【创新设计】2014高考数学一轮复习 第一章 集合训练 理 新人教a版

【创新设计】2014高考数学一轮复习第一章集合训练理新人教A版备考方向要明了考什么怎么考1集合的含义与表示1了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系2能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题2集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集2在具体情境中，了解全集与空集的含义3集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集2理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集3能使用韦恩VENN图表达集合间的基本关系及集合的基本运算1对集合的含义与表示的考查主要涉及集合中元素的互异性以及元素与集合之间的关系，考查利用所学的知识对集合的性质进行初步探究的基本逻辑能力如2012年全国T1，江西T1等2对于两个集合之间关系的考查主要涉及以下两个方面1判断给定两个集合之间的关系，主要是子集关系的判断如2011北京T12以不等式的求解为背景，利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围问题3集合的基本运算在高考命题中主要与简单不等式的求解、函数的定义域或值域的求法相结合考查集合的交、并、补运算，以补集与交集的基本运算为主，考查借助数轴或VENN图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力如2012北京T1、陕西T1、山东T1等归纳知识整合1元素与集合1集合元素的特性确定性、互异性、无序性2集合与元素的关系若A属于A，记作AA；若B不属于A，记作BA3集合的表示方法列举法、描述法、图示法4常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN或NZQR探究1集合AX|X20，BX|YX2，CY|YX2，DX，Y|YX2相同吗它们的元素分别是什么提示这4个集合互不相同，A是以方程X20的解为元素的集合，即A0；B是函数YX2的定义域，即BR；C是函数YX2的值域，即CY|Y0；D是抛物线YX2上的点组成的集合20与集合0是什么关系与集合呢提示00，或2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合A与集合B中的所有元素都相同AB且BAAB子集A中任意一个元素均为B中的元素AB或BA真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB或BA空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集ABB探究3对于集合A，B，若ABAB，则A，B有什么关系提示AB假设AB，则ABAB，与ABAB矛盾，故AB3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示ABAB若全集为U，则集合A的补集为UA图形表示意义X|XA，或XBX|XA，且XBUAX|XU，且XA探究4同一个集合在不同全集中的补集相同吗提示一般情况下不相同，如A0,1在全集B0,1,2中的补集为BA2，在全集D0,1,3中的补集为DA3自测牛刀小试12012山东高考已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则UAB为A1,2,4B2,3,4C0,2,4D0,2,3,4解析选C由题意知UA0,4，又B2,4，所以UAB0,2,42教材改编题已知集合AX|2X33，BX|X2，BA3已知集合M1，M2，M24，且5M，则M的值为A1或1B1或3C1或3D1，1或3解析选B51，M2，M24，M25或M245，即M3或M1当M3时，M1,5,13；当M1时，M1,3,5；当M1时M1,1,5不满足互异性M的值为3或14教材改编题已知集合A1,2，若AB1,2，则集合B有_个解析A1,2，AB1,2，BA，B，1，2，1,2答案45已知集合AX|A1XA1，BX|X25X40，若AB，则实数A的取值范围是_解析BX|X25X40X|X4，或X1，且AB，ERRORERROR即2Y，当Y1时，X可取2,3,4,5，有4个；Y2时，X可取3,4,5，有3个；Y3时，X可取4,5，有2个；Y4时，X可取5，有1个故共有123410个法二因为A中元素均为正整数，所以从A中任取两个元素作为X，Y，满足XY的X，Y即为集合B中的元素，故共有C10个2529AB，9A且9B，2A19或A29A5或A3当A5时，A4,9,25，B0，4，9，符合题意；当A3时，A4,5,9，B不满足集合中元素的互异性，故A3；当A3时，A4，7,9，B8,4,9，符合题意A5或A3答案1D25或3本例2中，将“9AB”改为“AB9”，