高三数学教案：函数与方程思想

1、第十一专题函数与方程思想考情动态分析：本专题的内容主要是函数思想、方程思想及其应用. 函数的思想方法是用联系变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，通过研究函数的性质，得出所需的结论. 高考中有关函数思想的试题主要涉及四个方面：（ 1）具体的原始意义上的函数问题；（ 2）方程、不等式与函数的综合问题；（ 3）数列这一特殊的函数；利用辅助函数解题.方程的思想方法，就是设出未知数 . 根据题中各量间的关系，列出等式，沟通未知与已知的关系，从而使问题得以解决 . 高考中有关方程的试题单独命题较少，主要有以下几个方面：（ 1）方程、函数、不等式的综合题； （ 2）求曲线的方程； （ 3）数列中方程

2、思想的应用 .对函数与方程思想的考查，集中体现在应用题、探索性问题，主要考查学生的阅读能力、应用能力、理解能力、表达能力及信息加工处理能力，命题集中体现在在知识交汇点处命制综合性问题 .第一课时函数思想与方程思想一、考点核心整合函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决. 函数思想的实质是剔除问题的非数学特征，用联系的观点提出数学抽象，抽象其数学特征，建立函数关系.方程的思想就是如果变量间的关系是通过解析式表示出来的，则可以把解析式看作一个方程，通过对方程的讨论使问题得到解决.函数思想、方程思想体现了一种解

3、决数学问题的理念建“模”意识. 所谓“模”就是一个问题的载体，是联系已知、 未知的桥梁， 建“模” 后的第二个步骤是解析 “模”，从而真正将实际问题化为数学问题，数学因此也成为探索大自然奥秘的工具.二、典例精讲：例 1已知函数 f (x) 的定义域为 a1,2,3 ，值域为 b 1,2 ，则这样的函数共有_个.例 2设平面内两向量a 与 b 互相垂直，且 | a | 2, | b | 1，又 k 与 t 是两个不同时为0 的实数 .（）若 xa(t 23)b 与 yka t b垂直，求 k 关于 t 的函数关系式kf (t ) ；（）试确定kf (t ) 的单调区间 .例 3已知函数 f (

4、x)x1log 2 ( x1) log 2 ( px) .log 21x（）求 f (x) 的定义域；（）求 f (x) 的值域 .例 4二次函数 f ( x)px 2qxr 中实数满足pqr0 ，其p、q、rm2m 1m中 m0 ，求证：（） pf ( m )0 ；（）方程 f ( x)0在 (0,1) 内恒有解 .m1三、提高训练：（一）选择题：第 1页共4页1当 0x时，函数 f ( x)1cos2x8sin 2 x）的最小值为（2sin 2xa 、 2b 、 2 3c、 4d、 4 32设 b0，二次函数 y ax 2bxa 21 的图象为下列之一，则a 的值为（）yyyy11oox

5、11 xox（1）（2）（ 3）ox（ 4）3设 f ( x)3ax12a 在 (1,1) 上存在 x0 ，使 f ( x0 )0 ，则实数 a 的取值范围是 （）a 、 a15b 、 a1c、 a1 或 a1 d 、 a 1552224设 p(x, y)是椭圆 x4y4 上的一个动点， 定点 m (1,0) ，则 | pm | 的最大值是（）a 、23b 、 1c、 3d、 95设函数 f (x) 是定义在 r 上的以 3 为周期的奇函数， 若 f (1)1, f (2)2a3 ，则（）a1a 、 a2b 、 a2 且 a 1c、 a2 或 a1d、1 a23333（二）填空题：6 函数 f

6、 ( x)1 2x4x k 在 (,1 上的图象总在x 轴上方，则实数k 的取值范围是 _ .7方程 cos2 sin x a 0 在 (0,) 上有解，那么实数 a 的取值范围是 _ .2（三）解答题：8 已知函数 f ( x)0,x0.n x(n1) f (n1), n1xn( ) 求 f (n)(nn ) ；（ ） s(a)( a0) 表 示 由 x 轴 、 yf ( x) 与 xa 所 围 成 的 图 形 的 面 积 ， 求s(n) s( n 1)(nn) .9 对 a 的哪些值，函数yx1 的值域包含 0,1 ？ax10设函数 f (x) 的定义域为 d ，若存在 x0d ，使得 y

