线性代数作业答案

第1页共65页第一章行列式11二阶、三阶行列式一、计算下列行列式1、22COSINCOSIN1I2、20ABA3、401945二、解方程1、043X解计算行列式得，因此2430X1,3X2、10X解计算行列式得，得，因此3102X1360X1,2X12N阶行列式定义及性质一、计算下列行列式1、25725701003493492、314525250016016第2页共65页3、110342284、350529516165、将第2、3、4列乘以1加到第一列得243082482319036、将第2、3、4行全部加到第1行51将第1行乘以1加到第2、3、4行8815150482二、计算下列行列式1、第1行加到第2、3行1ABCEDABCDFFF1020214ABCEFCEFABCDEF第3页共65页2、按第1列展开0XY400XYXYXY3、按第4行展开XY040XYY4、按第1行展开432110ABBA2213131423142340BAABAB1423BAB5、第1列乘以1加到第2、3、4列22222231DDCC第2列乘以1加到第3、4列25213AABBCCDD2201ABCD第4页共65页计算下列N阶行列式1、按第1列展开ABBA001100NNNABAB2、将第2、3、N行全部加到第1行011第1行乘以1加到以下各行10110NN110NN3、范德蒙行列式1212131NNN231223N第5页共65页4、已知，计算和6217543421A43421A解412313404040412567167676A将上式设为1D，此式设为，可直接计算此行列式结果为3，也可按以下412432345671AA2D方法来做题目中的原行列式设为D由行列式的性质得122341234123412345675675675670DD则2123三、解下列方程1、0432XX解第1行乘以1加到2、3、4行，得123400X第6页共65页将1、2、3列加到第4列得12300X将第2、3行交换，1、4行交换后得上三角形行列式，因此，因此，0X0X12、9432X解此行列式是范德蒙行列式，得3230X因此，X33、23232311154804540XXX解由行列式的加法则，2323114848050XX再相加，此行列式为范德蒙行列式23148097X得11230X因此,23X14克莱姆法则一、解线性方程组第7页共65页1、12349XYZ解1321D，1234924139312D解得,XYZ2、013221X解5D，1213021310D32150D解得123,1XX二、求一个二次多项式使得,F21,3,20FFF解设，201FXAX，解得01213FAF012A三、已知线性方程组只有零解，求的取值范围0XYZ第8页共65页解系数行列式为，因此321101,2四、设线性方程组有非零解，则应取何值若线性方程组的右端变为02ZYX2，3，2，则为何值时，新的线性方程组有唯一解解系数行列式为2121则当时方程组有非零解；1,2若线性方程组的右端变为2，3，2，则当时方程组有唯一解1,2第9页共65页第二章矩阵21矩阵定义及其运算一、填空题1、设为三阶方阵，且，则A4A214说明22312、的充分必要条件是2BABAAB二、选择题1、设都是阶矩阵，则的充分必要条件是（C）,N22ABCABBADAI0BBA2、设都是阶矩阵，则（C）,ABCDABA3、设为阶矩阵，若，则等于（C）CBA,NB,ABABCDC说明由题意知矩阵与不能交换，因此只有（C）正确4、设都是阶对称矩阵，则下面四个结论中不正确的是（B）,NA也是对称矩阵ABB也是对称矩阵CM为正整数也是对称矩阵MD也是对称矩阵T理由，因此（B）错误ABA三、设,为二阶单位阵，满足,求21IIBA2解由得，即，两边取行列式得2II，而，因此2BAI1I2第10页共65页四、1、已知，求3201A120B312CCBA23结果为594162、已知，求23A210B22,ABA结果为16056433、已知，求，142A102BBA5TA结果为5168797974、计算，1,32A1,32B结果为0235、计算1,K0KI2311K10K五、设证明当且仅当,2IBA2A2BI证必要性，已知，即，则，得2214I22BII2BI充分性，已知，则，2I221144IA因此2A第11页共65页22逆矩阵一、填空题1、设为三阶方阵，且，则4，4，A2A1A14说明，1132431A2、设为矩阵，为矩阵，则8B3|,|2,B说明38A3、设为矩阵，则是可逆的充分必要条件N|0A4、已知，且可逆，则2I说明等式两边同时左乘15、为三阶方阵，其伴随阵为，已知，则A21