《复变函数》作业集答案.doc

1、第一章练习题参考答案一、1 ； 2，；3 ；4； 5 ；6 ； 7. ；二、1 ； 2 ； 3； 4 56 三、1 ； 2 ； 3 ； 4四、1 ；2 (为实数)；3 (为任意实数)；4； 五、1直线；2 以 (-3,0), (-1,0)为焦点,长半轴为2，短半轴为的椭圆：；3 直线； 4 以为起点的射线；六、1上半平面,无界单通区域；2由直线及所构成的带形区域(不含两直线)，无界单连通区域；3以为圆心,以4为半径的圆的内部(不含圆心)，有界多连通区域；4由射线逆时针旋转到射线构成的半平面，无界单连通区域七、证明: 八、由 即可证明。几何意义：平行四边形两对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍。

2、 （33）九、多项式的系数是实数， 故十、当沿实轴趋于0时，极限值为1；当沿虚轴趋于0时，极限值为-1故 当时，的极限不存在十一、证明：令则又因 是实系数方程的根，那么于是 所以 于是方程的根十二、 .第二章练习题参考答案一、1充分条件 2充分必要条件 3)在处可微； ) 在处成立45 （2，-3，2） 二、1C 2C 3D 4. D 5.A 6.D 7.D 8.A （34）三、1解： 故在上可导,没有解析点2解：故 在全平面内可导,在全平面内解析 3解： 仅当时，C-R条件成立，故此函数在直线上处处可导，而在复平面上处处不解析.4解： 因此仅在两相交直线上处处可导，在平面处处不解析5解： C

3、-R条件处处成立，且偏导数处处连续，因而处处可微，即处处解析6解：令，则在z平面上处处可微且 从而要使 ， 只需：，从而在直线上，可导，在z 平面上处处不解析7解：设，则（35）=，由于在z平面上处处可微，且 若，则必须要，解得 ，函数在z=0点可导，平面上处处不可微四、证明: （1） 又 得 常数同理可得常数 常数（2） 在区域内解析 （36）又 时得 即结论成立当时 得 即常数同理可得常数 常数（3 ） 在区域内解析 得 得 常数同理可得 常数 常数五、解：1 2 3 （37）六、解 ： 主值 主值 七、解：(1) (2) (3) (4) 八、解： ,由C-R 条件我们可以得到： 九、解：

4、因为且 在平面上处处连续，所以在平面上处处可微；又因为处处成立，从而在平面上处处解析，且=(38)第三章练习题参考答案一、1 ； 20； 3；4 -1； 5； 6 0； 7； 8； 9 ； 10 .二、单项选择题 1D 2B 3.B 4.B 5.A 6.C 7.B 8.A 9.B 10.C三、1证明： 2解：原式=- + 3解：显然被积函数的奇点为0和1（1）在内，被积函数有唯一奇点0，故（2）在内，被积函数有唯一奇点1，故（3）对，由复合闭路定理 其中4解：当在的内部时， (39)当在的内部时，原式=当不在的内部时，原式=5 解：当0，1均不在C 的内部时，被积函数在C 上及其内部解析，由C

5、auchy-Gourssat定理，当点0 在C 的内部而点1在C 的外部时，由柯西积分公式得：当1在C 的内部，而点0在C 的外部时,由高阶导数公式得：当0，1 均在C 的内部时，在C 的内部作分别以0，1为圆心半径充分小的圆周，使得他们互不包含也互不相交，由复合闭路定理，有3证明：当 则 ，是解析函数且当，则 也是解析函数且6证明：令，则(40) ， = =故 7解： 因为 ，由C-R方程可得 用偏积分法 因此 由 所以 8解： 用偏积分法(41) 故 (C为实常数)或 其中 (C为实常数)9解： 由 + 得 - 得 从而 C为复常数10解：，, 一般情况下不相等，可能相等的情况：是简单闭曲

6、线，是的连续函数，且与无关；是平行于实轴的线段；第四章练习题参考答案一、1复数列收敛的充分必要条件是实数列与均收敛。2复数项级数收敛的充分必要条件是实级数与均收敛。3复数项级数绝对收敛的充分必要条件是实级数与均绝对收敛。4幂级数收敛域为圆域：，而洛朗级数的(42)收敛域为圆环域。二、填空题1，0； 23，+，0； 4 7i 8三、判断题1 ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. 四、证明：级数收敛，相当于幂级数在处收敛。因此该幂级数的收敛半径。但若，则幂级数在收敛圆内绝对收敛，特别在处绝对收敛，即级数收敛。这与题设矛盾。从而幂级数的收敛半径。五、1=2因为 ，故 3(43)4因为，而所以 5因

7、为而故 6因为且，从而可得：=六、（1）（2）因为，而 所以 （3）因为，而(44)所以 （4）用公式求展开式的系数；故 函数距最近的奇点为，所以级数的收敛半径 （5）因为，而所以 七、（1）在内，故(45)（2）在内，从而有（3）（4）因为所以 （5）(6) (46) 第五章 参考答案一、1 是一级极点，是二级极点；2 是二级极点；3 是本性奇点； 4 是三级极点，是一级极点；5 是一级极点；6 一级极点二、1 解 ，可去奇点，是一级极点 2 解 因为 所以 3 解 是二级极点，是一级极点 4 解 （47）5 解 6 解 为二级极点，为的一级极点， 7 解 是的二级零点,故为的二级极点,由于

8、其为偶函数,洛朗展开式的奇次项的系数为零,所以 8 解 0是二级极点,-2是一级极点, 用极点处留数计算公式得 三、1 解 在 内，是函数一级极点 2 解 为一级极点，为二级极点 3 解 为一级极点， (48)4 解 在内，是被积函数一级极点5 解 在内，被积函数有三个一级极点 6 解 在内，被积函数有一个一级极点 7 解 因为 所以 ， 8 解 因为 所以 ， 四 证明： 因为 是的级极点，故有解析函数，使得 (49)所以 为的级极点五、解 因为是的级零点，故有在某邻域内解析的函数，使 所以 六、解 因为是的级极点，故有在某邻域内解析的函数，使模拟试题（一）参考答案一、1 D； 2 D ；

9、3 A ； 4 B； 5 A. 二、1 ；2； 3 1 ； 4 三、 证： 因为 在区域内解析，且从而 （3分）(50)所以 （5分）系数行列式 所以 ，同理 （7分） 即 在内为常数 （8分）四、解 （2分） （4分） （6分）由 得 （8分）五、解 ： (2分)而 (4分) (6分)所以 (8分)(51)级数的收敛半径为 (10分)六、 解： 因为 (4分)所以 (8分) (10分)七、 （1） 解 ： 在内，是二级极点，是一级极点 (1分) (3分) (5分) (6分)（2）解： (6 分)（3） 解 ： 在内，均为函数的一级极点 (2分) (4分) (6分)（4） 解 ： (4分) (6分)(52)模拟试题（二）参考答案一、1B； 2C； 3A； 4D； 5B二、1； 2；3； 40； 5三、证明:在区域D内解析,且 对求偏导 对求偏导 (2分)由 得 (6分)得 (7分)若 得 常数同理可得 常数故 (8分)四、解： (2分) (4分) (6分) （8分）由 得 (53) (10分) (10分)五、解： （2分） （) （8分）根据1到最近奇点0的距离得收敛半径为1