大学数学竞赛-积分学

第三讲积分学一、不定积分1）原函数与不定积分的概念2）不定积分计算方法积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）例1计算。DX25解原式CX252321418注不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。例2证明若，则02BCA2122211COSSINSIUKDBUKDAXXX其中为待定系数，是方程不相等的实根，BA,21,0CBA。2,1,COSSINIKXBAUIII证明因为XC22OSIIIIIXBXASNSIIIIIIXACXA22COSOSNS1IIIIBBXA22N,1,COSSI122IUKIIII设（1）XBABXBAAXBASINCOSINSN2111则有，当取12,B时，（1）式恒成立，1212112,ABBABA因此有2122211COSSINSIUKDBUKDAXXXA二、定积分1）定积分的概念和性质2）微积分基本公式，其中AFBDXFBAXF3）定积分计算方法利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、AAXFXXF02、BABADFD3、如果关于直线对称，则有XFAAXFXF024、如果关于点对称，则有XF,ADXF5、是偶数是奇数NNXDNN213COSSI20206、2022SI4CSSIXDXDXANAN7、1100D例3计算阿桑积分，其中。2COSLNXA1A解因为，所以是连续函数，即01COS22AX2COSX一定存在。01LNDNIANIXA1202COSLLMCOSL122COSLNIMNIANIA1LI2NN（1）当时，A0COSL02DXA（2）当时，11LNIM1LN202NA。AANNL1LIL222注这里利用了复数开方公式得102SICONKNK12NIAIA4）反常积分（广义积分）反常函数审敛法（1）设在区间上连续，且，如果函数XF,0XF是在区间上的有界函数，则收敛；XADTFF,AAD（2）设在区间上连续，且，G,0AXFXG则有，收敛可得收敛；发散可得发散。AXFADXGAAF（3）设在区间上连续，,，则有CXGFXGFXLIM,0,如果，则有和同敛散；,CADFAXG如果，则有收敛可得收敛；0XDF如果，则有发散可得发散。CAGAX（4）如果收敛，则收敛（绝对收敛）。ADXFAXF例4判别下列反常积分敛散性（1）（2）024COSXD02COS1XD解（1）0124024COSNXD02412424COS1COSXNDXDNN4224204041TATAN1TA1NXDN因为收敛，所以。04N024COS（2）因为，发散，所以发散。1COS122XX021XD02COS1XD5）定积分的应用计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式。BADF三、重积分（二重积分、三重积分）1）重积分的概念和性质2）重积分的计算方法二重积分直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法DDDUVYXVUYXFDYXF,注意对称性的运用；三重积分投影法、切片法、球面坐标计算法、柱面坐标计算法、换元法DUVWZUZYXWVZVUYWVXFDXYZF,注意对称性的运用。3）重积分的应用曲面的面积为、物体质心、DYXFZ,DDXYZX221转动惯量、引力。四、两类曲线积分1）曲线积分的概念和性质2）曲线积分的计算法注意对称性的运用。3）格林公式设在上有连续偏导数，则有YXQP,DDDXYPD4）第二型曲线积分与路径无关五、两类曲面积分1）两类曲面积分的概念和性质2）两类曲面积分计算法注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。3）高斯公式和斯托克斯公式例5证明若在区间上有连续二阶导数，则XF1,0201LIM00FNKFDXFN证明因为在区间上连续，由最大值最小值定理，存在是在区XF1,CXF间上的最大值。利用泰勒公式有1,021NFKFNFKFKFFFFK其中在之间，因此我们有KN,11,2,10NK1021021042LIM4LIM2LINKKNKKNNKFFFFFF又因为0LI4LI4LI102102NCNFNKKKN所以有21LIM10FFNK101010LIMLINKNKNDXNKFXFDXF102LIMNKKDXNFNXKF102102LINKKNKXFF由于102102LIMLIMNKNKKDXCDXNF02LILI20CNKN因此我们有201LIM1LIM10010FNKFNKFDXFNK例6证明若函数在区间上单调，且存在，则有FA,APDXFLI10XFPX证明无妨设单调递增，取则有XFY,2112LN22PYFPFDXFDFPYPYPLN1122YFFDXYFDXFPPPYP因为存在，所以。APFX00LIM,0LIM220YPYPDXFF当时有1DXFYFDXFYPYP22LN1LN当时有1PDXFPYFDXFPYPPYP21121由夹逼准则可得。0LIM0FXP例7已知空间中的点，线段绕轴旋转为，求与1,1BAABZ平面所围成立体的体积。,ZV解线段的方程为，曲面的方程为B10TTZYTX221XZ。3232110102ZDZZDVV例8设函数在区域内有二阶连续偏导数，且YXF,2YXD，证明222EXFEDXYFXD2证明利用极坐标可得102SINCORDYFRXFRDXYFXD改变积分次序后可得201SICYFRXFRXYFXD设是圆并取正方向，是围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方RL22RYRDL法和格林公式可得RRDLDXYFXDYXFFDYFRXFR2220SINCO222102RRDXEEER所以我们有1022EDRRDXYFXD例9计算，其中是上半球面222IYZYZA与柱面的交线，的方向从轴220XYZBXXYAXBZ正方向向负方向看是逆时针方向。解设上半球面在圆柱面内220YZB20YAXB的部分，并区上侧，利用斯托克斯定理可得222222DYZXDIYZDZXDZYDXZZ因为对应的单位法向量为，所以,XBZ22XBYIZYDSZYDS22221XYABXXXYY。22XYABDB例10计算，其中为下半球面的上212ZYXDXA22YXAZ侧，为大于零的常数。A解ADXYZXYZYXD2212取为圆盘的下侧，则有1,0A3221ADXYDXYZDAX3221ADVZAZYXXAAD330223ADZAZA例11计算。1XED例12设为椭圆形，面密度为为均值的薄板；为通过椭D20YABAL圆焦点（其中）垂直于薄板的旋转轴,0C22C1）求薄板绕旋转的转动惯量；LJ2）对于固定的转动惯量，讨论椭圆的面积是否有最大值和最小值。例13设连续可微函数由方程（其中有,ZXY,0FXZYZ,FUV连续偏导数）唯一确定，为正向单位圆，试求L22IZDDA六、练习题1）计算DX162）设是上的连续函数，证