132A67说明311111132322AA二、选择题1、若由必能推出其中为同阶方阵，则应满足条件（B）CAB,BC,（A）（B）（C）（D）00A0A0A2、设均为阶方阵，则必有（C）,N（A）（B）（C）（D）B11BA三、计算题1、判断下列矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵（1），可逆，432A123A（2），可逆，120B1351202、解矩阵方程第12页共65页3124321X解，13421424301173290X3、利用逆矩阵，解线性方程组2,1132X解系数矩阵为，则，102A1012A则12310231X四、设方阵满足方程证明和都可逆，并求他们的逆矩阵A042IAIAI3证23347I因此，和都可逆，且，I1II17IAI23初等变换与初等矩阵一、填空题20920811211第13页共65页说明由于，201I201I因此20820910111222二、选择题1、设为阶可逆矩阵，则（B）AN（A）若，则；CBA（B）总可以经过初等变换化为；I（C）对施行若干次初等变换，当变为时，相应地变为；IAI1A（D）以上都不对说明（B）为定理，正确；（A）少条件，若加上矩阵可逆，才能正确；B（C）将“初等变换”改为“初等行变换”才正确；2、设，12133A13123132AA01P则必有（C）102P（A）（B）（C）（D）2PA12BAP21BAP12利用初等变换求矩阵的逆矩阵1、，逆矩阵为12129第14页共65页2、，逆矩阵为103143563、，逆矩阵为12400214、，其中，0012NNAAA,32,10NIAI将最后1行调整到第1行12100010NNAA1210001NNA11211000000NNAAA三、已知，求3021A1A第15页共65页解由于，则，由，因此AI1A6101263A四、已知，求矩阵B22041I解法1由得，即，AA2IBA此式两边同时左乘，再右乘，得（1）1I11再由得，即，B22BI两边同时右乘，得，此式与（1）式结合得1AIA102II解法2将变形得BA，可得，0AB20IA两边加得，即，II2IBAI则，因此12II101II五、已知，其中，求矩阵AB2120AB解由得，即BIA因此，12I由，则，03AI1431256AI1962078BI第16页共65页六、设，为三阶可逆矩阵,求10AAPB12208AB解，则20104I208120811112081BPAPAPAPI因此，2082311I25矩阵的秩一、填空题1、在秩是的矩阵中，所有的阶子式都为0R1R2、设是矩阵，则3A543RA245678910BRAB说明可逆矩阵与其它矩阵相乘，不改变其它矩阵的秩3、从矩阵中划去一行得到矩阵，则的秩的关系为,RA4、设,秩，则3KA13K说明将2、3、4行加到第一行，再从第一行提出公因子1AK3K将第1行乘以1加到以下各行31K第17页共65页，3110031KK因此当或时，但时显然，因此14RA1RA3K5、设,秩，则15204132KAK说明123231231060501354205430KKKAK二、求下列矩阵的秩1、，10101325282836A3RA2、，0121110465046534430RA3、615021360164345292288784010，106164392198757821024RA三、设，1）求；2）求秩（要讨论）KAA第18页共65页解2111022KKKA则2KK当时，；13R当时，；2A当时，K四、讨论矩阵的秩23121解223313210854A230851当且、时，；1222RA其它情况，3RA第19页共65页第三章向量31向量的概念及其运算1、已知,求，及120,1TT，30,T，2123T23结果195142、已知,满足，求3,72,0123结果563、设，其中，1232351,3021,0，求0,结果7464、写出向量的线性组合，其1234,0,1,0,51,2,03中（1）234,KK（2）02结果1）2）1515475、已知向量组，18,3,23TT230问向量是否可以由向量线性表示若可以，写出其表达式；13,解设123KK即1238101可得方程组，用克拉默法则可得123K第20页共65页，13210D83190D218315D383561123956K则向量可以由向量线性表示，123,12395632线性相关与线性无关1、判断向量组的线性相关性，并说明原因1）2104,30，线性相关包含零向量的向量组都是线性相关的2）14,03线性无关两个向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