第四章平面问题的极坐标解答4 5后作业2

1、THEORY OF ELASTICITY弹性力学第四章平面问题的极坐标解答 补充材料潘夏辉讲师补充材料2：欧拉方程的解法在本章第5 讲研究平面轴对称应力问题时，我们看到，Airy 应力函数F 与极角j 无关，仅仅只是极径r 的一元函数，对于该特定问题，Laplace 算子成为1 d r d d21 d =+dr2r dr=r dr dr 2从而相容方程可写作dF 1 d 1dd = 0 r22 F =rdr r dr dr r dr 当时我们推荐的解法是，通过逐次积分求出应力函数F(r) 的表达式。其实，还有另外一种更为一般的解法。2补充材料2：欧拉方程的解法相容方程写作d2d21d1d22F

2、 = + +F = 0r dr dr 2dr2r dr 将其展开，化为d 4F + 2 d3F -1d2F +r2dr21dF = 0r dr 3r 3drdr 4左右两边同乘 r4 ，得到d4F +2r3 dr4d3F dr3d2F dr2dF- r+ r= 0 dr2r4这是一种特殊的变系数线性常微分方程，称为欧拉方程。3补充材料2：欧拉方程的解法欧拉方程的一般形式如下：n-1xy + pny = 0xny (n) + p1xn-1y(n-1)其中y = f(x) 为待求的未知函数，p1、p2 pn为已知常数。在第四章的后续各讲中，我们还会碰到欧拉方程，因此，作为补充材料，我们来介绍两种它

3、的求解方法。 第一种方法：常规解法，即变量代换法x = et,t = ln x 第二种方法：特殊解法，设解具有幂函数形式，即y = xk4+ p补充材料2：欧拉方程的解法n-1xy + pny = 0xny(n ) + p1xn-1y(n-1)t = ln x常规解法：变量代换法，令 x = et ,dD =那么dtdy = dy dt1 dyxy = Dy=dxdtdxxdt1 d2y - dy d2yx 2y = D(D - 1)y=dt 2dt dx 2x 2= 1 d3y - 3 d2y + 2 dy d3yx 3y= D(D - 1)(D - 2)ydt3xky(k )dt dx 3

4、x 3dt21)(D - k + 1)y5= D(D -+ p补充材料2：欧拉方程的解法1)(D -n-1Dy + pny = 0这样，变系数的欧拉方程就化成了以 t 为自变量的常系数的常微分方程，按特征根方法求解后，将结果中的t 换为lnx，即得原方程的解。变量代换法思路清晰，但是运算量通常比较大。下面介绍一种特殊的有效解法：设欧拉方程的解具有幂函数形式，即y = xk+ pn-1xy + pny = 0xny(n ) + p1xn-1y(n-1)消去公因子 xk后，得到如下特征方程1)(k - n + 1)+ p11)(k - n + 2) + pn-1k + pn= 06k(k -k(k

5、 -n +1)y + pD(D -补充材料2：欧拉方程的解法1)(k - n + 1) + p11)(k -0n-1k + pn=k1,k2, kn1) 当它们是互不相等的实根时，欧拉方程的通解具有幂函数形式y = C1xk1 + C2xk2 +nxkn2) 当出现实重根时，每多一重根，就多乘一个对数因子lnx 。 例如，当 k1为 m ( n ) 重根时，通解为y = C 1xk1 + C 2xk1 ln x + + Cmxk1 (ln x )m-1+ Cm +1xkm +1+ + Cnxkn7+Cn + 2)+ pk(k -k(k -补充材料2：欧拉方程的解法1)(k - n + 1) +

6、 p11)(k -0n-1k + pn=k1,k2, kn3) 若出现共轭复根，则和虚部对应的是三角函数因子，例如，当k1,2= aib 时，通解为y = C1x a cos(b ln x) + C2x a sin(b ln x) + C 3xk3 +nxkn4) 若出现复重根，则实部要多乘对数因子lnx 。例如，当 k1,2 为m ( n/2 )重共轭复根时，通解为+Cmx a(ln x)m-1 cos(b ln x)y = C1x a +C2x a ln x +C2mx a(ln x)m-1 sin(b ln x)+Cm+1xa +Cm+2x a ln x +C2m+1xk2m+1+Cnx

7、kn8+Cn + 2)+ pk(k -k(k -补充材料2：欧拉方程的解法 例1：试求解平面轴对称应力问题的相容方程r4F(4)+ 2r3F - r2F + rF = 0解：这是一个欧拉方程，设 F = rk ，得到如下特征方程k(k - 1)(k - 2)(k - 3) + 2k(k - 1)(k - 2) - k(k - 1) + k = 0不要乘开，提出公因式，做因式分解，上式化为k 2(k - 2)2 = 0它有两个重根= 0,= 2 ，从而题给微分方程的通解为k1,2k3,4F(r) = C1r0 +C2r0 ln r +C3r2 +C 4r2 ln r还可以写作F(r) = A ln r + Br2 ln r +C r2 + D.9补充材料2：欧拉方程的解法 例2：试求解如下的变系数线性常微分方程r4f (4)(r) + 2r3f (r)- 9r2f (r) + 9rf (r) = 0解：这是一个欧拉方程，设 f (r) = rk ，得到如下特征方程k(k - 1)(k - 2)(k - 3) + 2k(k - 1)(k - 2) - 9k(k - 1) + 9k提出公因式，做因式分解，上式化为k(k - 4)(k - 2)(k + 2) = 0= 0k1 = 4, k2 =