50 C.60 D.708、命题“有两边相等的三角形是等腰三角形”的题设是，结论是，它的逆命题是.9、完成以下证明，并在括号内填写理由：已知：如图所

14、示1=2，A=3.求证：ACDE.证明：因为1=2，所以AB（ ）所以A=4（ ）又因为A=3，所以3=.（ ） 所以ACDE. （ ）10、将下列命题改写成“如果.那么.”的形式，并分别指出命题的题设与结论：（1） 直角都相等；（2） 末位数字是5的整数能被5整除；（3） 同角的余角相等.11、分析下列所举反例的正确性，若不正确，请写出正确的反例.（1）若|=|，则=； 反例：取=3，=-3，则|=|，所以此命题是假命题； （2）两个锐角的和一定是钝角； 反例：取1=30，2=100，则1+2=130，不符合命题的结论，所以此命题是假命题；（3）若|=，则0.12、如图，已知ACDE，1=2

15、.求证：ABCD.13、如图，在ABC中，A=62，ABD=DCE=36，求BEC的度数.14、如图，点E是ABC中AC边上的一点，过E作EDAB，垂足为D，若1=2，则ABC是直角三角形吗？为什么？强化训练1.如图，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE相交于点P.若A50，则BPC的度数是 （ ）A.150 B.130 C.120 D.1002.如图，从1=2；C=D；A=F三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为 （ ）A.0 B.1 C.2 D.3 第2题图 第6题图3.一个三角形的三个外角之比为3：4：5，则这个三

16、角形三个内角之比是 （ ）A.5:4:3 B.4:3:2 C.3:2:1 D.5:3:14.能说明命题“对于任何实数，”是假命题的一个反例可以是 （ ）A.=-2 B. C. =1 D.5.下列命题：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；若，则；若，则.它们的逆命题一定成立的有 （ ）A. B. C. D.6.如图，CE是ABC的外角ACD的平分线，若B=35，ACE=60，则A= （ ）A.35 B.95 C.85 D.757.如图，在ABC中，B=40，三角形的外角DAC和ACF的平分线交于点E，则AEC=.8.直角三角形中两个锐角的平分线相交所成的锐角的度数是.9. 写出命题“如果，那么”

17、的逆命题：.10.如图，AD是ABC的高，BE平分ABC交AD于E.若C60，BED54，求BAC的度数.11.如图，AD是ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若B=30，ACD=100， 求DAE的度数12.如图，D是ABC内的任意一点.求证：BDC=1+A+2.13.用两种方法证明“三角形的外角和等于360”.如图，BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角.求证：BAE+CBF+ACD=360.证法1：，BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540.BAE+CBF+ACD=540-（1+2+3）.，BAE+CBF+ACD=540-180=360.请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.能力提升1.如