例3）21,2，因此向量组线性无关19024）13,4,32线性相关5）10,1,3第21页共65页线性相关向量个数大于向量维数，必线性相关2、填空题1）设向量组线性相关，则212,1,0TT31,8TKK说明，则048K22）设向量组线性无关，则必满足关系式12,0ACB3,AB,ABC0ABC说明0B3）若维单位向量组可由向量组线性表示，则N12,N12,RRN说明书72页推论13、选择题1）向量组线性无关的充要条件是（C）12,N向量组中必有两个向量的分量对应不成比例A向量组中不含零向量B12,N向量组中任意一个向量都不能由其余的个向量线性表示C1N存在全为零的数，使得D12,NK12,KK2）设12,00,其中是任意实数，则（C）33442,51234,向量组总线性相关A1向量组总线性相关B234,向量组总线性无关C向量组总线性无关D1,4、已知向量组线性无关，证明231线性无关11,，证明设2231230KK即，由线性无关1231123,得，即，因此线性无关230K123K12123,，2线性相关121,，第22页共65页证法1设1223310KKK即，由线性无关323,得，当时方程组成立，因此线性相关1230K1230K1231,，证法2由，得线性相关12311231,，5、已知,T2,4T，35问向量能否由向量组唯一线性表示123,解设，即方程组1234345KK123453K系数行列式，D1621D0因此可由向量组唯一线性表示，23,1233向量组的秩1、填空题（1）若，则向量组是线性无关1234,R123,说明由知线性无关，线性无关的向量组减少向量个数还4,是线性无关（2）设向量组的秩为，向量组的秩为，且，则与的关系为I1RI2RI1R212R2、选择题（1）若向量组是向量组的极大线性无关组，则论断不正确的是12,R12,RN（B）可由线性表示AN12,R可由线性表示RN可由线性表示C,R可由线性表示DN12R（2）设维向量组的秩，则（B）,SR向量组线性无关A12向量组线性相关B,S存在一个向量可以由其余向量线性表示CIR第23页共65页任一向量都不能由其余向量线性表示D（3）若和都是向量组的极大线性无关组，则（C）12,RII12,TJJ12,NARNBTNCTD3、求下列向量组的秩（必须有解题过程）（1）23,0,0,解由，得向量组的秩为363（2）（要讨论）12,1TTA23,TA解2221001AA当，时秩为3；01当时秩为2；A当时秩为1；4、利用矩阵的初等变换求下列向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示（1）2,3,4,15,631,4,7解10419520950955367180为极大线性无关组，且12,3129（2）,2,4,0,34,7,1,252,10解03103175042024第24页共65页10321为极大线性无关组，124,3125125、已知向量组的秩为，1234,0,TTTTK31）求K2）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示解（1）231231235400004115866KKK，2309K（2）1321021030为极大线性无关组，123,41236、设维单位向量可由维向量组线性表出，证明向量组N12,N12,N线性无关12,证明由维单位向量可由维向量组线性表出，12,N12,N且维单位向量可由维向量组线性表出，因此这两个向量组等价，N由的秩为，因此的秩为，因此线性无关12,N12,N12,N7、设，证明线3,R323435123,性无关证明设，即1230KK1223130KKK则3123450由得，系数行列式123,R123K310245第25页共65页因此线性无关123,8、设，若各向量组的秩分别为,I1234,I1235,I，证明向量组的秩为4RR4证明反证法，假设向量组的秩小于4，12354,由知，线性无关，根据书69页定理5知可由线性表示，3I123,54123,设为，即（1）54KK5123KK再由，得线性相关，再由刚才定理知可由线性表示，RI1234,423,设为，代入（1）得415232312233KKKKK因此可由线性表示，则线性相关，与矛盾1,235,I4RI因此向量组的秩为4235434向量空间1、设问11,|0TNINVXXRX且211,|TNINVXXRX且是不是向量空间，为什么2，解是向量空间，不是向量空间（大家自己证明）122、向量在基，下的坐标是,0,1,01,13,2说明设方程，解之即可1232010