高三数学教案：直线和平面垂直3

1、课题： 9 4 直线和平面垂直(三)教学目的：1掌握三垂线定理及其逆定理的证明2正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直教学重点： 三垂线定理及其逆定理的证明教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：三垂线定理和逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理借助于直线的射影，平面上垂直于斜线射影的直线， 则与斜线垂直； 相反，平面上的直线若垂直于斜线，则亦垂直干斜线的射影，这就是三垂线定理和逆定理的内容可见， 三垂线定理和逆定理有两方面作用一方面，把判定空间两直线垂直的问题转化为判定平面内两直线的

2、垂直问题；另一方面， 又把平面上判定两直线垂直问题转化为判定空间两直线垂直问题正是由于三垂线定理及逆定理是使空间两直线垂直与平面内两直线垂直相互转化的工具，它们在空间图形的计算和证明中有着广泛的应用因此它几乎成为高考立体几何中每年必考的内容，关于这部分内容的考查，主要是：（ l ）在复杂的空间图形中， 抽取出三垂线定理或逆定理所涉及的斜线、斜线在平面内的射影、平面内与射影（或斜线）垂直的直线；（ 2）正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直；（ 3）能利用三垂线定理或逆定理把空间两直线垂直问题与平面上西直线垂直问题相互转化；（ 4）利用三垂线定理或逆定理寻求直线与平面所成的角， 二面角的平面

3、角， 点到平面的距离等教学过程 ：一、复习引入：1 直线和平面的位置关系（ 1）直线在平面内a（无数个公共点） ；（ 2）直线和平面相交aa （有且只有一个公共点） ；（ 3）直线和平面平行a /（没有公共点）2 线面平行的判定定理： 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式： l, m,l / ml /lm3 线面平行的性质第 1 页共 7 页定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式： l /,l,ml / m4线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂

4、直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线 ，平面叫做直线的垂面 交点叫做 垂足直线与平面垂直简称线面垂直 ，记作： a 5 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面6 直线和平面垂直的性质定理 : 如果两条直线同垂直于一个平面 , 那麽这两条直线平行二、讲解新课：1三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直已知： po, pa 分别是平面的垂线和斜线，oa 是pa 在平面内的射影，a，且 aoap求证： apa ；o证明： poa poa ，又 a oa, po oa

5、 oa a 平面 poa ， a pa 说明：（ 1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；po, o（ 2）推理模式：paaapaa, aoa2三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直po,o推理模式： paaa ao a, aap注意：三垂线指pa， po， ao 都垂直 内的直线 a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑 a 的位置，并注意两定理交替使用三、讲解范例：例 1 已知：点 o 是abc 的垂心， po 平面 abc ，垂足为 o ，求证： pa bc p证明：点 o 是ab

6、c 的垂心， ad bc又 po平面 abc ，垂足为 o ，acod第 2 页共 7 页bpa平面 abca所以，由三垂线定理知，pabc 例 2 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知： bac在 内， p ， pe ab于 e， pf ac于 f 且 pe=pf，po求证： o在 bac的平分线上（即 bao= cao）p证明：连接oe， of po eo， fo分别为 pe， pf 在 上的射影 pe=pf oe=of pe ab， pf ac oe ab， of ac(三垂线定理的逆定理 ) o到 bac两边距离相等 o在 bac的

7、平分线上变式：ebaofc已知：bac 在平面内，点p, peab, pfac, po，垂足分别为e, f,o,pepf，求证：baocao 证明： pe ab,pf ac,po， aboe , acof （三垂线定理逆定理） pe pf , pa pa ， rt paert aof， ae af ，又 aoao ， rt aoert aof baocao apebofc推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线， 如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线例 3 在三棱锥 p-abc中，三条侧棱 pa， pb， pc两两垂直， h 是 abc的垂心求证：

8、ph 底面 abc abc是锐角三角形 .p证明： pa pb papc且 pb pc=p pa 侧面 pbc又 bc 平面 pbd pa bcac h 是 abc的垂心 ah bch pa ah=a bc 截面 pahe又 ph 平面 pah bc phb同理可证： ab ph又 ab bc=bph 面 abc设 ah与直线 bc的交点为 e，连接 pe由知 ph 底面 abc ae为 pe在平面 abc的射影由三垂线定理： pe bc pb pc即 bpc是直角三角形，bc为斜边第 3 页共 7 页 e 在 bc边上由于 ae bc，故 b c 都是锐角同理可证：a 也是锐角 abc为锐角

9、三角形四、课堂练习：1选择题（ 1）如图 bc 是 rt abc 的斜边，过 a 作 abc 所在平面 垂线 ap，连 pb、 pc，过 a 作 ad bc 于 d，连 pd ，那么图中直角三角形的个数是（）bpa（ a）4 个（ b） 6 个d（ c） 7 个（ d） 8 个（ 2）直线 a 与平面 斜交，则在平面内与直线 a 垂直的直线（ a）没有（ b）有一条（ c）有无数条（ d） 内所有直线答案：（ 1）d(2) c2填空题（ 1）边长为 a 的正六边形 abcdef 在平面内， pa ，pa=a，则离为， p 到 bc 的距离为.（ 2） ac 是平面 的斜线，且 ao=a， ao

