信号与系统课后答案 第2章 习题解

第2章习题21求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）；给定；0232TYTDTY20,3YDTY（2）；给定；42TT1,T（3）；给定；022TYTDTY20,YDTY（4）；给定；2TTT,1T（5）；给定。023TYDTTYD20,10,2YDTYTY（6）；给定。42TT2,1DT解（1）微分方程的特征方程为，解得特征根23012,因此该方程的齐次解为2TTHYTAEB由得解得03,2DYT,8,5AB所以此齐次方程的零输入响应为285TTYE（2）微分方程的特征方程为，解得特征根2401,2I因此该方程的齐次解为COSINHYTATBT由得,解得01,DYX12,2所以此齐次方程的零输入响应为1CSIYTTT（3）微分方程的特征方程为，解得特征根201,2I因此该方程的齐次解为COSINTHYEATBT由得解得01,2DYX1,2,3所以齐次方程的零输入响应为COS3INTYET（4）微分方程的特征方程为，解得二重根2101,2因此该方程的齐次解为THYTABE由得解得01,2DYX,2,3,AB所以该方程的零输入响应为31TYTE（5）微分方程的特征方程为，解得特征根,3201,230因此该方程的齐次解为THYTABTCE由得201,0DYXT1,2CB解得5,3,4ABC所以方程的零输入响应为534TYTE（6）微分方程的特征方程为，解得特征根20120,4因此该方程的齐次解为4THYTABE由得解得01,2DYX1,23,2AB所以此齐次方程的零输入响应为43TYTE22已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。（1）；TUTXTTYDT,652（2）；TETTDTTT22,423（3）；TUETXTTYTD2,（4）。TUXTTDTYTT,838423解（1）将带入到原方程得到XT2563TDYTTYEU特征方程为，解得特征根256012,3因此该方程的齐次解为23TTHYTAEB可设其特解为,将代入上述微分方程,有TPCTPC,解得特解为2563TTTTDCEEE32TPYTE可得完全解2TTTYTAB根据冲击函数匹配法，系统在时的微分方程0T,得到2563DYTTYTUT2TATBTCTDYUTT563ATBTCUTATBUTATUT从而有。00Y将代入得23TTTTAEBE0322A故系统的零状态响应为32TTTYTEEU（2）。将带入原方程得到2TXEU2232TDYTTYTEU微分方程的特征方程为，解得特征根，该方程的齐次解为23012,2TTHYTAEB可设其特解为代入上述微分方程,解得特解为TPYTKE2TPYTE可得完全解22TTT根据冲击函数匹配法，系统在时的微分方程0T,得到2322DYTTYTUT2TATBUTDYT3201ABUATUTY将代入得22TTTTAEBE302148AYABB系统的零状态响应为223TTTYTE（3）将带入到原方程得到XT2TDTYEU特征方程为，解得特征根3023因此该方程的齐次解为3THYTCE可设其特解为,代入上述微分方程,解得特解为2TPTK2TPYTE可得完全解3TTYEU根据冲击函数匹配法，系统在时的微分方程0T,得到3DYTTUTDYTATBUT31,4TTTUTAB从而有。将代入得014Y32TTYTCE2C故系统的零状态响应为32TTYTEU（4）将带入到原方程得到XT324838DDYTTYTTUT特征方程为，解得特征根324801230,2II因此该方程的齐次解为2COSSNTTHYTABECE可设其特解为,代入上述微分方程,解得特解为PTDPYT可得完全解22COSSINTTYABEET根据冲击函数匹配法，系统在时的微分方程0T,得到324838DDYTTYTTUT32TATBUTDYT438ABUATTUT从而有,。30DYT20DYT将代入得22COSSINTTABECETA,183由于方程不包含项，C无法求出。YT故系统的零状态响应为213COSIN28TETTC23已知系统的微分方程为，求下列激励信号下系统的零状态响应。TXYTD（1）（2）（3）TUETXUEXTTUET32（4）TT解（1）带入后微分方程为2TDYTEU特征方程为，解得特征根。因此该方程的齐次解为202THYTCE设特解为,带入得，零状态响应为2TPYTKE2TPYTE2TTTU由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从0到0时刻没有发生跳变，将带入得到C0。故系统的零状态响应为0Y2TYTEU（2）带入后微分方程为32TDYTEU特征方程为，解得特征根。