成考专升本高数(二)第一章笔记

第一章函数、极限和连续11函数一、主要内容函数的概念1函数的定义YFX,XD定义域DF,值域ZF2分段函数21DXGFY3隐函数FX,Y04反函数YFXXYF1YYF1X定理如果函数YFX,DFX,ZFY是严格单调增加或减少的；则它必定存在反函数YF1X,DF1Y,ZF1X且也是严格单调增加或减少的。函数的几何特性1函数的单调性YFX,XD,X1、X2D当X1X2时,若FX1FX2,则称FX在D内单调增加；若FX1FX2,则称FX在D内单调减少；若FX1FX2,则称FX在D内严格单调增加；若FX1FX2,则称FX在D内严格单调减少。2函数的奇偶性DF关于原点对称偶函数FXFX奇函数FXFX3函数的周期性周期函数FXTFX,X，周期T最小的正数4函数的有界性|FX|M,XA,B基本初等函数1常数函数YC，C为常数2幂函数YXN,N为实数3指数函数YAX,A0、A14对数函数YLOGAX,A0、A15三角函数YSINX,YCONXYTANX,YCOTXYSECX,YCSCX6反三角函数YARCSINX,YARCCONXYARCTANX,YARCCOTX复合函数和初等函数1复合函数YFU,UXYFX,XX2初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数。二、例题分析例1求下列函数的定义域212XXXF解对于有0解得12X2X对于有02的定义域XF,1,1,2XXF2LN解由得，解得X2LN10L1X由得0，2LX2的定义域XF,1,X例2设FX的定义域为（1，1）则FX1的定义域为A2,0,B1,1,C0,2,D0,2解1X112X0即FX1的定义域为X2,0应选A例3下列FX与GX是相同函数的为A,XF2XXGB，2XFXC，2LNFGLN2D，XXFLXXL21解A，,FD,0GDB，,F,02XXXF应选B0XXGC，,0,FD,0GDD，,0FD,0,GD例4求，3LOG2XYA1,A的反函数及其定义域。解，LXYA,，,3X,Y在3,内，函数是严格单调的32YAX反函数321XAXFY,YX例5设0,1,12XXXF则其反函数。1F解1,0,01,12YXXY在内是严格单调增加的0,1XF2YX又取0,1X21YX即211XXFY（应填）0,0Y21X例6设函数和是定义在1XF2XF同一区间上的两个偶函数，FD则为函数。21XFXF解设21XFFF21FFX21XFXFF是偶函数（应填“偶”）21FXF例7判断的奇偶性。1LN2XXXF解1LN2XXXFL2XX222111LNXXXX22221LN1LNXXXX12LN1L2XFXX为奇函数F例8设，XXFCOS则的周期为。F解法一设的周期为T,XFCOSCOSTXTXTXFFXTXCOSCOS而UU2，2T2T解法二XXFCOS2COSX2CSX2XF应填2T2例9指出函数那是由些简1SINLXXF单函数复合而成的解令，则1SINLXUUF，则SIVVULN，则1XWWVSI是由，FUFVLNSIN复合而成的。1XW例10已知,则等于XEGXF,3XGFA,B,C,DXE33X3XE3E解XEXGXF,3XXXEFGF33或（应选A）XXEXXF333例11已知XFXXF,1LN求的表达式。解XXF1LN解得XEX11X12极限一、主要内容极限的概念1数列的极限AYNNLIM称数列以常数A为极限NY或称数列收敛于AN定理若的极限存在必定有界NYNY2函数的极限当时，的极限XXFAXFAXFXXXLIMLIM当时，的极限0FAXFXLIM0左极限AXFXLIM0右极限FXLI0函数极限存的充要条件定理AXFXFAXFXXXLIMLIMLIM000无穷大量和无穷小量1无穷大量LIXF称在该变化过程中为无穷大量。FX再某个变化过程是指,XXX000,2无穷小量LIMXF称在该变化过程中为无穷小量。F3无穷大量与无穷小量的关系定理0,1LIM0LIMXFXFXF4无穷小量的比较0LI,0LI若,则称是比较高阶的无穷小量；0LIM若（C为常数），则称与同阶的无穷小量；LI若，则称与是等价的无穷小量，记作；1LIM若,则称是比较低阶的无穷小量。LI定理若；，2211则2121LIMLIM两面夹定理1数列极限存在的判定准则设（N1、2、3）NNNZXY且ANNNLIMLI则AXNNLI2函数极限存在的判定准则设对于点X0的某个邻域内的一切点（点X0除外）有XHXFXG且AXXLIMLIM00则AFXLI0极限的运算规则若BXVAXULIM,LIM则BAXVUXVLIMLILIXXULILIMLIMBAXVUXVULILI0LIMXV推论LI21XUXUUNLIMLIMLI21XUXNLILIXCXUCNNULILI两个重要极限1或1SINLIM0XX1SINLIM0XX2EXX1LIEXX10LI二、例题分析例1求数列的极限。45,32,解NNNY11LIMLI1NNN例2计算NN321LI解2131NNNN31LIM321LIM2NNN131LI2131LI221LIM2131NN误解NN321LIMNNNNN333231222LI3133231LIMLIMLILIM22NNNNNNNN0例3下列极限存在的是AB,LIM12XX,LIM21XXCD,LI12XX,LIXXE解AXXXX11LIMLIM2B11LIMLILI1122XXXXXXLILIMLIM11122XXXXXX不存在21LIXXC应选C0LIM12XXDXXELI0LIMLI1XEXXXE不存在XXELI例4当时，与是等价无穷小量，XXF1则。