10、 与 成 60o角，oc ， aa于 a， a oc=45o，则 a 到直线 oc 的距离是， aoc 的余弦值是.c）p 到 cd 的距a答案：（ 1） 2a,7 a ; （ 2）14 a,2244oa c3在正方体abcd - a1b1c1d 1 中，求证： a1c平面 bc1d .分析： a1c 在上底面abcd 的射影 ac bd,a1c 在右侧面的射影d1 c c1d,所以 a1c bd, a1c c1d, 从而有 a1c平面 bc1d.d1c1a1b1dc五、小结 ：三垂线定理及其逆定理的证明 用三垂线定理及其逆定理的应用六、课后作业：1. （ 1）下列命题中正确的是()ab两条异

11、面直线在同一平面内的射影必相交与一条直线成等角的两条直线必平行与一条直线都垂直的两直线必平行同时平行于一个平面的两直线必平行（ a）、；（ b）、；（ c）、；（ d）以上都不对（ 2）平面 过的重心，、c在 的同侧，a在 的另一侧，若、 、c到平abcba b面 的距离分别为a、b、 c，则 a、 b、 c 间的关系为 ()第 4 页共 7 页2a=b+c；（b） a=b+c；（ c）2a=3( b+c) ；（ d） 3a=2( b+c) （ 3）若斜线和平面所成的角为，此斜线与此平面内任一直线所成的角为，则（ a） ；（ b） = ；（ c） ；（ d） 与 的大小关系不确定（ 4）已知正

12、的边长为4 3 ，则到三个顶点的距离都为1 的平面有 ()abc31 个；（ b）3 个；（ c） 5 个；（ d） 7 个（ 5）若空间的两边分别与的两边互相垂直，则与的关系为( )相等；（ b）互补；（c）相等或互补； （ d）不确定答案： d ba c d2. （ 1） p 是 abc所在平面外一点， o是 p 点在平面 上的射影若 p 到 abc三边的距离相等，则o是 abc的心；若 p到 abc三个顶点的距离相等，则o是 abc的心；若 pa、 pb、 pc两两互相垂直，则o是 abc的心（ 2）已知 pa、pb、pc是从点 p 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60 ，则直线 p

13、c与平面 pab所成的角的余弦值为（ 3）已知直线a ，a平面，则直线b与平面 的位置关系是b（ 4） abcd，它们都在平面内，且相距28 ef ，且相距 15 ef ab，且相距 17则 ef和 cd间的距离为（ 5）已知 abc中， a，bc ，bc=6， bac=90 ，ab、ac与平面 分别成 30、45 的角则 bc到平面的距离为答案： 内 ，外 ，垂 3 b或 b 25 或 39 633如图， 已知 cd是异面直线 ca、db的公垂线， ca于 a，db 于 b， =ef求证： cd ef= 1bd证明 ：设、确定平面 ， ca于，cd caaaab1c ca aa又 ca cd

14、， ca、 cd、 aa 都在平面内，f11 1设、确定平面 ， =1同理有a1cd aacd dbbbacd bb1， bb1 cd aa1 aa1， bb1 e bb1， =ef， efcd4如图，已知 ao是四面体 abcd的高， m是 ao的中点，连结bm、 cm、 dm求证：bm、 cn、 dm两两垂直证明： 设正四面体的棱长为是高 , o是正三角形的中心aaobcd连结 od 则 od 23a3a 在rtaodao6om,=a, =323中 ,=322222在 rt mod中， dm=a 同理 cm=a， cm+dm=cd22 cm dm同理 bm cm， dm bm bm、 cm

15、、dm两两垂直6 a ；a6mbdoc第 5 页共 7 页5如图， pa、pb、pc两两垂直， pa=pb=pc，g是 pab的重心， e是 bc上的一点，且 be= 1 bc，f 是 pb上的一点， 且 pf= 1 pb求证：（ 1）gf 平面 pbc；（ 2）fe bc；33（ 3） ge是异面直线 pg与 bc的公垂线p证明：（ 1）连结 bg和 pg，并延长分别交 pa、 ab于 m和 d，f= 1= 1m在中，g是的重心，pbmpfpbpabmgbmgn33ac gf pm又 pa pb, pa pc， pa 平面 pbc，则 gf平面 pbcdq11bepb，（ 2）在 ec上取一

16、点 q使 cq=bc，连结 fq，又 pf=33 fq pc pb=pc， fb=fq be= 1 bc， e 是 bq的中点， fe bq，即 fe bc3（ 3）连结 ge gf 平面 pbc，由三垂线定理得ge bc于 e取 bf中点 n，连结 en，则 en fqpc pc 平面 pab， en 平面 pab连结 ng，那么 ng是 eg在平面 pab上的射影 在 rt pdb中， ng db， ng pd，由三垂线定理得 eg pd 于 g， ge是异面直线 pg与 bc的公垂线6如图，已知abcd是矩形， ab=a， ad=b，pa 平面 abcd， pa=2c， q是 pa的中点求（ 1） q到 bd的距离；（ 2） p 到平面 bqd的距离解：（ 1）在矩形 abcd中，作 ae bd于 e，连结 qe qa 平面 abcd，由三垂线定理得 qe be， qe的长是 q到 bd的距离在矩形 abcd中， ab=a， ad=b，pqhd =ab在rt中， = 1=，aaea 2b 2qaeqapa cbe2c qe=22c2a2b22 qaae2a b