其他条件不变，则实数A为何值解AB9，9A且9B，2A19或A29，即A5或A3当A5时，A4，9，25，B0，4，9，AB4，9，不满足题意，A5当A3时，A4，5，9，B2，2，9，不满足集合中元素的互异性，A3当A3时，A4，7，9，B8，4，9，AB9，符合题意，综上A3解决集合问题的一般思路1研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么2对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性11已知非空集合AXR|X2A1，则实数A的取值范围是_2已知集合AX|X22XA0，且1A，则实数A的取值范围是_解析1集合AXR|X2A1为非空集合，A10，即A121X|X22XA0，1X|X22XA0，即12A0，A1答案11，2，1集合间的基本关系例2已知集合AX|00，则AX|1A0时，若AB，如图，则ERROR即ERROR又A0，A2综上知，当AB时，A0时，若BA，如图，则ERROR即ERROR又A0，03，ABX|X3X|X232由AB得2A，解得A1，则B所以A，B，则1212121，121，12AB1，1，123依题意及韦恩图得，BUA5,6答案1D2D35,61集合的运算口诀集合运算的关键是明确概念集合的交、并、补运算口诀如下交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集2解决集合的混合运算的方法解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解32013南昌模拟已知全集UR，函数Y的定义域为1X24M，NX|LOG2X10的图象都关于直线YX对称1X3在解决以集合为背景的创新交汇问题时，应重点关注以下两点1认真阅读，准确提取信息，是解决此类问题的前提如本题应首先搞清集合A与B的性质，即不等式表示的点集2剥去集合的外表，将陌生转化为熟悉是解决此类问题的关键，如本题去掉集合的外表，将问题转化为求解不等式组表示的平面区域问题变式训练1已知AX，Y|Y|LNX|，B，则AB的子集个数为X，Y|X29Y241A3B4C2D8解析选BAB中元素的个数就是函数Y|LNX|的图象与椭圆1的交点个数，如图所示由图可知，函数图象和椭圆有两个X29Y24交点，即AB中有两个元素，故AB的子集有224个2设集合MY|Y|COS2XSIN2X|，XR，NERROR，则MN为A0,1B0,1C0,1D0,1解析选CY|COS2XSIN2X|COS2X|，且XR，Y0,1，M0,1在N中，XR且0X|11，BX|AX2，ABX|12，20时，BX|A0时，BX|A时，BX|12，当M时，BX|10，BX|X0BX|3B”是“A2B2”的必要条件；“|A|B|”是“A2B2”的充要条件；“AB”是“ACBC”的充要条件其中是真命题的是ABCD解析选BAB/A2B2，且A2B2/AB；故不正确；A2B2|A|B|，故正确；“AB”ACBC，且ACBCAB，故正确3命题“若FX是奇函数，则FX是奇函数”的否命题是A若FX是偶函数，则FX是偶函数B若FX不是奇函数，则FX不是奇函数C若FX是奇函数，则FX是奇函数D若FX不是奇函数，则FX不是奇函数解析选B原命题的否命题是既否定题设又否定结论，故“若FX是奇函数，则FX是奇函数”的否命题是B选项42012湖南高考命题“若，则TAN1”的逆否命题是4A若，则TAN1B若，则TAN144C若TAN1，则D若TAN1，则44解析选C命题“若，则TAN1”的逆否命题是“若TAN1，则4”452012天津高考设R，则“0”是“FXCOSXXR为偶函数”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析选A因为FX是偶函数K，KZ，所以“0”是“FX是偶函数”的充分而不必要条件四种命题及其真假判断例1在命题P的四种形式原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数记为FP，已知命题P“若两条直线L1A1XB1YC10，L2A2XB2YC20平行，则A1B2A2B10”那么FP等于A1B2C3D4自主解答原命题P显然是真命题，故其逆否命题也是真命题而其逆命题是若A1B2A2B10，则两条直线L1与L2平行，这是假命题，因为当A1B2A2B10时，还有可能L1与L2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故FP2答案B判断四种命题间的关系的方法1在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”2当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个或N个作为大前提1设原命题是“当C0时，若AB，则ACBC”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假解“当C0