因此该方程的齐次解为202THYTCE设特解为,带入得，零状态响应为3TPYTKE3TPYTE23TTTU由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从0到0时刻没有发生跳变，将带入得到C1。故系统的零状态响应为0Y23TTYTE（3）带入后微分方程为23TTDYTTEU先求出系统的冲激响应，易知，在时，设，TA0TDYTATBU，代入方程解得，YTAUT1,2AB易求得A1，则系统的单位冲激响应为2TYE2THEU232TTTYTXHTEUEUTTT（4）带入后微分方程为2TTDYTTEU特征方程为，解得特征根。因此该方程的齐次解为202THYTCE设特解为,带入得，零状态响应为2TTPYTKE2TTPYTE2TTTCEUU由于系统的微分方程右侧没有冲击函数可以知道系统在从T到T时刻没有发生跳变，将带入得到C0。故系统的零状态响应为0YT2TTYTEU24给定系统微分方程、起始状态以及激励信号，首先判断起始点是否发生跳变，再求系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。（1）；TUXYTXTYD,10,（2）；TTDTT,223（3）；TUETXYDTYTXTTYTDTY3,0,0,3652（4）；TTTTDTTT22,1,9（5）。TUXYDTYTXTTYTDTY,0,5352解（1）易知系统的齐次解零输入响应THYTAE001YAE解得TZIYE零状态响应设,代入得所以,PTB1TZSYTE在时,设,即,所以0TDYUTT,1A1TZSYTE完全响应1TTZISYTTEUT（2）利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变。将激励函数带入后得到32DYTTUT系统的齐次解零输入响应。解得3THTAE002YAE32TZIYTE零状态响应设,代入得故。利用冲击函数匹配法可PYTB23TZSTCUT知，即，。故01Y213C312TZSYTET方程的完全解。33TTZIZSYTTTUT（3）利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变。系统的齐次解零输入响应23TTHYTAEB02YAB解得0230DYT2364TTZIYTE零状态响应设,代入得,在时,TPTE23TTTZSTEE0T设,2563DYTTYTTUT2DYTATBUTDYTAUT代入解得解得0T,27AB39TTTZSYTEE方程的完整响应。232364TTTTTZISYTTU（4）利用冲击函数匹配法可以知道起始点发生跳变系统的齐次解,零输入响应由解得3THYTABE01,DYYT4,1AB341TZIYTE零状态响应设,代入得。在2TPYTCE132TTZSYTTEU时,0T269DYTTYTUT则,解得得到2TATBUTDTAT01,7AB,1AB3221TTZSYTEU完整响应32341TTTZISZSTTYTATBEUTE（5）易知系统的齐次解,零输入响应CO2SINTHETT由解得01,DYYT1,ABCOS2INTZIYET零状态响应,解得PTCI1TZSTBT在时,0T2535DYTTYTUT设,代入得2YTATBUTTAT3,1AB解得1,ABCOS2INTZSYETT得到系统完整响应COS2INCSI1TTYETETTUT25求下列微分方程描述的系统的单位冲激响应H（1）；（2）4TXDTYTD；3232TTTTTYD（3）；42TXYTDT（4）；32TTDTTYT解（1）系统的齐次解为，4THYTAE在时，可设，0TDATBTCUTTYATBUT代入方程解得，易知1,4,6ABC4A所以4TYTEU（2）系统的齐次解为，在时，2TTHYTABE0T设,2DTATBTCUTDYTATBUTYAUT则3TTTATBT2T3T解得,求得,所以1,02ABC,1AB2TTYEU（3）易求得系统的齐次解为，2THYTE在时，设,解得0T2DTATBUTDYTAUT0Y1,4AB求得,AB所以2TYTE（4）系统的齐次解为,2THYTAE在时，设,0TDATBTCDUTTYABCU则,2TTDTTTCT3TT解得,易求1,C1A则2TYEUT26求下列微分方程描述的系统的单位阶跃响应TG（1）；（2）TXDTYTD；1272TTTY（3）；2302TXTDTYTDT（4）；5168232TTTTTTY解（1）求得系统的齐次解为，设特解,解得THYTAEPYTB1在时，设,0TDATBUTAUT得到,ABU解得,易求10A所以YT（2）系统的齐次解为，34TTHYTAEB在时，设,0T2DTATBUTDYTAUT0Y即,解得,易求7ATBUT1,71,AB所以34TTYE（3）易求得系统的齐次解为,易知特解COS3INTHYEATBT15C在时，设,0T2DTATBUTDYTAUT0Y即,解得易求,ATBUT3T3,4B14,5AB所以141COSIN55TYEU（4）系统的齐次解为易求其特解4THYTABE516C设,2DTATBTCDUTYTATBTCU,解得,YTTU1,6,32,15解得,所以27046AB4706TYTTET27因果性的LTI系统，其输入、输出用下列微分积分方程表示，其中5TXDTFXTYTD3TTUETF求该系统的单位冲激响应。