2015届高三4月（第八次）月考数学（理）试题

雅礼中学2015届高三月考试卷八数学理科时量120分钟，满分150分，2015年4月一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，请把答案均填入答卷的表格里）1已知复数满足，则复数对应的点在复平面对应的点位于BZ12IA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2若集合，则B1|0,|LGXMXNXYRMCNABCD或1|0|0X13从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下单位克125053046951234则样本数据落在内的概率为C,2ABCD0054一个用流程图表示的算法如图所示，则其运行后输出的结果为AA1320B11880C132D以上都不对5的展开式中，含的正整数次幂的项共有A123XXA3项B4项C2项D6项6如图是某四棱锥的三视图，则该棱锥的体积是DA48B3C16D8正视图俯视图侧视图336242I10开始II1I12，S1结束输出SYNSSI第4题图7在公差不为零的等差数列中，数列是等比数列，且NA23710ANB则的值为B7BA268LOGBA2B4C8D18已知函数，且，那么A53FXAX20F2FABCD61109已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A20YPX210,XYAB是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的AFLL区间可能是DABCD0,6,64,43,32【解析】，又，故选D22|,BPBFCCAABTANCB10若，定义一种运算，已知，1212,12,12,M，且点，在函数的图象上运动，点在函数的图03NPXYSINYXQYFX象上运动，且其中O为坐标原点，则函数的最大值A和OQMF最小正周期T分别为DABCD2,2,4AT1,2AT1,42T【解析】由条件，所以，从而求得1SIN3XXSIN3FXX1SIN,262FX二填空题（本大题应答5小题，每小题5分，共25分，请把答案填入答卷中的横线上）（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答，全做按前两题记分）11如图是圆的直径，延长至D，使ABOAB,OBC切圆于，则C【答案】1312已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为，（为参数），XOYC3COS1INXYBCDAOO以为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为,06COS则圆截直线OXC所得弦长为【答案】4213若关于的不等式的解集不空，则的取值范围是X|2|6XAA【答案】,（二）必做题（1416题）14函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于2SINCOS36XF【答案】15已知函数，且，则当SIFXXR2281610FYXFY时，函数的最小值与最大值的和为3Y2,FY【答案】62【解析】易知是奇函数，又为增函数FXCOS,FXFX所以222281610,81610FYXYY即，又，则对应可行域是以为圆心，2为半径24343X4,3的上半圆面，易求得，其和为62MINMA,9FXYY16记，当正数、变化时，也在变化，,MIN,BAX2IN,YTX则T的最大值为【答案】【解析】若X,则TX,T2X2X故T,当22Y2YX12且仅当XY时取“”；若X,则T,T22故222YT，当且仅当XY时取“”综上可知,当XY时,T取最大值为三解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）17本小题满分12分甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为,乙每13次投篮投中的概率为,且各次投篮互不影响12求甲获胜的概率求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望解析设分别表示甲、乙在第次投篮投中,则,KABK,13P2K123记“甲获胜”为事件C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知,112123PCAPBAB112ABP2336分97的所有可能为1,2由独立性知1213PAPB212229B339综上知,有分布列123P23919从而,次12分19E18本小题满分12分如图,边长为2的正方形中,点是的中点,点是ABCDEABF的中点,将、分别沿、折起,使、两点重合于点,BCADCFEF连接,F求证E求二面角的余弦值【解析】在正方形中,有ABCD,ADEF则,又平面而平面,5ADE分方法一正方形的边长为2,点是的中点,点是的中点,BCABFBC,1BEF2,2AAEF由得平面,D分别以,为,XY轴建立如图所示的空间直角Z坐标系,XYZ则,0A10E,F2D,F设平面的一个法向量为,则由,E1NXYZ120NDEXZFY可取12,N又平面的一个法向量可取AF20,1NXYZ12121COS,3|4N二面角的余弦值为12分AEFD方法二连接交于点,连接BGA在正方形中,点是的中点,点是的中点,CBFBC,点为的中点,G且EF正方形的边长为2,AD1EGE为二面角的平面角由可得,为直角三角形正方形的边长为2,BC,22EF,G32D又2A2942A1COS32GD二面角的余弦值为AEF19本小题满分12分已知B、分别在射线CMN、（不含端点C）上运动，23MCN，在C中，角A、所对的边分别是A、B、C（）若A、B、C依次成等差数列，且公差为2求C的值；（）若，B，试用表示B的周长，并求周长的最大值【解析】（）、成等差，且公差为2，4AC、2B又3MCN，1COS，221，224，G恒等变形得29140C，解得7C或2又4C，76分（）在ABC中，SINSISINBCAB，32SINII，2SI3ABC的周长FACBSINI132SINCOS2SI3，又0,，3,当2即6时，F取得最大值212分20本小题满分13分某生产流水线由于改进了设备，预计改进后第一年年产量的增长率为，以后每年的增长率是前一年的一半，设原来的产量是160A写出改进设备后的第一年、第二年、第三年的产量，并写出第年与第年的N1产量之间的关系式；2,NN由于设备不断老化，估计每年将损失年产量的，如此下去，以后每年的产量是5否始终是逐年提高若是，请给予证明；若不是，请说明从第几年起，产量将比上一年减少解设第年的产量为，则NNA12360,18,40,A6分12311479,525602,NNNNAAN依题意得，1452NNA若以后每年的产量逐年减少，即，也即1A41512N所以44211019,2,559,6,NNNA即时故从第6年起，年产量比上一年减少13分21本小题满分13分已知椭圆E中心在原点，一个焦点为，离心率6,032E求椭圆E的方程；是长为的椭圆E动弦，为坐标原点，求面积的最大值与最小值AB52OAOB【解析】设椭圆方程由条件知，又，21XYAB36,2CA22BC解得所以椭圆方程为4分228,6,AC218XY当直线斜率存在时，设代入椭圆方程AB12,ABAKXB得，248XY2440KXKB21212,B由，222211561|4414KABKXXB得22256B又原点到的距离为，8分OAB2|1BK所以，记25|4ABS24,U则因为226186500所以，当直线斜率不存在时，2234,4KU13,SAB，578S103,2所以，此时即；MAX64,5U396K，此时，即13分IN51032S1022本小题满分13分已知函数2LNFXAX在0处取得极值求实数A的值；若关于X的方程52FB在区间0,上恰有两个不同的实数根,求实数B的取值范围；证明对任意的正整数N,不等式2341LN9都成立解析12FXXA0时,取得极值,0,F故10解得1经检验A符合题意3分（）由A知2LN,FXX由52FXB,得23LN,XB令2L1X则52FXB在区间0,上恰有两个不同的实数根等价于0在区间,上恰有两个不同的实数根45132,1XX当0,时,0,于是在0,上单调递增当2X时,X,于是X在12上单调递减6分依题意有31LN024BB,解得,1LN3L2B8分FXX的定义域为1X,由1知1F令0F得,或32舍去,当0X时,FX,F单调递增当0X时,0FX,F单调递减为在1,上的最大值XF,故2LN0XX当且仅当X时,等号成立对任意正整数,取1得,2L1,N21LN故234342LLLL9N13分（方法二）数学归纳法证明当时，左边，右边，显然，不等式成