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是AB，结论是ACBC因此它的逆命题当C0时，若ACBC，则AB它是真命题；否命题当C0时，若AB，则ACBC它是真命题；逆否命题当C0时，若ACBC，则AB它是真命题充分条件、必要条件的判断例212012浙江高考设AR，则“A1”是“直线L1AX2Y10与直线L2XA1Y40平行”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2下面四个条件中，使AB成立的充分不必要的条件是AAB1BAB1CA2B2DA3B3自主解答1“直线L1AX2Y10与直线L2XA1Y40平行”的充要条件是由，解得A2或1A12A114故“A1”是“直线L1AX2Y10与直线L2XA1Y40平行”的充分不必要条件2AB1AB10AB，但A2，B1满足AB，但AB1，故A项正确或用排除法对于B，AB1不能推出AB，排除B；而A2B2不能推出AB，如A2，B1，2212，但2BA3B3，它们互为充要条件，排除D答案1A2A充分条件、必要条件的判断方法判断P是Q的什么条件，需要从两方面分析一是由条件P能否推得条件Q；二是由条件Q能否推得条件P2已知命题P函数FX|XA|在1，上是增函数，命题QFXAXA0且A1是减函数，则P是Q的A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析选A若命题P为真，则A1；若命题Q为真，则00的解集为Q，若P是Q1X1的充分不必要条件，则实数A的取值范围是A2，1B2，1C3,1D2，解析选A不等式0，解得X2或X0可以化为X1XA0，当A1时，解得X1或X1时，不等式X1XA0的解集是，1A，此时A0”是“方程MX2NY21的曲线是椭圆”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析选B当M0，但MX2NY21没有意义，不是椭圆；反之，若MX2NY21表示椭圆，则M0，N0，即MN03设集合AXR|X20，BXR|X0，则“XAB”是“XC”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析选C化简得AX|X2，BX|X2ABC，“XAB”是“XC”的充要条件一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分12013潍坊模拟命题“若ABC有一内角为，则ABC的三内角成等差数列”3的逆命题A与原命题同为假命题B与原命题的否命题同为假命题C与原命题的逆否命题同为假命题D与原命题同为真命题解析选D原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一内角为”，它是真命题32设集合MX|008XX24恒成立，则P是Q的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析选BFX在，内单调递增，则FX0在，上恒成立，即3X24XM0对任意X恒成立，故0，即M；M对任意X0恒成立，438XX24即X0时，MMAX，而2，故M2当P成立时Q不一定成立，8XX248XX248X4X824即P不是Q的充分条件，但如果P不成立，即MB，则A2B2”的否命题；“若XY0，则X，Y互为相反数”的逆命题；“若X22”的否命题；在ABC中，“A30”是“SINA”的充分不必要条件；12“函数FXTANX为奇函数”的充要条件是“KKZ”其中真命题的序号是_把真命题的序号都填上解析“XR，X2X10”的否定为“XR，X2X10”，是真命题；“若X2X60，则X2”的否命题是“若X2X630”是“SINA”的必要不充分条件，是假命题；“函数FXTANX12为奇函数”的充要条件是“KZ”，是假命题K2答案9已知XA，|X1|3，即M2答案2，第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词备考方向要明了考什么怎么考1了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2理解全称量词与存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定1新课标对三个逻辑联结词的要求虽然只是了解，但这三个逻辑联结词却是高考试题中的常客，多为选择题，其中，综合其他知识对含有这几个逻辑联结词的命题的判断问题成为高考命题的一个热点如2012年辽宁T4等2对全称量词与存在量词的考查，主要是结合其他知识点考查含有全称量词与存在量词的命题的判断，多为选择题或填空题，试题难度一般如2011年湖北T2等归纳知识整合1命题PQ、PQ、綈P的真假判定PQPQPQ綈P真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真探究1逻辑联结词“且”“或”“非”与集合运算中的“交”“并”“补”有什么关系提示“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