数学分析 第十六章 课件 偏导数与全微分.ppt

1、第十六章 偏导数与全微分,再一元微分学中：有,导数（微商）,连续,微分,复习：,变化率,线性主要部分,1 偏导数与全微分的概念,例如：固定 y = y0, 则 f (x, y0) 就是 x 的一元函数，它在 x0 时对 x 的导数，称为 f (x, y0) 在 (x, y0) 对 x 的偏导数.,偏导数在二元函数 f (x, y) 中将 x, y 中的一个量固定（看作 不变），,定义16.1. 函数 f 在(x0, y0) 关于 x 的偏改变量. 若下列极限存在,则称该极限为函数 f (x, y) 关于 x 的偏导数.,记号：,和一元函数的情形相仿：,则这个偏导数也是,的二元函数，它是,的在G

2、内对x或y的偏导函数，简称偏导数,记为,或,或,：,：,若函数,在区域内每一点都存在对x或对y的偏导数，,偏导数的几何意义：先复习导数的几何意义,空间曲线,看p181图,曲面 平面,例例,例表明：偏导数存在,连续,原因：只有两个方向,与一元函数的本质区别,全微分,回忆一下一元函数的微分：两大特点；. 推广到二元函数,定义.（可微与全微分）,记号：,二元函数的微分仍有两大特点；.,先回忆一下一元函数的情形：切线存在且逼近曲线 二元：切平面存在且逼近曲面,二元函数 在,的几何意义,定理16.1,全微分与偏导数的关系：,设,可微，,在表达式中,分别令,和,得,从而： 在,的全微分可写成,类似可定义

3、n 元函数 u = f (,)的全微分,注：函在一点的偏导数不可能推出在该点可微,定理.2,在某区域,内,点的全微分为,总结,连续,偏导数存在,可微,偏导数连续,4、高阶偏导数和高阶微分,先考虑二元函数,前面说过偏导数,则称,关于x, y的偏导数为,的二阶偏导数，共有四个,类似可定义三阶偏导数 ：共,个,例 7.,求所有的二阶偏导数：,两个混合偏导数：是否总相等,例8.,设,证明:,在什么条件下才能保证两者相等呢？,定理16.4,这个定理可以推广到 n,具有直到 n 阶的连续偏导数，则求偏导数与变量的顺序,的 n 阶偏导数可简单得表示为：,阶偏导数的情形：,即若函数 f,高阶全微分,复习高阶微

4、分,二阶全微分：,设混合偏导数连续，记号,无关. 从而二元函数,2 复合函数与隐函数微分法,复合函数的偏导数,先复习一元函数的链式法则,多元类似,Th16.5,复合函数偏导数的链式法则,证明：,思路,1、,2、,可微：偏导,注：,条件“可微”不可少。,要求,总结,用图表示链式法则,几个特殊的情形和推广：,1）,则复合函数,为一元函数,设,注意符号有时称全导数,2）,设,则,推广 n 个,P196,复合三次,u,x,y,z,s,t,3),设,1、两符号的意义本质区别,2、特例,u,x,y,t,s,t,下面求复合函数的高阶偏导数：,例3,强调,，,仍是 x, y 的函数，从而 x, y 又是 s,

5、 t 的函数,x,y,s,t,同理,例4.,设,书上记号易混,求,解:,引入中间变量：,记号,链式法则的应用,偏微分方程的变换,求解,目的,2）复合函数的全微,设,进一步，若,则有,又：,和一元函数一样，二阶全微分不再具有形式的不变性。,这一性质称为一阶全微分形式的不变性,应用：隐含数微分法,3）隐函数（组）的求导法,（1）一个方程的情形：,上册Ch4.3,=0的情形：,在一定条件下，由,可以确定隐含数y=f ( x)且是可导的,求,前面的求法：只有对具体问体：,现在运用偏导数和链式法则，有,（例,，求,）,不能给出一般表达式，,，若,则,推广：由方程,=0，确定隐含数,且偏导数存在，求,同理

6、可得：,例7,设,解：,由要求的结果知,确定隐函数 偏导数存在,例8,设,解法二（利用全微分公式）,解法一：,（2）方程组的情形：,设,确定两个隐含数,求,推导见：P205。,求,（假设存在）,小结,偏导与全微分的概念 复合函数与隐函数微分,习题1、求,解法1:,解法2:,在点(1 , 2) 处的偏导数.,2、 设,证:,3、 求,的偏导数 . (P14 例4),解:,求证,4、计算,的近似值.,解: 设,则,取,则,5、,解:,1、 利用公式,求计算面积时的绝对误差与相对误差.,解：,故绝对误差约为,又,所以 S 的相对误差约为,计算三角形面积.现测得,附加题,2、在直流电路中,测得电压 U

7、 = 24 伏 ,解: 由欧姆定律可知,( 欧),所以 R 的相对误差约为,0.3 + 0.5 ,R 的绝对误差约为,0.8 ,0.3;,定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .,相对误差为,测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 ,= 0.032 ( 欧 ),= 0.8 ,求用欧姆,3.设,解:,利用轮换对称性 , 可得,注意: x , y , z 具有 轮换对称性,4、 设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,半径由 20cm 增大,解: 已知,即受压后圆柱体体积减少了,5.有一圆柱体受压后发生形变,到 20.05cm ,则,高度由100cm 减