关于逆矩阵求法的讨论【毕业论文（设计）】

南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）（一三届）题目关于逆矩阵求法的讨论院（系、部）数学科学与应用学院专业数学与应用数学姓名张利明学号08090231指导教师肖艳艳南京师范大学泰州学院教务处制摘要为了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法。主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。关键字逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵ABSTRACTINTHEAIMOFEXTRACTINGTHEINVERSEOFTHEMATRIXMORECONVENIENTLY,THISPAPERINTRODUCESSEVERALMETHODSOFEXTRACTINGTHEINVERSEMATRIXACCORDINGTOTHEDIFFERENTFEATURESOFTHEMATRIXITMAINLYINCLUDSTHEDEFINITIONMETHOD,THEADJOINTMATRIXMETHOD,THEELEMENTARYOPERATIONMETHOD,THEPARTITIONEDMATRIXMETHODANDTHEMETHODOFSOLVINGTHEEQUATIONSSOMEOFTHESEMETHODSAREBRIEFLYDEMONSTRATEDINTHEPAPERKEYWORDSINVERSEMATRIXPARTITIONEDMATRIXELEMENTARYOPERATIONADJOINTMATRIX目录1绪论311研究意义312国内外研究现状313本文主要解决的问题42矩阵的基础知识421矩阵的定义及性质4211矩阵的定义4212矩阵的性质522逆矩阵的定义与性质6221逆矩阵的定义6222逆矩阵的性质73逆矩阵的求法731用定义求逆矩阵732用伴随矩阵求逆矩阵833用初等变换求逆矩阵9331初等行变换9332初等列变换9333混合采用初等行、列变换1034用分块矩阵求逆矩阵1235用解方程组求逆矩阵12结论14谢辞15参考文献161绪论矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的主要研究对象之一，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了。18世纪中期，数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，即二次型的化简。在这一问题的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论。1748年，瑞士数学家欧拉LEULER，17071783在将三个变数的二次型化为标准形时，隐含地给出了特征方程的概念。1773年，法国数学家拉格朗日JLLAGRANGE，17361813在讨论齐次多项式时引入了线性变换。1801年德国数学家高斯CFGAUSS，1777一1855在算术研究中，将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广，给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。另外，高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。11研究意义矩阵理论是线性代数的一个重要内容，也是处理实际问题的重要工具，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。比如逆矩阵可以用来解线性方程组。逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值以及它的伴随矩阵，当其阶数较高时，它的计算量是很大的，此时用伴随矩阵法求逆矩阵通常是不方便的。为了更便捷地求矩阵的逆，本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法，这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题。同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础。12国内外研究现状矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位，逆矩阵的应用也相当广泛。可以说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到逆矩阵。随着逆矩阵研究的深入，其应用的范围越来越广，在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要用逆矩阵来解决。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，系统识别问题和网络问题等领域，逆矩阵更是不可缺少的研究工具。13本文主要解决的问题本文先对矩阵及其逆矩阵从定理、性质等方面进行了总结，然后介绍了逆矩阵的几种常用的求解方法，主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法。从而对矩阵有了进一步的理解，有助于解决在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域遇到的相关问题。2矩阵的基础知识21矩阵的定义及性质211矩阵的定义由个数排列成个行个列的数表NMIJA1,2,MJNMNMNMAAA2114称为矩阵，其中数称为矩阵的元NIJA,JI当时，称为阶矩阵或方阵A元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作或简记为NMO两个矩阵，如果，则称矩阵与为同型矩NMIJATSIJBBSTAB阵如果两个同型矩阵与的对应元素相等，即，IJAIJIJIJAB，则称矩阵与相等，记作或11,2I1,2JNABNMIJNIJ当时，矩阵称为行矩阵或行向量M,21NA当时，矩阵称为列矩阵或列向量1NMBA21形如NAA021的阶方阵，即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵，记作N1212,NNDIAGA特别当时，这时的对角矩阵叫做阶数量矩阵N21当时，这时的数量矩阵叫做阶单位矩阵，记作或，在1AANEI阶数不致混淆时，简记为或，即EI10N主对角线下方的元素都是零的方阵NNAA02211叫做上三角矩阵主对角线上方的元素都是零的方阵NNAA2110叫做下三角矩阵2212矩阵的性质性质1矩阵的加法运算具有以下运算规律加法交换律；1AB加法的结合律；2C，3OA其中，都是矩阵BCNM性质2矩阵数乘运算满足以下运算规律；1KL；AK，3LL其中，都是矩阵，为任意实数BNMKL性质3矩阵乘法满足的运算规律和性质结合律；1BCA分配律，；2BCA数与乘法的结合律；3KK当，均为阶方阵时，有；4ABNB；5T36,MIRR性质4矩阵乘法不满足交换律例1已知，求和01A01BAB解，B0122逆矩阵的定义与性质