“交”“并”“补”，因此，常常借助集合的“交”“并”“补”的意义来解答由“且”“或”“非”三个联结词构成的命题问题2全称量词和存在量词1全称量词有所有的，任意一个，任给，用符号“”表示；存在量词有存在一个，至少有一个，有些，用符号“”表示2含有全称量词的命题，叫做全称命题“对M中任意一个X，有PX成立”用符号简记为XM，PX3含有存在量词的命题，叫做特称命题“存在M中元素X0，使PX0成立”用符号简记为X0M，PX03含有一个量词的命题的否定命题命题的否定XM，PXX0M，綈PX0X0M，PX0XM，綈PX探究2全称命题特称命题的否定还是全称命题特称命题吗其真假性与原命题有什么关系提示不是全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性与原命题恰好相反自测牛刀小试1教材改编题下列命题是真命题的是27是3的倍数或27是9的倍数；27是3的倍数且27是9的倍数；平行四边形的对角线互相垂直且平分；平行四边形的对角线互相垂直或平分；1是方程X10的根，且是方程X25X40的根ABCD解析选C平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，故错误2命题P“已知00BXN，X120CX0R，LGX00；B项，XN，当X1时，X120与X120矛盾；C项，当X0时，LG11010，则A与B的夹角为锐角；命题Q若函数FX在，0及0，上都是减函数，则FX在，上是减函数下列说法中正确的是A“P或Q”是真命题B“P或Q”是假命题C綈P为假命题D綈Q为假命题解析选B当AB0时，A与B的夹角为锐角或零度角，命题P是假命题；命题Q是假命题，例如FXERROR综上可知，“P或Q”是假命题全称命题、特称命题的真假判断例21下列命题中，真命题是AX0，SINX0COSX020，2BX3，X22X1CX0R，XX0120DX，TANXSINX2，2已知A0，函数FXAX2BXC，若M满足关于X的方程2AXB0，则下列选项中的命题为假命题的是AX0R，FX0FMBX0R，FX0FMCXR，FXFMDXR，FXFM自主解答1对于选项A，SINXCOSXSIN，此命题不成立；2X42对于选项B，X22X1X122，当X3时，X1220，此命题成立；对于选项C，X2X120，X2X1对任意实数X都不成立，此命题不成立；X1234对于选项D，当X时，TANX0，命题显然不成立2，2A0，函数FXAX2BXC在X处取得最小值B2AFM是函数FX的最小值故C错误答案1B2C在本例2中，若将“A0”改为“A0，有LG2XLGX10CABC中，AB的充要条件是SINASINBD对任意R，函数YSIN2X都不是偶函数解析选D对于A，当0时，TAN0TANTAN，因此选项A是真命题；对于B，注意到LG2XLGX120，因此选项B是真命题；LGX123434对于C，在ABC中，ABAB2RSINA2RSINBSINASINB其中R是ABC的外接圆半径，因此选项C是真命题；对于D，注意到当时，YSIN2XCOS2X2是偶函数，因此选项D是假命题含有一个量词的命题的否定例3写出下列命题的否定，并判断其真假1PXR，X2X0；142Q所有的正方形都是矩形；3RX0R，X2X020；204S至少有一个实数X0，使X1030自主解答1綈PX0R，XX00，真命题4綈SXR，X310，假命题1对含有一个量词的命题进行否定的方法一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论2常见词语的否定形式正面词语是都是至少有一个至多有一个对任意XA使PX真否定词语不是不都是一个也没有至少有两个存在X0A，使PX0假3命题“能被5整除的数，末位是0”的否定是_解析省略了全称量词“任何一个”，否定为有些可以被5整除的数，末位不是0答案有些可以被5整除的数，末位不是0根据命题真假确定参数的取值范围例42013济宁模拟已知命题P关于X的方程X2AX40有实根；命题Q关于X的函数Y2X2AX4在3，上是增函数若P或Q是真命题，P且Q是假命题，则实数A的取值范围是A12，44，B12，44，C，124,4D12，自主解答命题P等价于A2160，即A4或A4；命题Q等价于3，即A12由P或Q是真命题，P且Q是假命题知，命题P和Q一真一假若PA4真Q假，则A0，且C1，设P函数YCX在R上单调递减；Q函数FXX22CX1在上为增函数，若“P且Q”为假，“P或Q”为真，求实数C的取12，值范围解函数YCX在R上单调递减，00且C1，綈PC1又FXX22CX1在上为增函数，C即Q00且12，1212C1，綈QC且C112又“P或Q”为真，“P且Q”为假，P真Q假或P假Q真当P真，Q假时，C|012且C1C|121C|0020CXR，X22X10DXR，X22X1SINX，则命题綈P2，2AX0，TANX0SINX02，2BX0，TANX0SINX02，2CX0，TANX0SINX02，2DX0，TANX0SINX0，22，解析选CX的否定为X0，的否定为，所以命题綈P为X0，TAN2