《线性代数》-代数难题讲解之一

线性代数疑难习题讲解容杰华叶宇鑫梁志光（20056）1题目证明向量线性无关的充要条件是线性无321,31321,关。知识点线性无关，向量的初等变换。解题步骤方法一。必要性设0313221KKK即213线性无关21,有方程组0321K其系数矩阵的行列式10321K只有零解即0321K线性无关31321,充分性设0321K与其等价的式子为022231313213213KKK线性无关3131,0202313KK其系数矩阵的行列式020120121212方程只有零解即0321K线性无关21,方法二CC323121121321,13321C,132121RANKRANK故线性无关的充要条件是线性无关3,31方法总结方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难，要确定与其等价式子的系数，可通过求解方程组的方法来确定。方法二是利用了向量的初等变换求秩方法来解决问题。相关例题例49（P67）2题目设为N阶实矩阵，证明若，则。A0TA知识点矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念解题步骤证明设，则NNNAAA212112NNNTAAA212121022123231221212NNNNNTAAAA其中为省略表示的代数和0221221221NNNNAAAA为实数IJ2122112NNNN即0IJANMIJA常见错误及原因混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由0DET,DETDET,0AATTT得出。A3设为N阶矩阵，若，试证的特征值是1或1EA2知识点特征值与特征向量解题步骤方法一。设的特征值为，对应的特征向量为，则有XXA两边左乘矩阵得A或X2把和代入上式得E22因为为非零向量，所以12方法二。EA2或002EADETTEA或00EA的特征值为或1方法三。设的特征值为，并设有多项式A12XF则方阵的特征值为EF2由NI1DET得0T2AF即12相关例题例54（P89）4题目设A,X,B分别是MN,N1,M1矩阵，B0是方程AXB的一个解；对应的齐次方程AX0的一个基础解系为，RRANKA12N证明,，线性无关。123RN知识点线性无关基础解系解题步骤方法一。（从定义出发）设存在K,K,K,K,K，使123RNKKKK012RN在等式两边左乘A，有KAKAKAKA012RNR，是齐次方程AX0的一个基础解系，是方程123RNAXB的一个解。KAKAKA0，AB12RNRKB0B0K0KKK0成立12RN，是齐次方程AX0的一个基础解系。3R，线性无关12RNKKKK03RKKKKK012RN,，线性无关3R方法二。（反证法）假设可由，线性表示，123RN即RNIIK1，是齐次方程AX0的一个基础解系。123RN，线性无关R是方程AXB的一个解A0B这与B0矛盾RNIIK1假设不成立不能由，线性表示123RNRANK，NR1R,，线性无关123RN方法三。证明，是齐次方程AX0的一个基础解系。123RN，线性无关。123RNRANK，NRR是方程AXB的一个解，B0不能由，线性表示123RNRANK，NR1123R,，线性无关RN方法总结虽然向量组线性相关或无关的证明比较困难，但还是有多种方法可以解决。可从定义出发进行证明（方法一），可用反证法进行证明（方法二），还可以利用性质或定理进行证明（方法三）。5题目求矩阵A的特征值与特征向量。11知识点特征值特征向量解题步骤法解A的特征多项式为DETAE11变恒2400213解DETAE0得特征值2432,1当时，得2031421X则,故是A的属于的全体TX11为常数）,K2特征向量，当时，得20114321X则，故TX02T3T103是A的属于的全体特为常数）,4243KKK242征向量。常见错误解A11换恒变4002211则A的特征多项式为DETAE10021214得特征值243,1,4（因为特征值已经错误，后面的步骤省略）分析在计算这类题时，大部份同学都会将矩阵化为对角矩阵或上、下三角矩阵，但有些同学习惯于纯粹的数字矩阵的初等变换，而不习惯于有未知数的初等变换，于是为了计算方便，便直接将矩阵A变换成对角矩阵或上、下三角矩阵，造成错误。其实我们可以知道，当矩阵A初等变换成对角矩阵或上、下三角矩阵时，矩阵A就不是原来的矩阵A，而是与矩阵A的秩相同的另一个矩阵了。相关例题1求矩阵A的特征值与特征向量。12103652求矩阵A的特征值与特征向量。9876546题目在计算机行列式时如何利用范德蒙行列式的结果知识点N阶范德蒙行列式的算法为1121NNNXXD0IJJX它有如下结构特点的每列都是某一个数的不同方幂,且自上而下方幂次数由0递增至N1ND只要抓住其特点,将所给行列式转化为范德蒙行列式,然后用1式计算结果现将常见的转化方法归纳如下方法一当所给行列式各列（或行）都是某元素的不同方幂，但其次数或其排列与范德蒙行列式不尽相同时，应利用行列式的性质（提公因式，调换行列次序等），将其转化为范德蒙行列式。例如计算NND211解提取各行的公因式，得11NND上式即为N阶范德蒙行列式，故N2131N13242N2NN1NNN1N221方法二当各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂时，可用加边法来转化。例如计算442211DCBADN解1当A,B,C,D中任两个相等时，显然D02当A,B,C,D互异时，由于D中缺少三次幂的一行元素，为产生五阶范德蒙行列式，现添加一列，得44433322211XDCBAXF按最后一列展开，得FX5435251AAX因为FAFBFCFD0,故A,B,C,D为FX的四个根，由根与系数关系得ABCD/45又因为D，而45AD541BACADACBDBDC5故DABCDABCDBACADACBDBDC45A方法三行列式的各行（或列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）不是元素的某次幂，用行列式性质使其转换为范德蒙行列式的形式例试用范德蒙行列式计算DBACBA22DABCCCA222221CBAABCBACADA方法总结范德蒙行列式是线性代数中一个相当重要的工具，如果在计算行列式时能够熟练的适时运用，将为解题过程带来很大的方便。7题目设N阶矩阵X满足，证明都可逆，并求022EEX2,。2,11EX知识点逆矩阵，矩阵的运算解题步骤证明方程化为，即，取行列式得,22EXEX2，故，即可逆。0DETDETX0DETX由知X可逆且211E方程也可以化为，故，220DETT2DET22XE即可逆X22121XE24E31241X另外也可这样做既然已证明原矩阵可逆，则原式一定可化成EMK2的形式，只需用待定系数法便能得到结果常见错误1在求逆矩阵时把矩阵代数化如得到像的式子解得逆矩阵为EX2112X2“巧用代数变换”由得从而解得逆矩阵为222E相关例题设N阶矩阵满足A和并求都可逆和证明12,067AAE12EA8题目设向量组线性无关，且，判断向量1,21MM21组的线性相关性,1知识点解题过程解法一（从定义出发）设021MKKK即012123