H解将代入原方程得，若解出此方程的，即XT52TYTEUTDZIYT为系统的单位冲激响应，现在求先设T5DYT解得5THEU2THEU5174TTEU28有一LTI系统对激励为时的完全响应为，对激励为31TTX631TETY时的完全响应为。求下列各种响应。2TX2Y1该系统的零输入响应；TZI2该系统的单位阶跃响应；3该系统的单位冲激响应；4系统的起始状态保持不变，求其对于激励为的完全响应。3TUETX3TY解设系统对激励为的零状态响应为,对激励为的零状态响应为1XT1ZSY2T2ZS对激励为的零状态响应为,又系统为LTI系统,根据,易推知3T3ZS1X2T123ZSZSYDT又根据完全解的结构,可设,则1X1TZSYAEU2ZSY3TAEU又根据,对,对,T36TZIZSY2XTZIZST综合上述条件的,12TZSE得,解得33TTAAEUUT3TUT所以,3A31TZSYEU（1）,（3）6TTZIZS3THTEU（2）0TTGHDE（4）对3TXU零状态响应为3ZSY3TX312TTEU得到33TTTZIZSTE3912TTEU29已知某LTI系统在激励信号下的零状态响应为，又已知该系统在1TUTX1TY下的零状态响应为，求该系统的单位冲激响应。2TUETX221TEYTH解由题,2112DXTTXT又系统为LTI系统,所以112DYTYT代入整理得,解得,114TTEUD241TTEU因,得系统的冲激响应,2XT13THTY所以242243TTTTTHEEE210已知某LTI系统在激励信号下的零状态响应为，又已知该系统在1TUTX1TY下的零状态响应为，求该系统的单位冲激响应。22TUETX2EYTTH（提示由于不是简单的各阶导数及其线性组合关系，所以不能用29题的方法。但根据条,21X件知道有P2101THUETYT1P2102TTT22即P2103THUETTHUETT22P2104TTT2对式子P2104求两次导数，并利用卷积的微分性质有P2105THUETTTUETT222P2106TTTT4342通过将式P2104，P2105，P2106乘上适当的常数再相加，可以消去方程右端这,2TUET些普通函数和的卷积项。具体来说，就是假设P2104，P2105，P2106三个式子乘的系数分别TH是，则要求CBA,P2107042CBA可以得到一个解。将式P2104，P2105，P2106分别乘以，再相加得到1,32CB1,32P2108THTT即P2109TTHDT32上述过程实际上是一个重建微分方程的过程。）解微分方程的建立参看上述提示。对于TTHDT32系统的齐次解为，在时，32TAE0T设,TATBTCUHABUT解得,求得,所以1,24143214TTTE211利用上节的方法求解本题。有一LTI系统对激励为时的完全响应为1TUX，对激励为时的完全响应为。求1TUTYTUETX22ETYT22（1）该系统的零输入响应；YZI（2）该系统的单位冲激响应；（3）系统的起始状态保持不变，求其对于激励为的完全响应3TUETX3TY解易知,2ZIUTYTUHT22TTZIEUYTHT将两式相减,2TTEH两边求导得,224TTEUTEUHT将原式乘2,与求导后的方程式相加得,UTH将方程式求导2TTT即,易解得,DHT2THE易求得对的零状态响应为1X1TZSYTXTEU1ZIZSYTYT2TEU2即2THEU33TYTTTE2TTEU212已知某一LTI系统对激励的零状态响应TXTTZSDXY2求该系统的单位冲激响应。解ZSYTXHTXHTD在本题中222TTTZSTPPZSTEEXUTDYPTU令令故。2THEU213零起始状态电路如题图213所示，求该电路的单位冲激响应。若激励为，TUETVS求响应。TVOTVSH14TVOF52TISTVO题图213题图214解设此电路的电流为,易知，根据KVL有SITSITSV0T，即LSV0015SSSDVTVTVT整理得0054SSTT易解得,HEU0VT5314TTSVT214零起始状态电路如题图214所示，求该电路的单位冲激响应。若激励为，求响应。TUTISTVO解由节点电流定理得,整理得052STDIT015SVTDITT其单位冲激响应,01THEUTVOSIT5TT0115TTUEU215电路如题图215所示，以前开关位于“1”，已进入稳态，时刻，与同时自0T1S2“1”转至“2”，求输出电压的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应分量。