工程弹塑性力学课件：第二章 应力分析(肖)

1、第二章 应力分析,2.1 一点的应力状态 2.2 主应力、应力不变量 1.3 八面体和八面体应力 1.4 应力偏量张量 1.5 平衡微分方程,1.1 一点的应力状态,正应力,剪应力,过C点可以做无穷多个平面K,不同的面上的应力是不同的,到底如何描绘一点处的应力状态?,1）一点的应力状态可由过该点的微小正平行六面体上的应力 分量来确定。,数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式的九个数所定义的量叫做二阶张量。,符号规定,正面：外法线方向与坐 标轴正向一致的面 负面：外法线方向与坐标轴负向一致的面,方向： 正面上应力与坐标轴正向一致为正，反之为负。 负面上应力与坐标轴负向一致为正，反之为负。,应力

2、张量,用张量下标记号法,下标1、2、3表示坐标x1、x2、x3即x、y、z方向,(1.1),(1.2),该点的应力为：,2)一点斜面上的应力(不计体力),斜截面外法线n的方向余弦:,令斜截面ABC的面积为1,问题的提出 已知弹性体内任一点0处的应力分量，求经过该点任意斜截面上的应力。为此在0点附近取一个平面ABC，当平面AB与0点无限接近时，平面ABC上的应力就成为上述斜面上的应力。,i ：自由下标；j为求和下标（同一项中重复出现）。,斜截面OABC上的正应力:,斜截面OABC上的剪应力:,2.2 主应力、应力状态不变量,主平面:剪应力等于零的截面,主应力- :主平面上的正应力,采 用 张 量

3、 下 标 记 号,Kroneker delta记号,dij记号：Kroneker-delta记号,方向余弦满足条件：,采用张量表示,联合求解 l1,l2,l3：,联合求解 l1,l2,l3：,行列式展开后得：,简 化 后 得,是关于 的三次方程，它的三个根，即为三个主应力，其相应的三组方向余弦对应于三组主平面。,主应力大小与坐标选择无关，故J1,J2,J3也必与坐标选择无关。,式中:,若坐标轴选择恰与三个主坐标重合：,应力圆与最大切应力,2.3 八面体和八面体应力,沿主应力方向取坐标轴，与坐标轴等倾角的八个面组成的图形，称为八面体。,八面体的法线方向余弦：,八面体平面上应力在三个坐标轴上的投影

4、分别为：,八面体（每个坐标象限1个面）,八面体面上的正应力为:,八面体面上的剪应力为：,八面体（每个坐标象限1个面）,八面体面上的应力矢量为：,平均正应力,例题:,已知一点的应力状态由以下一组应力分量所确定, 即x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 应力单位为MPa。试求该点的八面体主应力和剪应力值。,解:,2.4 应力偏量张量,1.应力张量分解,物体的变形包括两种：体积变形和形状变形,体积改变,形状改变,由各向相等的应力状态引起的,材料晶格间的移动引起的,球应力状态/静水压力,弹性性质,塑性性质,球形应力张量,偏量应力张量,其中:,平均正应力/静水压力,2.主偏量应力和

5、不变量,二阶对称张量,其中:,剪应力分量始终没有变化,主偏量应力,证明偏应力状态 的主方向与原应力状态 的主方向重合,例:,设原应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则,证明：,显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(a)中的任意两式和l12+l22+l32=1所确定。,(a),若设偏应力状态 主方向的方向余弦为l1,l2,l3，则：,显然，方向余弦l1,l2,l3将由式(b)中的任意两式和l12+l22+l3 2=1所确定。,(b),由于:,l1=l1; l2=l2 ; l3= l3,可见式(a)与式(b)具有相同的系数，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=1,3

6、.主偏量应力和不变量,偏应力状态 的主方向与原应力状态 的主方向一致,主值为:,满足三次代数方程式：,式中I1,I2,I3为不变量,利用I1=0，不变量I2还可写为:,4.等效应力(应力强度),在弹塑性力学中，为了使用方便，将 乘以系数 后，称之为等效应力,简单拉伸时:,“等效”的命名由此而来。,各正应力增加或减少一个平均应力，等效应力的数值不变，这也说明等效应力与球应力状态无关,5.等效剪应力(剪应力强度),“等效”的命名由此而来。,例题：已知结构内某点的应力张量如右式，试求该点的球形应力张量、偏量应力张量、等效应力及主应力数值。,解：,等效应力:,关于主应力的方程为:,由主应力求等效应力:,一阶截断