KK3、略4、试证由生成的向量空间就是，并求的一组标准12,3,3R3正交基证由，则线性无关，01120,1,03,10，则为四个三维向量，必线性相关，且可由线性表示，因此，3R123,123,所生成的向量空间为12,3R由施密特正交化法第26页共65页，1012210,2132331310,223单位化得，为空间的一个标准正交基102616213133R第27页共65页第四章线性方程组1、填空题1）线性方程组无解，且，则应满足4；BAX3RA,AB线性方程组有解，且，则应满足32）设是方阵，线性方程组有非零解的充要条件是X0I说明由，得XA0I3）设元线性方程组有解，若，则的解空间维数为2N2RANX说明解空间的维数结果为R4）设为四元非齐次线性方程组，是的三个非零解向量，BAX3123,BA，则的通解为12,04,T321,0TBX1,0,02TTK说明由431知该方程组对应的齐次线性方程组的基础解系中应包括一个向量，而0是的一个解，因此齐次线性方程组的通解为，再由32,TAX32，以上二式相加除以2知，是的一个特解，因此的1AB12BABAX通解为1232K,0,0TTK5）若既是非齐次线性方程组的解，又是的解，则BAX32X43说明由是非齐次线性方程组的解，可知为非零向量，因此有非零解，20X则其系数行列式必为0，推出432、选择题1）若齐次线性方程组仅有零解，则（C）0231XKA4K或B4或C且D1K且2）线性方程组有唯一解的条件是（B）MNXB第28页共65页B,RABN只有零解CX、都不对D3）若方程组中，方程的个数少于未知量的个数，则（B）一定无解必有非零解BA仅有零解CX的解不能确定3、求下列齐次线性方程组的基础解系1）230X解11120方程组化为，设，解得，132X3X2X1基础解系为12）12340XX解12345方程组化为123405XX令，解得，34,012,令，解得，X4X基础解系为，41054、求方程组的特解12341XX解4550234第29页共65页方程组化为，令，得，12345XX240X312,X因此方程组的一个特解为1025、求下列线性方程组的通解1）23061X解20120201624方程组化为，设，得132X3XK，通解为2XK141XK1420K2）12344XX解12431243310750637524968196075161方程组化为23475XX选为自由未知量并令，注意此处特解的取法解得，于是该方程组的4X14X0,132XX第30页共65页一个特解为130其导出组的同解方程组为，选为自由未知量并令，解得056734241XX4X14X，于是导出组的一个基础解系为152,3,15623XX156312方程组通解为1503615K（3）四元线性方程组1240X解102B由知原方程组有无穷多组解4RA先求原方程组一个特解，选为自由未知量并令，得，于是该3,X0,43X1,2X方程组的一个特解为01在其导出组中选为自由未知量并令得，43,X,0143X021X第31页共65页令得，于是导出组的一个基础解系为,1043X12X,01,2故原方程组的通解为，其中为任意常数21K21,K6、综合题（1）已知三元非齐次线性方程组有特解，AXBT2,01T1,2，求方程组的通解T0,31RA解因为为三元方程组而，所以的基础解系中含有两个解向量，由解的BX10性质，均是的解，显然它们线性无关，可以20,23121AX构成的一个基础解系0A由解的结构知的通解为，其中为任意常数BX13121KKX21,K即1203XK（2）取何值时，齐次线性方程组有非零解并求出一般解21320X解因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解由012可得，所以当时原方程组有非零解1当时，原方程组变为，选为自由未知量并令并令得，0321X32,X,0132X，得1X,032X1于是方程组的一个基础解系为,01,12第32页共65页通解为，其中为任意常数21KX21,K（3）取何值时，齐次线性方程组有非零解并求出其通解0342821XX解因为所给方程组是含三个方程三个未知量的齐次方程组，故可以利用克拉默法则，当系数行列式为0时方程组有非零解由013142282可得或时原方程组有非零解13当时，原方程组系数矩阵为，选为自由未知量，04231412733X取，得，方程组的一个基础解系为13X,021X,1通解为，其中为任意常数01XKK当时，原方程组系数矩阵为，3012340831614253选为自由未知量，取，得，方程组的一个基础解系为3X23X,21X,2通解为，其中为任意常数12XKK（4）