221逆矩阵的定义定义设为阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得成立，那么矩阵ANNBIA称为可逆矩阵，此时矩阵称为的逆矩阵，简称为矩阵的逆如果的逆矩阵不ABAA存在，那么称为不可逆矩阵的逆矩阵记作，即如果，那么1I1B222逆矩阵的性质性质1如果矩阵可逆的，那么的逆矩阵是唯一的AA证明设，都是的逆矩阵，那么有，BCCIBACIB所以的逆矩阵是唯一的A性质2如果可逆，那么可逆，且11性质3如果可逆，数，那么可逆，且0A11性质4如果可逆，那么可逆，且ATTT1性质5如果，都是阶可逆矩阵，那么可逆，且BNB11AB证明因为IAI111A1所以可逆，且4AB1B3逆矩阵的求法31用定义求逆矩阵设是一个阶矩阵，如果存在阶矩阵，使，则称矩阵是可逆ANNABIA矩阵，并称是的逆矩阵5B例2已知阶矩阵满足，证明可逆，并求出它的逆矩阵I221I证由，得，则，即02IA043IAI043IAI且，由定义可知，可逆且IA34224123412IAI32用伴随矩阵求逆矩阵设是阶矩阵，称矩阵称为的伴随矩阵，记作，其中AN121212NNNAAA是中元素的代数余子式，即IJIJA121212NNNAA定理阶矩阵可逆的充要条件是，且在可逆时，NA01A这种求逆矩阵的方法称为伴随矩阵法该法主要用于逆矩阵或伴随矩阵的理论推导上，但对于阶数较低（一般不超过3）或元素的代数余子书式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵使用伴随矩阵法求逆矩阵时，应注意以下几点准确地算出注意的第行元素依次是矩阵的第列元素的代数余子式1AIAI是的代数余子式，不是余子式，且，因此计算时千万不要2IJIJAIJIIJM1遗漏代数符号JI此定理不仅给出了方阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式6例3判定矩阵是否可逆，若可逆，求321A1A解因为，所以可逆，又04，211130216242323143A3A所以2130246011A33用初等变换求逆矩阵331初等行变换由阶矩阵，作一个矩阵，如果此矩阵可以经过初等行变换化为NAN2,IA，那么矩阵可逆，此时即可为换句话说，当可逆时，BI,B1A）（初等行变换1,II例4用初等行变换求逆矩阵的逆矩阵3120A解,IA1031200122015231213013210332104，故32104511A3245332初等列变换类似地，如果阶矩阵可逆，则作一个的矩阵，然后对此矩阵施以初NAN2IA等列变换，使矩阵化为单位矩阵，此时可化为，即II171A初等列变换例5用初等列变换求矩阵的逆矩阵1024A解IA1012401424201323103210，所以321013210321011A23013333混合采用初等行、列变换设可逆，则对施行一系列的行、列初等变换把变成即存在初等矩阵，AAI1S，使，则2SM1T2NTTSNM21MAS2112NM1221TAMN令，IT21ISSTSA1所以，对施行一系列行、列初等变换把变成，此时同样的初等列变换把单位矩I阵变成，而同样的初等行变换把单位矩阵变成，则于是构造一个1IT2ISTSA1矩阵N2OOIAIA12任意行、列初等变换对TS1例6设，求0123A1A解12030132100001RAIO213132310600602311CR32320000332110000RC，31120301R12100,S,23T1123120102133ATS34用分块矩阵求逆矩阵在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，并视每一小块是矩阵的元素，按照矩阵的运算法则进行计算，二小块之间的运算同样是按矩阵的运算法则进行运算，由此可以求出一个矩阵的逆矩阵特别地，我们有，若为可逆矩阵，T且，则ABTCD811111BCADCABD例7求矩阵的逆矩阵，其中W524310解将矩阵分成四块，形如，其中，WABCD10243B，于是，即，且243C5D2411，利用公式，得21BA431CA124308613521W35用解方程组求逆矩阵根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍然是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，于是可以假设含有待定参数的逆矩阵的表达形式又由于，于是根据矩阵相等的定义可得与待IA1定参数有关的若干个方程，从而可以求得待定参数，此法常用于求上（下）三角矩阵的逆矩阵例8求的逆矩阵41203A解设，先求中主对角线下方的三个元素，4103421321XA1A21X，再求，最后求于是,32X431X4241IX412034031242131比较等式的两端，得到；解得，；01212X21X；解得，；30363；解得，；44241X4；解得，；0133X213X；解得，；0421203441XX4542X；解得，81于是，所求的逆矩阵941245810362A结论矩阵在我们生活中具有较强的应用性，因而备受人们的关注。而在解决矩阵问题时常常需要求矩阵的逆，因此总结出一套求矩阵逆的方法是必要的。在高等数学的内容中的矩阵是一个重要知识点，它对学习初等数学也有一定的指导作用。灵活巧妙地运用矩阵能高瞻远瞩，方便地解决初等数学与高等数学中的相关问题。能否熟练地应用就要看我们是否有运用它的意识，是否掌握其中的技巧，如果具备了这样的能力，就能将复杂问题简单化，进而提高解题速度，收到事半功倍的效果。事实上，如何应用矩阵去求逆矩阵，难点在于能否熟练的运用这些方法去求，此时既要考虑矩阵的形式，又要考虑所给的条件。此外，熟练掌握求逆矩阵的方法，有助于开阔眼界，培养散性思维。谢辞论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢肖艳艳老师，因为论文是在肖老师的悉心指导下完成的。肖老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。肖老师指引我的论文的写作的方向和架构，并对本论文初稿进行逐字批阅，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，他的严谨细致、一丝不苟的作风，将一直是我工作、学习中的榜样。肖老师要指导很多同学的论文，加上本来就有的教学任务，工作量之大可想而知，但在一次次的回稿中，精确到每一个字的批改给了我深刻的印象，使我在论文之外明白了做学问所应有的态度。论文的顺利完成，也离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写作中，各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文。另外，要感谢张晗，王明刚，夏慧明，许荣飞等老师四年的指导和帮助，这也是论文得以完成的基础。通过此次的论文，我学到了很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，在论文的写作过程中，通过查资料和搜集有关的文献，培养了自学能力和动手能力。并且由原先的被动的接受知识转换为主动的寻求知识，这可以说是学习方法上的一个很大的突破。在以往的传统的学习模式下，我们可能会记住很多的书本知识，但是通过毕业