2.3两次函数的性质及练习

1、根据要求填空：,(2)抛物线 的顶点坐标是 , 对称轴是 .,(-2,-1),直线x=-2,(3)抛物线 的顶点坐标是 , 对称轴是 .,直线x=2,(2, -1),(1)抛物线 的顶点坐标是 , 对称轴是 .,课前热身,根据右边已画好的函数图象回答问题：,(1)抛物线 ，当自变 量x增大时，函数值y将怎样变化？,(2)抛物线 ，当自变 量x增大时，函数值y将怎样变化？,先减小，后增大.,先增大，后减小.,当x 时,y随着x的增大而减小 当x 时,y随着x的增大而增大.,当x 时,y随着x的增大而增大 当x 时,y随着x的增大而减小.,-2,-2,2,2,新知探索,直线x=-2,直线x=2,根

2、据右边已画好的函数图象填空：,(1)抛物线 的 顶点是图象的最 点。,(2)抛物线 的 顶点是图象的最 点。,该函数有没有最大值和最小值？,该函数有没有最大值和最小值？,当x=_时,y有最_值=_,当x=_时,y有最_值=_,低,高,-2,小,-1,2,大,-1,新知探索,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,y随着x的增大而减小. , y随着x的增大而增

3、大.,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2).(1)求这条抛物线的解析式.(2)求出这个二次函数的最大值或最小值.(3)在此抛物线上有两点a(x1,y1),b(x2,y2),且x1x20,试比较y1与y2的大小.,综合练习,练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。（1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。（2）铅球的落地点离运动员有多远？,y(m),(1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?

4、 (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,二次函数与一元二次方程,二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.,y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2,(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.,(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx

5、+c=0的根有什么关系?,抛物线与x 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？,0,=0,0,o,x,y,(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?,有两个交点,有两个相异的实数根,b2-4ac 0,有一个交点,有两个相等的实数根,b2-4ac = 0,没有交点,没有实数根,b2-4ac 0,求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点a、b的坐标。,解：a、b在x轴上， 它们的纵坐标为0， 令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； a（1，0） ， b（2，0）,你发现方程 的解x1、x2与a、b的坐

6、标有什么联系？,x2-3x+2=0,举例:,结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。,即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是a（ ）， b（ ）,x1，0,x2，0,x,二次函数图象y=ax2+bx+c,如果图象的顶点在x轴上，则 如果图像的顶点在y轴上，则,二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2 （1）图像关于y轴对称，则m = （2）图像经过原点，则m= （3）图像与坐标轴只有2个交点，则m=,( 1 )图象过a(

7、0，1) 、b（1，2）、c（2，-1）三点,(1) 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.,（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,图象过a(0，1) 、b（1，2）、c（2，-1）三点,y= -2x2+3x+1,求函数的解析式的几种方法,（2）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）,解：图象顶点是（-2，3）,设其解析式为y=a（x+2）2+3,图象经过点（-1，5）,5=a（-1+2）2+3,a=2,y=2（x+2）2+3,解：a(1，0)，对称轴为x=2,抛物线与x轴另一个交点c应为（3，0）,设其解析式为y=a(x-1)(x-3),b（0，-3）

8、,-3=a（0-1）（0-3）,a= -1,y= -(x-1)(x-3),（3）图象经过a（1，0）、b（0，-3），且对称轴是直线x=2,1,a,b,-3,c,3,4、求满足下列条件的抛物线的解析式：,经过点a（2，4），b（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2,解： b（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2,抛物线与x轴的另一个交点坐标为c（-3，0）或c（1，0）,设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（x- x2）,当抛物线经过b、c两点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）,又抛物线经过a（2，4）,4=a（2+1）（2+3）,当抛物线经过b、c 两点时，解析式为y=a（x+1）（x

9、-1）解法同(1),b,-1,- 3,1,c,c,a=,y= （x+1）（x+3）,例2：,已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。,（1）关于x轴作轴对称变换,（2）关于y轴作轴对称变换,（-1，-2）,（-1，2）,(-1,-2),(1,-2),已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。,熟能生巧,（1）关于x轴作轴对称变换,（2）关于y轴作轴对称变换,已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。,（1）关于顶点中心对称,（2）关于原点中心对称,函数y=a(x+m)2+k 若关于顶点对称

10、，则变为y=-a(x+m)2+k 若关于原点对称，则变为y=-a(x-m)2-k,例3：,(1,-4),(1,-4),(-1,4),(1,-4),练习1、 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴x=_,顶点坐标:_,当x=_时,y有最_值是_,函数值y0时,对应x的取值范围是_,函数值y0时,对应x的取值范围是_,函数值y=0时,对应x的取值范围是_,当x_时,y随x的增大而增大.,-1,(-1,-2),-1,小,-2,-3x1,x1,-3或1,-1,练一练：,抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 b2-4ac的符号：,x,y,o,练一练：,已知：二次函数y=ax

11、2+bx+c的图象如图所示，则点m（ ，a）在（ ）,a、第一象限 b、第二象限 c、第三象限 d、第四象限,x,o,y,d,练习2、已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所 示,下列结论a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正确的结论的 个数是（ ） a 1个 b 2个 c 3个 d 4个,m,n,d,已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ ）,练一练：,（a）,（b）,（c）,（d）,c,(-1,0),(3,0),(0,-3),数形结合,（1）a 0，b 0， c 0.,（4）对称轴：直线x = 1,（5）顶点坐标（1，

12、-4）,（6）当x = 1时， y有最小值,（7）当x1，y 随 x 增大而增大； 当x1 ，y 随 x 增大而减小.,（2）,1、在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得图象的解析式为 a b c d,（ b ）,检测你掌握了多少,a,b,2、若a（ ），b（ ），c（ ）为二次函数 的图象上的三点，则 的大小关系是 ( ),a,b,c,d,b,领略图象法的魅力,数形结合转化思想,当x为何值时，y1 y2 ？,x1或x3,利用图象法 求一元二次方程x= 2x +3的近似解.,你会吗？,根据你的图象，求当x取何值时， x 2x+3,你知道 的解的个数吗

13、？,4,将抛物线y=x2向下平移后,使它的顶点c与它在x轴上的两个交点a,b组成等边三角形abc,求此抛物线的解析式.,5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.,6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴上的点a, 所得的抛物线与y轴交于点b,且线段oa,ob满足关系oa-1 =ob,试说明平移方法.,练习一：一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么？如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点： （1）点a，（2）点b，（3）抛物

14、线的顶点c得的函数解析式相同吗？请试一试。哪种取法求得的函数解析式最简单？,练习2、已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且mn,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点a(m,0),b(0,n) (1)求这个抛物线的解析式 (2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为c，抛物线的顶点为d,试求出点c,d的坐标和三角形bcd的面积,提高拓展,已知抛物线yax2bxc与y轴交于点a(0,3),与x轴分别交于b(1,0),c(5,0)两点 （1）求此抛物线的解析式 （2）若点d为线段oa的一个三等份点，求直线dc的解析式 （3）若一个动点p自oa的中点m出发，先到达x轴上的某点（设为点e）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点f）,最后运动到点a,求使点p运动的总路径最短的点e,f的坐标，并求出这个最短路径长,3、（07.烟台）如