讨论当取何值时方程组无解有唯一解有无穷多解在有无K2321KXX穷多解的情况下求出其通解第33页共65页解322213013KKKKB213413023KK当，即，时，原方程组无解BRA02K当，即，时，原方程组有唯一解3412,1K当，即，或者时，原方程组有无2BRA032KK2穷多解当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的1K01B3X中令得导出组的一个基础解系03B13X,12,10在中令得一个特解031B3X,12,1于是方程组的通解为，其中为任意常数KK当时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的2K001341B3X中令得导出组的一个基础解系031B3X,12,13第34页共65页在中令得一个特解0013421B03X,3102,0312于是方程组的通解为，其中为任意常数KK（5）已知线性方程组问方程组何时无解何时有唯一解何时有无穷多解12349AXB在有无穷多解的情况下求出其通解解AABAABBAB3410034106029134A401当，即，或时，原方程组无解BRA03B43,1BA当，即，时，原方程组有唯一解A0,当，即，且时，原方程组有无穷多解324B1A43B当且时，原方程组中，选为自由未知量，在对应的1A4B03B3X中令得导出组的一个基础解系013B13X,012,10第35页共65页在中令得一个特解0413B3X,4021,04于是方程组的通解为，其中为任意常数KK（6）若是方程组的基础解系，证明也是该方程组123,XAX132312,XX的基础解系A证明由于，同理可以验证也是的0231312132,0AX解，由题设知的一个基础解系中含3个解向量，下面只需证明0X是线性无关的,231X213,设02132XKXKK整理得3213由于线性无关，故有123,X0213K又系数行列式，故01D0321K从而线性无关，是方程组的一个基础解系,231X23,XAX（7）设方程组证明此方程组对任意实数都有解，并且3432121784BXX321,B求它的一切解证明3123214017438BBB3217841B由于，故对任意实数原方程组都有解3BRA,第36页共65页对，选为自由未知量，在对应的32178401BB4X中令得，导出组的一个基础解系为08404X20331,1203在中令得，原方程组的一个特32178401BB04X4725313321321B解,04725313321B于是方程组的通解为，其中为任意常数KXK（8）设是（）的两个不同的解，的一个非零解，证明若12与MNAXB0AX是，则向量组线性相关R12,证明因为，所以的基础解系中只含有一个解向量由解的性质，是的非零解，又题设中是的非零解，显然它们线性相关，即存在不全210AX0AX为零的数满足，1,K21K整理得，从而向量组线性相关212,第37页共65页第五章矩阵的特征值与矩阵的对角化51矩阵的特征值与特征向量1、填空题1矩阵的非零特征值是31A2阶单位阵的全部特征值为1，全部特征向量为全体N维非零实向量NI3已知三阶方阵的特征值为，则的特征值为,241A1,24的特征值为，的特征值为，的特征值为23AI6,3T,A8,424已知为二阶方阵，且，则的特征值为0，1A22、选择题1设是阶矩阵，若，则的特征值（C）N0全是零全不是零AB至少有一个是零C可以是任意数D2若是阶矩阵是可逆阵，则的特征值（B）NA全是零全不是零至少有一个是零可以是任意数3设2是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值等于（B）A123AA34BC21D44若为阶方阵，则以下结论中成立的是（D）N的特征向量即为方程组的全部解向量；IAX的特征向量的任一线性组合仍为的特征向量；与有相同的特征向量；CAT若可逆，则的对应于特征值的特征向量也是的对应于特征值的特征向量DA1A15与阶矩阵有相同特征值矩阵为DNKB1C2T3、求下列矩阵的全部特征值及特征向量1）51A解特征方程为03第38页共65页特征植为241，当时，对应齐次方程组为，基础解系1015AI021X为，对应的特征向量，其中为非零常数KX当时，对应齐次方程组为，基础解系为21015AI0521X，对应的特征向量，其中为非零常数5KX2）01A解特征方程为0321120AI特征植为3,21，当时，对应齐次方程组为0101210AI，基础解系，对应特征向量，其中为非零常数0231X2KX当时，对应齐次方程组为，20110AI0321X基础解系，对应特征向量，其中