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文档简介

1、计数原理J1基本计数原理5J12013福建卷 满足a,b1,0,1,2,且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A14B13C12D105B解析 当a0时,2xb0x,有序数对(0,b)有4个;当a0时,44ab0ab1,有序数对(1,b)有4个,(1,b)有3个,(2,b)有2个,综上共有443213个,故选B.12J12013北京卷 将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是_1296解析 5张参观券分为4堆,有2个连号有4种分法,然后每一种全排列有A种方法,所以不同的分法种数是4A

2、96.14J1、J22013全国卷 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)14480解析 先排另外四人,方法数是A,再在隔出的五个位置安插甲乙,方法数是A,根据乘法原理得不同排法共有AA2420480种22A1、A2,J12013重庆卷 对正整数n,记In1,2,n,Pn.(1)求集合P7中元素的个数;(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方,则称A为“稀疏集”,求n的最大值,使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并22解:(1)当k4时,mI7中有3个数与I7中的3个数重复,因此P7中元素的个数为77346.(2)先证:当n15时,Pn不能分成两个不相交的

3、稀疏集的并若不然,设A,B为不相交的稀疏集,使ABPnIn.不妨设1A,则因1322,故3A,即3B.同理6A,10B,又推得15A,但11542,这与A为稀疏集矛盾再证P14符合要求,当k1时,mI14I14可分成两个稀疏集之并,事实上,只要取A11,2,4,6,9,11,13,B13,5,7,8,10,12,14,则A1,B1为稀疏集,且A1B1I14.当k4时,集mI14中除整数外剩下的数组成集,可分解为下面两稀疏集的并:A2,B2.当k9时,集mI14中除正整数外剩下的数组成集,可分解为下面两稀疏集的并:A3,B3.最后,集CmI14,kI14,且k1,4,9中的数的分母均为无理数,它

4、与P14中的任何其他数之和都不是整数,因此,令AA1A2A3C,BB1B2B3,则A和B是不相交的稀疏集,且ABP14.综上,所求n的最大值为14.注:对P14的分拆方法不是唯一的J2排列、组合8J22013辽宁卷 执行如图所示的程序框图,若输入n10,则输出S()图12A. B. C. D.8A解析 由程序框图可以得到S,故选A.14J1、J22013全国卷 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)14480解析 先排另外四人,方法数是A,再在隔出的五个位置安插甲乙,方法数是A,根据乘法原理得不同排法共有AA2420480种10J22013山东卷 用0,1,9十个

5、数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A243 B252 C261 D27910B解析 (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是:第一步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位),第二步,排十位数字,有9种方法,第三步,排个位数字,有8种方法,根据乘法原理,共有998 648(个)没有重复数字的三位数可以组成所有三位数的个数:91010900,所以可以组成有重复数字的三位数的个数是:900648252.8J22013四川卷 从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别为a,b,共可得到lgalgb的不同值的个数是()A9 B10 C18 D208C解析 从1,3,5,7

6、,9中,每次取出两个不同的数作为a,b可以得到不同的差式lg alg b共计A20个,但其中lg 9lg 3lg 3lg 1,lg 3lg 9lg 1lg 3,故不同的值只有18个14K2,J22013新课标全国卷 从n个正整数1,2,3,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n_148解析 和为5的只有两种情况,14,23,故C28n8.14J22013浙江卷 将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有_种(用数字作答)14480解析 先在6个位置找3个位置,有C种情况,A,B均在C的同侧,有CAB,CBA,ABC,BAC,而剩下D

7、,E,F有A种情况,故共有4CA480种13J22013重庆卷 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)13590解析 从12名医生中选出5名的选法有C792种,其中只不选骨科医生的选法有C1125种;只不选脑外科医生的选法有C155种;只不选内科医生的选法有C21种;同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种,故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数有792(12555211)590.J3二项式定理9J32013新课标全国卷 设m为正整数,(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(xy

8、)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b,则 m()A5 B6 C7 D89B解析 (x2y)2m展开式的二项式系数的最大值是C,即aC;(x2y)2m1展开式的二项式系数的最大值是C,即bC,13a7b,13C7C,137,易得m6.11J32013安徽卷 若x8的展开式中x4的系数为7,则实数a_.11.解析 二项式展开式的通项为Tr1Carx8r,令8r4,可得r3,故Ca37,解得a.15B13,J3,M12013福建卷 当xR,|x|0时,ff(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20 C15 D158A解析 由已知表达式可得:ff(x)6,展开式的通项为Tr1C6