2LIMFX解XF1应填22LIM12LIM2LIMXXXF例5计算N1,2,3,2LINNN解NNN21321212320NN2,3,0421NNN4213210又0LIMN04LINN由两面夹定理可得02321LIM2LINNNNN02LINN例6计算下列极限32LIM43XX解4412432433LIM3LIXXXXXX01LIM424321XXXXX12LIM21XX解12LI21XX32LIM12LIM11XXXX2201LIXX解法一共轭法22202011LIM1LIMXXXXX2201LIXX22201LIMXXX21LI20X解法二变量替换法设TTXT2122当时，0X0TTTTXTX2LIM1LIM0220LI0TTXXX1LIM2解法一共轭法XXXXXXXX11LIM1LI2222XXXXXX1LI1LIM2222211LIM1LIM21121XXXX解法二变量替换法设当时，TX1X0TTTXTTX11LIM1LIM2102111LI11LI22220200TTTTTTT211LIM11LIM20220TTTTTTXX203SINLIM解法一XXXXX2202033SINLIM3SINLI0313LIM3SINLIM020XXXX解法二0SIN22XXXX20203LIM3ILIM33LI0XXX2ARCSINLIM0解设TXTSIN2ARCSIN21当时，0X0T2SINLIM2ARCSINLIM21000TXTX结论0ARCSINX20COS1LIMXX解法一XXXX2222SIN1COSSINCO2COSXX2SIN2COS12IX又02SINXX22020SINLIMCOS1LIM0XXXXX21LILI0220XXX解法二22SINCOS1XXXXXCOS1SLIMCOS1LIM20200211COS1LISINLI2020XXXX解法三应用罗必塔法则212SINLIMCOS1LIM0200XXXX0LIMAXXX解法一XXXXAXALIMLI1AAXXXXXAX221LIM21LIMAAXXXA2121LI2AXAXXXAX21LIM21LIM2AAAEE221解法二设ATXAXT当时，TATTXXTAALIMLIM1ATTTT221LIAATATTETTA2221LIM21LIM解法三XXXXXAA1LIMLIMAAAXAXAXXXAXXEX21LIMLI1LIM例7当时，若与为等价无穷小量，0X2AX42TNX则必有。解0TAN422XAXX1TANLIM2402XXX4240240222COS1SINLIMTANLIXXXXAX14COS1LILIM4024022AAXXXXX（应填）41A1结论0TNXX0ARCTNX例8若，则。211LIMEXKXK解211LIM1LIEKKXKXXKXX（应填）21K21例9已知，求的值。43LIM23XKXK解03LIM3XX432LI3XKX0LIM23KX2K由32LIM32LIM333XXKXKX41LI31LI33XXX当时，原式成立。K例10证明当时，与是等价0X1XEX无穷小量。证只要证明成立，即可。1LIM0XXE设TTLN当时，0X0TTEXTX1LNIM1LIM0001LN1LNIM10ETTX0XEX结论1XX0LNX13连续一、主要内容函数的连续性1函数在处连续在的邻域内有定义，0XXF01O0LIMLI0000XFXFYXX2OLI00FFX左连续LI00XFXFX右连续LIM00FFX2函数在处连续的必要条件0定理在处连续在处极限存在XF0XF03函数在处连续的充要条件0X定理LIMLIMLIM00000XFXFXFXFXFXXX4函数在上连续BA,在上每一点都连续。XF在端点和连续是指AB左端点右连续；LIMAFXFAX右端点左连续。LIBFFBXA0BX5函数的间断点若在处不连续，则为的间断点。XF00XF间断点有三种情况1O在处无定义；XF02O不存在；LIM0FX3O在处有定义，且存在，XF0LIM0XFX但。LIM00FXFX两类间断点的判断1O第一类间断点特点和都存在。LIM0XFXLIM0XFX可去间断点存在，但LI0FX，或在处无定义。LIM00XFFXXF02O第二类间断点特点和至少有一个为，LI0XFXLIM0XFX或振荡不存在。LIM0FX无穷间断点和至少有一个为LI0FXLIM0XFX函数在处连续的性质0X1连续函数的四则运算设，LIM00XFXFXLIM00XGXGX1OLI000XFXGFX2OLIM000XGXFXFX3OLIM000XGFXGFX0LIM0XGX2复合函数的连续性,XFYXUFYLIM,LIM0000XFUFXXXUX则LILI000XFXFXFXX3反函数的连续性,001XFYXFXFYLIMLIM011000YFYFXFXFYX函数在上连续的性质,BA1最大值与最小值定理在上连续在上一定存在最大值与XF,XF,BA最小值。YYMMFXFX0ABXMM0ABX2有界定理在上连续在上一定XF,BAXF,BA有界。3介值定理在上连续在内至少存在一点XF,BA,BA，使得，CF其中MCMYYMFXCFX0ABXM0A12BX推论在上连续，且与异号XF,BAAFBF在内至少存在一点，使得。,0F4初等函数的连续性初等函数在其定域区间内都是连续的。三、例题分析例1分段函数，021XEXFX在处是否连续0X解1210XF121LIMLIM00XXFXXLILI200XXXEF0LIMLIM00FFXFXX由函数连续的充要条件定理可知在处连续。XF例2设函数，试确定常数K的值，01SIN0SIN1XXKXXFXX使在定义域内连续。XF解的定义域为F,X当时，0X是初等函数，在有定义XFSIN10,不论K为何值，在内都是连续的。XF0,当时，0X是初等函数，在有定义1SINXF,0不论K为何值，在内都是连续的。F,0当时，0XKF1SINLIMLIM00XXFXX1SINLILI00XFXX（无穷小量乘以有界函数还等于无穷小量）只有当时，在处连续，1KF只有当时，在定义域内连续。X例3证明方程至少有一个根在1与2之间。013XX证设，F,X在上连续XF2,1313XF122XXF满足介值定理推论的条件。由定理可得X