大一微积分期末试卷及答案

1、;.微积分期末试卷选择题（ 6）1.设 f ( x) 2cosx , g (x) (1)sin x 在区间（ 0， ）内（）。22 f ( x)是增函数， g ( x)是减函数bf ( x)是减函数， g( x)是增函数c二者都是增函数d 二者都是减函数、 x时， 2x与相比是（）20ecosxsin x高阶无穷小低阶无穷小等价无穷小同阶但不等价无价小1、 =是函数 =（ -sinx) x的（）连续点可去间断点跳跃间断点无穷型间断点、下列数列有极限并且极限为的选项为（）a x n(1)n1b x nsin nn2c x n1n(a1)d x ncos1an5、若 f ( x)在 x 0处取得最

2、大值，则必有（） f of o(x 0 )b (x 0 )cf 且f( x0 )bc( )15 fffft三、计算题11 用洛必达法则求极限lim x2 ex2x 0111ex222x 3 )ex(lim ex2解：原式 = limlim2x 3x 0 1x 0x0x22 若 f ( x)(x310)4 , 求 f(0)解：f (x)4( x310)3 3x212x2 (x3 10)3f (x)24x(x310) 312x23 (x310)23x224x( x310)3108x4 ( x310) 2f (x)043 求极限 lim(cos x) x2x 0;.;.4lim4 i n cosx解

3、：原式 =lim ex2 i ncos xx2ex 0x 01sin x)lim 4lim in cos x(tan xxin cosxlimcosxlimlim2x 0 x2x 0x2x 0xx 0xx 0x4222原式e 25x1的导数4 求 y (3x 1)3x2解： in y5 in 3x11 in x11 in x2322y 15311111y33x 12x2 x25x1511y (3x1)3x23x12(x1)2(x2)5 tan3 xdx解：原式 =tan2 x tan xdx（sec2 x 1) tan xdx=sec2 x tan xdxtan xdx=tan xd tan

4、xsin x dxcos x=tan xd tan x1d cos xcos x12=tan xin cosxc6 求x arctanxdx;.;.解：原式 = 1arctanxd( x2 )1 (x2 arctanx x2 d arctanx)22= 1 ( x2 arctanxx2121 dx)21 x= 1x2arctanx(1121 x2 )dx=1x2arctanxxc22四、证明题。1、 证明方程 x3x10 有且仅有一正实根。证明：设f ( x)x3x1且f ( x)在0,1上连续f (0) 1 0, f (1) 1 0,至少存在（0,1),使得 f ( ） 0即 f ( x)在

5、（01)，内至少有一根，即 f ( x)0在（0，）内至少有一实根假设f (x)在（ ，）有两不同实根 x1, x2, x2x100f (x)在 x2 , x2 上连续，在（ x2 , x2）内可导且 f ( x1 )f (x2 )0至少（x2 , x2）， s t f ( )0而 f ( ) 3 2 1 1与假设相矛盾方程 x3 x 1 0有且只有一个正实根2、 证明 arcsin xarccosx（ 1 x1）2证明：设 f (x)arcsin xarccosxf (x)110, x1,11x21 x2f (x)cf (0)arcsin0arccos02f (1)arcsin1arccos12f ( 1)arcsin(1)arccos(1)2综上所述， f ( x)arcsin xarccosx， x1,12;.;.五、应用题1、 描绘下列函数的图形yx21解： 1x,0)(0,+ ).dy=(-2.y=2x-12x31x2x2令y 得x3 102y 22x3令y 0,得1x3.4.补充点 ( 2,7179).(2,).(1,2).(2, )2225 lim f (x),f ( x)有铅直渐近线 x 0x 06 如图所示：;.;.2. 讨论函数f (x)x2inx 2的单调区间并求极值解： df (x)rf (x)2x22( x 1)(x 1)xx( x