知名机构高中讲义[201180108][高三数学一轮复习][第1讲集合与简易逻辑]情景导入

1、第 1 讲集合与简易逻辑( 第一种方式 )（1）事例 : 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。 ”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道： “哎，不该走的又走了。 ”李四听了大怒，拂袖而去。你能用逻辑学原理解释这两人离去的原因吗？这就是我们本章将要学习的简易逻辑。（2）逻辑悖论：逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言的，如果在一个公理系统中既可以证明公式a 又可以证明 a 的否定元a,则我们说在这个公理系统中含有一个悖论， 因为这时a 和 a在系统中是

2、可证等价的。最著名的逻辑悖论是伯特纳德罗素提出的理发师悖论1 。一个男理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。( 第二种方式 )（3） 10 大著名的悖论：那理发师可以给自己刮脸么？如果他不给自己刮脸，给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于他就属于 “不给自己刮脸的人”，他就要“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。伯特纳德 罗素提出这个悖论，为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如， 所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果， 所以它必然是此集合自身的元素。 现在来考虑一个由一切不是它

3、本身的元素的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗？无论你作何回答，你都自相矛盾。同时，罗素的这个悖论的提出引发了第三次数学危机。说谎者悖论一个克里特人说：“我说这句话时正在说慌。”然后这个克里特人问听众他上面说的是真话还是假话？这个悖论出自公元前六世纪希腊的克里特人伊壁孟德， 使得希腊人大伤脑筋， 连西方的圣经新约也引用过这一悖论。对克里特人 “我说这句话时正在说慌”不可判其真亦不可判其伪。柏拉图与苏格拉底悖论柏拉图调侃他的老师：“苏格拉底老师下面的话是假话。”苏格拉底回答说：“柏拉图上面的话是对的。”不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。鸡蛋的悖论先有鸡还是先有蛋？书名的悖论美国数

4、学家缪灵写了一部标题为 这本书的书名是什么 的书，问： 缪灵的这本书的书名是什么？印度父女悖论女儿在卡片上写道：“今日下午三时之前，您将写一个不字在此卡片上。”随即女儿要求父父亲是写 “是 ”还是写 “不 ”？蠕虫悖论一只蠕虫从一米长的橡皮绳的一端以每秒1 厘米的速度爬向另一端，橡皮绳同时均匀地以每秒 1 米的速度向同方向延伸，蠕虫会爬到另一端吗？蠕虫每前进1 厘米，同时绳子的另一端却拉远 1 米，近不抵疏，怕是永远爬不到头了。现算算看：第 1 秒，蠕虫爬了绳子的 1 100（意为 100 分之 1，下同），第 2 秒，蠕虫爬了绳子的 1/200 ，-，第 n 秒，蠕虫爬了绳子的1/n100，

5、前 2 的 k 次方秒，蠕虫爬的总路程占绳子全长的比例为1/100 （ 1+1/2+1/3+ -+1/2的 k 次方）而1+1/2+1/3+ -+1/2的 k 次方=（ 1+1/2 ） +（1/3+1/4 ） +（ 1/5+1/6+1/7+1/8） +-（+ 1/ 2 的 k-1 次方+1 1/ 2 的 k-1方 +2 -1/2的 k次方）1+1/2+（ 1/4+1/4）+（ 1/8+1/8+1/8+1/8）+-（1/2的 k 次方+1/2的 k 次方+-+1/2的 k 次方）共有2 的k-1次方项=1+1/2+1/2+ -+1/2=1+k/2共有2 的k 次方项当 k=198 时， 1+k/

6、2=100 ，于是 1/100 （ 1+1/2+1/4+ -+1/2 的 198 次方） 1所以不超过2 的 198 次方秒，蠕虫爬到了绳子的另一端。这一悖论是直觉骗人所致。（注：我没有书写数学符号的工具，所以这里的“/是”指分号，2的 k 次方是指2 的k次方幂，如2 的3 次方是指2 的3次幂等于8）龟兔赛跑悖论龟对兔说： “你不要想追上我，我现在在你的前方1 米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1 厘米到c1 点，等你追到c1 点时，我已爬到距你1/100厘米的c2 点，如此下去，你总在cn 点，我却在你的前方cn+1 点。 ”兔子当然不服，可又说不过乌龟。

7、实际上比赛起来，用不了1 秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。请读者替兔子辩护一下。（和上面的计算差不多）语言悖论n 是用不超过25 个自然字不能定义的最小正整数。数一数上述n 定义中的自然字只有23 个，没有超过25 个，即用不超过25 个自然字定义了n，与 n 是用不超过25 个自然字不能定义相矛盾。这个悖论的发生是因为，用自然字定义时的字数如何确定无严格界定的标准，另外什么叫 “不能定义 ”也含义模糊。选举悖论a、 b、 c 竞选，民意测验表明：有2/3的选民愿选a 而不愿选b，有2/3的选民愿选b而不愿选c。于是a 说： “根据2/3的选民保我而反b， 2/3的选民保b 而反c，说明我优于b

8、， b 优于c，所以我优于c，从而我最优，应该选我。”c不服说道：“那2/3保 a 反b 之外的 1/3 选民反 a 而保 c，那 2/3 保 b 而反 c 的选民之外 1/3 的选民反 a 而保 c，则形成 2/3 的选民保 c 而反 a，按你的逻辑，我亦优于你，你优于 b，我 c 最优，应选我。 ”b接着说：“按你们的说法，b 优于 c， c 优于 a，则 b 优于 a，即我亦最优，应该选我。”这种民意测验能说明什么呢？这个悖论最初出自肯尼思阿洛之手，肯尼思阿洛于 1972 年获诺贝尔经济学奖，1951 年他给出民主选举的所谓选举公理，以求得选举的公平合理，避免发生独裁者从中操纵选举的可恶问题。后来，他证明出一条定理，指出不存在满足阿洛（arrow）公理的十全十美的民主选举。秃头悖论一位已经谢顶的老教授与他的学生争论他是否为秃头问题。教授：我是秃头吗？学生：您的头顶上已经没有多少头发，确实应该说是。教授：你秀发稠密，绝对不算秃头，问你，如果你头上脱落了一根头发之后，能说变成了秃头了吗？学生：我减少一根头发之后，当然不会变成秃头。教授：好了，总结我们的讨论，得出下面的命题：如果一个人不是秃头，那么他