为非零常数01KX当时，对应齐次方程组为，基础3201210AI0321X第39页共65页解系，对应特征向量，其中为非零常数1KX3）042A解特征方程为0212043AI特征植为31对，对应齐次方程组为，基础解系20024AI021X，对应特征向量，其中为不全为零的常数01221KX21,K4）5312A解特征方程为012017532013532AI特征植为32对，对应齐次方程组为，基础解101105AI0321X系，对应特征向量，其中为非零常数1KX4、设为三阶方阵，且，其中是的伴随矩阵，求的特征值和特征向量AABB解由于，故INAI第40页共65页的特征植为BAAN,21，又，对应方程组为，可选一个基础解系为基本单位向量组0III0OX，故的特征向量为，其中为不全为N,21NKKX21NK,21零的常数52相似矩阵、矩阵的对角化1、填空题1若四阶方阵与相似，矩阵的特征值为，为四阶单位矩阵，则24ABA1,234IBI说明由与相似，则的特征值也为，的特征值为，为全B2,143部特征值的乘积，因此为242若矩阵相似于矩阵，则101ABRI说明，由于与均可逆，则1BIPIAIP1RBIAI2、选择题1阶方阵具有个互不同的特征值是相似于对角矩阵的（B）NAN充分必要条件充分而非必要条件B必要而非充分条件C即非充分也非必要条件D2阶方阵相似于对角矩阵的充要条件是有个（C）NAAN相同的特征值互不相同的特征值B线性无关的特征向量两两正交的特征向量3设三阶矩阵的特征值分别是，其对应的特征向量分别是A1230,设，则（A）123,231,PPA0B0C21D124若，都是阶矩阵，且可逆，相似于，则下列说法错误的是CABNAB相似于TT第41页共65页相似于B1A1B相似于C三者中有一个不正确D3、设三阶方阵的特征值为,21）12设，求的特征值及其相似对角阵，并说明理由325BAIB由于，故211P14035231PIAP即，所以的特征值为0，4，11401BB37255IA4、判断下列矩阵是否相似1）与0213321解特征方程为0301AI特征值为,2,13故可对角化，2）与021A22解特征方程为0201AI特征值为2321对，系数矩阵，秩为2，说明只有一个线性无关的特0XAI01A征向量，故它不可对角化，不相似与所给的对角矩阵第42页共65页3）与21A303解特征方程为021302122AI特征值为3,021对，系数矩阵，秩为1，说明有两个线性无关的特征向量，故3XAI10A它可对角化，相似与所给的对角矩阵5、判断下列矩阵能否对角化若能，则求可逆矩阵，使为对角矩阵P11）31762A解特征方程为024326170061573AI特征值为2,4321对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无关的0XAI061A特征向量，故它不可对角化2）13564A解特征方程为0426330146531AI特征值为2,4321第43页共65页对，系数矩阵，秩为1，说明有两02XAI0163A个线性无关的特征向量，故它可对角化对此齐次方程组取一个基础解系1102对，系数矩阵，秩为2，说明有一个04XAI0210639A线性无关的特征向量，取一个基础解系213取，有10,321P421AP3）284A解特征方程为012840132AI特征值为,231对，系数矩阵，秩为2，说明此时只有一个线性无0XAI3102841A关的特征向量，故它不可对角化6、设阶方阵的特征值为，它们对应的特征向量依次为3123,，123,PP求A解由于有3个互不相同的特征值，故它可对角化第44页共65页取，有21,321PP101AP从而06910A53实对称矩阵的对角化1、填空题1）任一方阵的属于不同特征值的特征向量必线性无关（填向量之间的关系）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交（填向量之间的关系）2）为三阶实对称矩阵，是矩阵的重特征值，则齐次线性方程组的基A3A3IAX础解系包含3个解向量2、设，求正交矩阵，使得124PA1解特征方程为0541242AI特征值为5,31对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基05XAI021421础解系021，系数矩阵，对应的齐次方程组取4XAI01245248一个基础解系213第45页共65页正交化，021112245,213单位化，0215,114521213取，有12342351,2031P4051AP3、设，求120A20B12,解由于相似矩阵有相同的行列式和迹，故2100解