9、r()rC(1)rxr3,令r30,可得r3,所以常数项为T4C20.11J32013四川卷 二项式(xy)5的展开式中,含x2y3的项的系数是_(用数字作答)1110解析 根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C10.10J32013天津卷 x6的二项展开式中的常数项为_1015解析 由二项式的展开式得Tk1Cx6k(1)kCx6k,令6k0,解之得k4,T5(1)4C15.5J32013新课标全国卷 已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5,则a()A4 B3 C2 D15D解析 已知(1x)(1x)5的展开式中,x2的系数为CaC 5,则a1,故选D.11J32013浙江卷 设

10、二项式5的展开式中常数项为A,则A_1110解析 Tr1Cx(1)rx(1)rCx,则0,r3,故常数项AT4(1)3C10.J4单元综合23J42013江苏卷 设数列an:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,(1)k1k,(1)k1k,k个,即当n(kN*)时,an(1)k1k.记Sna1a2an(nN*)对于lN*,定义集合Pln|Sn是an的整数倍,nN*,且1nl(1)求集合P11中元素的个数;(2)求集合P2 000中元素的个数23解:(1)由数列an的定义得a11,a22,a32,a43,a53,a63,a74,a84,a94,a104,a115,所以S11,S21,S33,S

11、40,S53,S66,S72,S82,S96,S1010,S115,从而S1a1,S40a4,S5a5,S62a6,S11a11,所以集合P11中元素的个数为5.(2)先证:Si(2i1)i(2i1)(iN*)事实上,当i1时,Si(2i1)S33,i(2i1)3,故原等式成立;假设im时成立,即Sm(2m1)m(2m1),则im1时,S(m1)(2m3)Sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)4m3(2m25m3)(m1)(2m3)综合可得Si(2i1)i(2i1)于是S(i1)(2i1)Si(2i1)(2i1)2i(2i1)(2i1)2(2i1)(i1)由上可知Si(2i1)是2

12、i1的倍数,而ai(2i1)j2i1(j1,2,2i1),所以Si(2i1)jSi(2i1)j(2i1)是ai(2i1)j(j1,2,2i1)的倍数,又S(i1)(2i1)(i1)(2i1)不是2i2的倍数而a(i1)(2i1)j(2i2)(j1,2,2i2),所以S(i1)(2i1)jS(i1)(2i1)j(2i2)(2i1)(i1)j(2i2)不是a(i1)(2i1)j(j1,2,2i2)的倍数,故当li(2i1)时,集合Pl中元素的个数为13(2i1)i2,于是,当li(2i1)j(1j2i1)时,集合Pl中元素的个数为i2j.又2 00031(2311)47.故集合P2 000中元素的

13、个数为312471 008.12013安徽示范名校联考 如图K371所示,ABC是一个边长为3的正三角形,若在每一边的两个三等分点中,各随机选取一点连成三角形下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号)依此方法可能连成的三角形一共有8个;这些可能连成的三角形中,恰有2个是锐角三角形;这些可能连成的三角形中,恰有3个是直角三角形;这些可能连成的三角形中,恰有3个是钝角三角形;这些可能连成的三角形中,恰有2个是正三角形1解析 如图所示编号,边长为3,则选取三角形的边长为1,或2三种之一;每边各选1点,三角形共CCC8个;锐角三角形只有DHF和IGE两个;直角三角形有6个(满足12);没有钝角三角形

14、;两个正三角形DHF和IGE(边长为)故选.22013湖南师大附中月考 的展开式中,系数最大的项为第_项23或5解析 的展开式中系数与二项式系数只有符号差异,又中间项的二项式系数最大,中间项为第4项其系数为负,则第3,5项系数最大32013郑州质检 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼15”飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法数是()A12 B18C24 D483C解析 分三步:把甲、乙捆绑为一个元素A,有A种方法;A与戊机形成三个“空”,把丙、丁两机插入空中有A种方法;考虑A与戊机的排法有A种方法可知共有AAA24种不同的着舰方法42013皖南八校联考 “2012”含有数字0,1,2,且有两个数字2,则含有数字0,1,2,且有两个相同数字2或1的四位数的个数为()A18 B24C27 D364A解析 由题意可分情况讨论:含有两个1或两个2的四位数,先排0有3个位置可以选,然后排另外一个不重复的数字有3个位置可以选,剩下的排重复的数字,所以满足要求的数共有2CCC18个52013肇庆期末统考 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是()A0 B2C4 D65B解析 二项展开式的通项为Tr1Cr10()10rCr10(1)rx,若展开式中含x的正整数

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