，2X0SINX0一、选择题本大题共6小题，每小题5分，共30分12013长沙模拟设P、Q是两个命题，则“复合命题P或Q为真，P且Q为假”的充要条件是AP、Q中至少有一个为真BP、Q中至少有一个为假CP、Q中有且只有一个为真DP为真，Q为假解析选CP或Q为真P、Q中至少有一个为真；P且Q为假P、Q中至少有一个为假，“命题P或Q为真，P且Q为假”P与Q一真一假而由C选项“命题P或Q为真，P且Q为假”2下列四个命题中的真命题为AX0Z,10解析选D107432013揭阳模拟已知命题PX0R，COSX0；命题54QXR，X2X10，则下列结论正确的是A命题PQ是真命题B命题P綈Q是真命题C命题綈PQ是真命题D命题綈P綈Q是假命题解析选C命题P是假命题，命题Q是真命题，PQ是假命题，P綈Q是假命题，綈PQ是真命题，綈Q綈P是真命题4已知命题PX0，SINX0，则綈P为0，212AX，SINX0，212BX，SINX0，212CX0，SINX00，212DX0，SINX00，212解析选B依题意得，命题綈P应为X，SINX0，2125已知命题P抛物线Y2X2的准线方程为Y；命题Q若函数FX1为偶函12数，则FX关于X1对称则下列命题是真命题的是APQBP綈QC綈P綈QDPQ解析选D抛物线Y2X2，即X2Y的准线方程是Y；当函数FX1为偶函1218数时，函数FX1的图象关于直线X0对称，函数FX的图象关于直线X1对称注将函数FX的图象向左平移一个单位长度可得到函数FX1的图象，因此命题P是假命题，Q是真命题，PQ、P綈Q、綈P綈Q都是假命题，PQ是真命题62013南昌模拟下列命题正确的是A已知P0，则綈P01X11X1B在ABC中，角A、B、C的对边分别是A、B、C，则AB是COSA0，则綈P对任意的XR，X2X10D存在实数XR，使SINXCOSX成立2解析选B对于A，綈P应是X10，因此A不正确；对于B，在ABC中，ABABCOSA3”的否定是_解析全称命题的否定为特称命题，所以该命题的否定为X0R，|X02|X04|3答案X0R，|X02|X04|38命题P若A，BR，则AB0是A0的充分条件，命题Q函数Y的定义X3域是3，则“PQ”、“PQ”、“綈P”中是真命题的有_解析依题意P假，Q真，所以PQ，綈P为真答案PQ，綈P9若命题“XR，AX2AX20”是真命题，则实数A的取值范围是_解析当A0时，不等式显然成立；当A0时，由题意知ERROR得8A0解1綈QX0R，X0是5X120的根，真命题2綈R每一个素数都不是奇数，假命题3綈SXR，|X|0，假命题11已知命题PX1,2，X2A0，命题QX0R，X2AX02A0，若20“P且Q”为真命题，求实数A的取值范围解由“P且Q”为真命题，则P，Q都是真命题PX2A在1,2上恒成立，只需AX2MIN1，所以命题PA1；Q设FXX22AX2A，存在X0R使FX00，只需4A242A0，即A2A20A1或A2，所以命题QA1或A2由ERROR得A1或A2故实数A的取值范围是A1或A212已知命题P存在实数M，使方程X2MX10有两个不等的负根；命题Q存在实数M，使方程4X24M2X10无实根若“PQ”为真，“PQ”为假，求M的取值范围解存在实数M，使方程X2MX10有两个不等的负根，则ERROR解得M2，即M2时，P真存在实数M，使方程4X24M2X10无实根，则16M221616M24M30B存在X0R,2X00C对任意的XR,2X0D对任意的XR,2X0解析选D原命题的否定可写为“不存在X0R,2X00”其等价命题是“对任意的XR,2X0”3已知命题P1函数Y2X2X在R上为增函数，P2函数Y2X2X在R上为减函数则在命题Q1P1P2，Q2P1P2，Q3綈P1P2和Q4P1綈P2中，真命题是AQ1，Q3BQ2，Q3CQ1，Q4DQ2，Q4解析选CP1是真命题，则綈P1为假命题；P2是假命题，则綈P2为真命题所以Q1P1P2是真命题，Q2P1P2是假命题，Q3綈P1P2为假命题，Q4P1綈P2为真命题即真命题是Q1，Q44已知命题P方程X22AX2A0在1,1上有且仅有一解；命题Q存在实数X使不等式X22AX2A0成立若命题“PQ”是真命题，求A的取值范围解由X22AX2A0，得X2XA0，X2或XA又方程X22AX2A0在1,1上有且仅有一解，1A1存在实数X满足不等式X22AX2A0，4A28A0，解得A0或A2又命题“PQ”是真命题，命题P和命题Q都是真命题A的取值范围为A|1A0三法破解集合运算和充要条件判断的问题一、三法定乾坤谈集合运算问题的三种方法集合的基本运算主要包括交集、并集、补集，集合是历年高考的必考内容，解决集合的基本运算问题，首先要明确集合中元素的性质，通过解不等式求出每个集合，然后弄清几个集合之间的关系，最后利用列举法、借助数轴或VENN图等根据交集、并集、补集的定义进行基本运算，从而得出结果1列举法列举法就是通过枚举集合中所有的元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法此类方法适用于数集的有关运算以及集合的新定义运算问题其基本的解题步骤是例1设P，Q为两个非空实数集合，定义集