方程组得1,214、设A0B1求、2求正交矩阵，使得PBA1解1由于相似矩阵有相同的特征值，的特征值为0，1，2从而有,0,0AII第46页共65页即，解得0202AI02此时，10，其一个基础解系00A10，其一个基础解系101I02，其一个基础解系02AI13单位化，1201032，有210,321P2011AP5、设，求（为正整数）12AK解特征方程为0142122AI特征值为,4321第47页共65页对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个0XAI011基础解系012，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个4XAI01221基础解系13，有，故10,321P4011AP140PA从而11404PPAK2123101KKKKKKKP6、设为阶非零矩阵，若存在正整数，使，称为幂零矩阵证明AN0A1）幂零矩阵的特征值全为零2）不能相似于对角矩阵证明证明1）设为幂零矩阵，有特征值，即，X0，XAXAKKKK111又，带入上式得，即，又，只有0000K从而2）反证法假设相似于对角矩阵，由于相似矩阵有相同的特征值，故为零矩阵，BB且存在可逆矩阵满足，有，与题设为非零矩阵矛盾，假设PA1011PA错误不能相似于对角矩阵A第48页共65页第六章二次型62化二次型为标准型一、填空题1、二次型的矩阵是2121321,XXXF012、二次型的矩阵是，该二次型的秩是321321,XXF3264X323、二次型的秩为213221321,XXXF说明2231232XX对应矩阵为，该矩阵行列式为0，秩为214、矩阵为二次型的二次型矩阵A301T23212XTX若该二次型的秩是,则12T说明令，求得二、选择题二次型的矩阵是D2121321,XXXFAB0CD1201说明本二次型是三元二次型，因此排除A、B，又由于C不是对称矩阵，排除，因此选D三、设二次型21321321,XXXF（1）写出其矩阵表达式；（2）用正交变换将其化为标准形，并写出所用的正交变换第49页共65页解（1）3213210,XX（2）特征方程为03130212AI特征值为,21对，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个03XAI0101基础解系012，系数矩阵，对应的齐次方程组取一个基XAI021201础解系013由于相互正交，只需对它们单位化321,单位化，012,111020123取，作正交变换，即012,321PPYX233121YX则将化为标准形PYXF2321YF四、用配方法将下列二次型化为标准型，写出所做的实可逆线性变换并指出原二次型的秩（1）23213217,XXF3231216X第50页共65页解3232323232132167,XXXXXF462332321令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性12323YX12323XY变换，这个线性变换将化为标准形F2321YF该二次型是一个秩为3的二次型（2）23212145,XXXF3124X解2383323219令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，12323YX123235XY这个线性变换将化为标准形F23219YF该二次型是一个秩为3的二次型（3）232121,XXXF3214X33232215令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这12233YX12323XY个线性变换将化为标准形F23215YYF该二次型是一个秩为3的二次型（4）321232184,XXXF解23322144X第51页共65页令，显然它是一个可逆变换，它的逆变换也是可逆线性变换，这12233YX12323XY个线性变换将化为标准形F23214YYF该二次型是一个秩为3的二次型（5）321213216,XXXF解令2123YX323121210,YYF32332145令，它的逆变换，带入13235ZY1233YZ1223XY得，这个线性变换将化为标准形1232364XZF23214ZZF该二次型是一个秩为3的二次型五、设二次型经过正交变换化为232121,XXF31321XBAQYX标准形，求常数3YBA,解，该二次型的矩阵为，321321,XXF31BAA它可经过正交变换化为标准形，故0，1，2是矩阵的三个特QYX23YFA征值从而有02,0IAI即，解得0202BAAIBA六、