7、0f ( x0 ) x0 ，则称以 ( x0 , y0 )为坐标的点为函数图象上的不动点.（）若函数 f ( x)3xaa、b满足的x的图象上有两个关于原点对称的不动点，求b条件；（）在（） 的条件下， 若 a8，记函数 f (x) 图象上的两个不动点分别为a、a/ , p为函数 f ( x) 的图象上的另一点，且其纵坐标y p3 ，求点 p 到直线 aa /距离的最小值第 2页共4页及取得最小值时点p 的坐标；（）命题“若定义在r 上的奇函数f ( x) 的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明.第二课时函数与方程的转化思

8、想及应用一、考点核心整合函数式可以看作是方程，某些方程又可以看作是函数关系，在解决有关问题时，函数、方程、不等式常常相互转化 .实际问题数学问题代数问题方程问题，其中代数问题多是函数问题，哪里有公式，哪里就有方程，函数的研究离不开方程，不等式与方程也有着内在的联系，方程的研究以函数为基础. 函数与方程思想的应用主要表现在应用题、探索题和信息题等方面 .二、典例精讲：例 1 已知函数 f ( x) xsin x ，若 x1、x2 , ，且 f ( x1 )f ( x2 ) ，则下列结论中必成立的是（）22a 、 x1x2b 、 x1x20c、 x1x2d 、 | x1 | | x2 |例 2已

9、知 二 次 函 数 f (x) ax 2bx c 和 一 次 函 数 g (x)bx ， 其 中a b c,a b c 0(a、b、c r) .（）求证：两函数的图象交于不同两点a、b；（）求线段 ab 在 x 轴上的射影 a1 b1 的长的取值范围 .例 3 若抛物线 yx2mx1和两端点为 a( 0,3)、b(3,0) 的线段有两个不同的交点，求 m 的取值范围 .例 4 已知方程 x2axa0在(0,1 上有解，求实数a 的取值范围 .三、提高训练：（一）选择题：1函数 y1 x ( x 0) 的反函数的图象大致是（）yxyyo 1x1 o xo1xo 1abcdyx2已知函数ysin(

10、 x) cos(x) ，则下列判断正确的是（）1212a 、此函数的最小正周期为2b 、此函数的最小正周期为c、此函数的最小正周期为2，其图象的一个对称中心是(,0)12，其图象的一个对称中心是(,0)12，其图象的一个对称中心是(,0)6第 3页共4页d 、此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是(,0)3设 a、b、c分别是方程 2 x6x0, log 2x 2, log 1 xx 的实数根，则（）2a 、 a b cb 、 ba cc、 b c ad 、 c a b4下列函数中既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（）a 、 f ( x)sin xb、 f (x)| x1 |c、

11、f ( x)1 (a xax )d 、 f ( x)ln 2x22x5若 ( x1y 2 )( y1x2 )0 ，则 a xy 的最小值与最大值分别是（）a 、 1,2b 、2,1c、1,2d 、2,2（二）填空题：6 方程 lg(x 23xm)lg(3x)0 在 0,3 上有唯一解，则m 的取值范围是_ .7 关于函数 f ( x)lg x 21 ( x0, xr) ，有以下命题：函数yf ( x) 的图象关| x |于 y 轴对称； 当 x0 时， f ( x) 是增函数， 当 x0时， f (x) 是减函数； 函数 f (x)的最小值是 lg 2 ；当 x1 时， f (x) 没有反函数 . 其中正确的命题是 _.（注：把你认为正确命题的序号都填上）（三）解答题：8 已知 x、y , ， ar且 x3 3sin x2a 0a，求 cos( xy) 的值 .4 44 ysin y cos y029 甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1min 走