TVH1FV02TVS13A1122题图215解设经过电感的电流为,则1IT,12VTILDT1CDVTITVCCDITVT根据KCL,代入得1SCITI22STTIT得齐次解,THYTABEU零输入响应开关位于”1”稳定后,因为,所以,易求01V0CIT0CDVT得零输入响应,10TZIYTE开关位于”2”时，,零状态响应3SUTTZSYTABEUT易求得零状态响应,66TZSYTEUT完全响应10TTTTE216已知电路如题图216所示，时，开关位于“1”且已达到稳态，时刻，开关由位0T置“1”打到位置“2”。（1）从物理概念判断,和,0III（2）写出T时间内描述系统的微分方程表示，求的完全响应；T（3）写出一个方程式，可在时间内描述系统，根据此式利用冲激函数匹配原T理判断时刻和时刻状态的变化，并与（1）的结果比较。0解（1）到达稳态后,电容相当于短路,而电路状态稳定,不会再发生变化,所以,开关由”1”到”2”后电容电压不会发生跳变,00II01CV0I所以电感的电压应为9伏,又易知,9LDVIT0I（2）由电路易得系统微分方程零输入响应为0,22TITITTEUD零状态响应为。213COSSINTTETT（3）系统方程为。29TYTYTTEU理应冲击函数匹配法有即从0到0有9的跳变，没有跳变。7ATATBUTBYYTYT217设系统的微分方程表示为652TUETYTDTY求使完全响应为时的系统起始状态和，并确定常数的值。TUCETY0RC解求得方程的零状态响应为231TTTZSTEEU易知方程的零输入响应为TTZIYAB因为完全响应为，故,有零输入响应的系数求法得TUCETY1,2ABC10223ABR218已知某LTI系统的单位冲激响应为，当输入为时的零状态响应为TH1TX12UY求当冲激响应和激励信号分别为以下各组信号时的零状态响应，并画出各个响应对应的波形。12THTXT113,THTXT11,3423561,1TTXTXTTXDT112,78THD,HDT解1（2）32XTUTXTUT（3）（4）11XTUTT（5）1311XTUTTTUTT（6）（7）22XTUTT22XTUTT（8）22XTTT219已知有一LTI系统，起始状态不知道，在激励为时的完全响应为，TXTUET2SIN3激励为时的完全响应为，求TX2UTET2SIN3（1）起始状态不变，当激励为时的完全响应，并指出零输入响应和零状态响应；1TX（2）起始状态是原来的两倍，激励为时的完全响应。T解设激励为时的完全响应为TXZSYT由题意得,32SINTZIZSYTTETU322SINTZIZSYTTETU两式相减得,易得TZS3TZIU1当激励为时,易解得,1TX311SN1TZSYTETT零输入响应不变,3TZIYTEU完全响应131SIN2TTTTEU23224TZIZSYTTYTE220求下列各函数与的卷积1FF21TF（1）,32TUETUTF（2）F（3）2,21TTTF（4）UFU（5）45COS,21TTTF（6）21,12TUTF（7）,COS21TFTTF（8）SIN2UUET解123121TFTFTE212FTFTUT342T5COS45FTTU6720,13,30TTFTTCOS1COS1FTTTU8221SINCOS33TFTTTEU221求下列两组卷积，并注意相互间的区别（1），求TUTFTFT（2），求21S解（1）（2）0,2,1TSTT0,234,TSTT易知把（1）中的向右平移两个单位，即得到（2）中的。STST222已知，求解并画出11TUTF52TF213TF下列各卷积波形（1）21TFTS（2）（3）5221TFTUTFTTS（4）3F解（1）21TFTS646UTUTT（2）2192191STUTUTTUTT（3）ST21091910UTTUTTUTT（4）1312STFTUT223令和53TUTXTUETH3（1）求，（2）求，（3）和是什么关系HTYXDTGGTY解（1）3351TTTEUEU（2）3TDGXTHTT335TTEE（3）TY224假设和他,01TTX10,/TXH（1）求出并画出TTY（2）若仅含三个不连续点，值是多少DT解（1）易解得10,10,TYTTT（2）由条件易知225设，证明在区间上有，并求出A值。KTTUE3Y3TTETR证明当时30T0TKT03TKKEU03TK,得31TETAE31226对题图226所示的各组函数，计算卷积积分,并粗略画出与卷积21TF1TF2TF的波形。0T122A0TTF233122TF10T2B0TTF231TF120T1C0TTF2TF111TE0T20TTF2TF112SINUTD0T20TTF2TF11TUSINE0T10TTF2TF1TUSIN26543F题图2260T10TTF21TF2243G解（A）31543943661955YTUTTTUTTTTTTTT（B）1212332934545YTUTTUTTUTTT1234501234