2017中考数学《线段与角》专题复习考点讲解(含答案)

1 线段与角 考 点图解 技法透析 1与直线 、 射线 、 线段有关的知识 (1)直线： 直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的 直线的表示方法：如图 记作“直线 “直线 l 2 记作“直线 l” 直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线 (2)射线： 射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点射线向一方无限延伸 射线的表示方法：如图 记作“射线 l 记作射线 l，注意必须把表示端点的字母写在前面 (3)线段： 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸 线段的表示方法：如图 记求“线段 “线段 “线段 a” 线段的性质：两点的所有连线中，线段最短即两点之间，线段最短 (4)直线、射线、线段的区别与联系 联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分， 射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分 区别：如下表 (5)线段的画法： 用直尺可以画出以 A、 B 为端点的线段，画时不能向任何一方延伸 “连接 意义就是画出以 A、 B 为端点的线段 线段的延长线，如图 ，延长 指按由 A 向 B 的方向延长 延长 指按由 B 向 A 的方向延长 (也可说反向延长 (6)线段的比较 度量法：测量线段的长度后比较大小， 叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小 (7)画一条线段等于已 知线段， 如：已知线段 a，画一条线段 a，有两种画法： 先画射线 在射线 截取 a 先测量线段 a 的长度、再画一条等于这个长度的线段 可 3 (8)线段的中点及等分点的概念 如图点 O 把线段 成相等的两条线段， O 叫线段 中点，显然有 12 22 如图点 B 分成相等的三条线段 点 B 的三等分点，显然有： 13 3 3如图，点 B 分成相等的四条线段，则点 B 的四等分点，显然有： 14 444(9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离 2与角有关的知识 (1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组 成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形 (2)角的四种表示方法： 一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的 字母必须写在中间如图，记作 当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来 表示这个角，如图可记作 O；可以用一个小写希 腊字母（如 、 、 等）表示，如图 作 a； 用一个阿拉伯数字表示如图 作 1 (3)特殊角及角的分类： 平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位 置在同一条直线上时所成的角 周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角 直角：等于 90的角叫直角 锐角：小于直角的角叫锐角 钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角 (4)角度制及角的画法： 角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制， 1 60， 1 60 借助三角尺和量角器画角 (5)角的和、差、倍、分的关系 每的和、差，如图所示： 4 角的倍、分： 角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个 角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若 1 2，则 平分线，此时有 1 2 12 2 1 2 2） 同理，还有角的三等分线、四等分线等 (6)余角和补角： 定义：如果两个角的和等于 90，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180，那么这两个角互为补角 性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等 (7)方位角： 方位角是表示方向的角具体表示时是南（或北）在先，再说偏东（或偏西） 3钟表上有关角的问题 (1)钟表上，相邻两个数字之间有 5 个小格，每个小格表示 1 分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应 6； (2)秒针每分钟转过 360，分钟每分钟转过 6，时针每分钟转过 (3)时针与分针成一直线必须成 180的角，两针重合必须成 0的角， 名题精讲 考 点 1 例 1 平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为 _个，最多为 _个 【切题技巧】 可 以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论当平面内两两相交的 6 条直线相交于一点，此时交点的个数最少为 1 个，当平面内两两相交的 5 条直线相交于一点，第 6 条直线与前面的 5 条直线都相交，此时交点的个数为 1 5 6 个，当平面内两两相交的 4 条直线相交于一点，第 5 条直线与前面的 4 条直线都相交，第 6 条直线再与前面的 5 条直线都相交，此时交点的个数为 1 4 5 10 个，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条 直线都不过同一点，于是可得交点数最多为： 1 2 3 4 5 1 5 52 15(个 ) 【规范解答】 分别填 1 个， 15 个 (1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的 n 条直线，其交点最少为 1 个，最多为 1 2 3（ n 1） 12n（ n 1）个交点； (2)一般地，平面内 n 条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成 12（ n 1） n 1 个互不重叠的部分 (3)般地，如果一条直线上有 n 个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（ n 1） 5 （ n 2） 2 1 12n（ n 1）条；共有 2n 条不同的射线 【同类拓展】 1如图 ，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？ 考 点 2 线段长度的计算 例 2 如图 C、 D、 E 将线段 成 2： 3： 4： 5 四部分， M、 P、 Q、 N 分别是 D、 中点，且 42，求 长 【切题技巧】 先根据比例把 含 x 的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方 程，从而求得 长 【规范解答】 【借题发挥】 几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题 【同类拓展】 2已知三条线段 a、 b、 c 在同一条直线上，他们有共同的起点， a 的终点是 b 的中点， c 的中点是 b 的终点，且 a b c 7 a、 b、 c 的长 考 点 3 角的个数及角的度数的计算 例 3 如图已知 部的两条射线， 分 分 (1)若 70， 50求 大小； (2)若 ； ，求 大小（用含 、 的式子表示） 利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出 间的数量关系，为方便角的表示，可用含 、 的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的 大小 【规范解答】 6 【借题发挥】 (1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换 (2)一般地，同一平面内，在平角 内部引以 O 为端点的（ n 1）条射线，则图中共有： n（ n 1）（ n 2） 3 2 1 12n（ n 1）个小于平角的角 【同类拓展】 3如图， 100， 分 分 _ 考 点 4 钟表上有关的角度问题 例 4 时钟在下午 4 点至 5 点的什么时刻： (1)分针和时针重合？ (2) 分针和时针成一条直线？ (3)分针和时针成 45角？ 【切题技巧】 4 点整时针已转过 4 大格，每大格 30，这时可看成时针在分针前面120，若设所需时间为 x 分钟，则有 6x 12x 的值等于 1200 时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为 1200 180时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于 120 45（时针在前）或 120 45（分针在前）时，两针成 45角 【规范解答】 7 【借题发挥】 钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有 12 大格，60 小格，每个大格为 30的角，每个小格为 6的角如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为 6分，时针的速度为 分，因此，分针速度是时针速度的 12 倍在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针， 【同类拓展】 4王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的 时针和分针恰好成 90角，这时是 7 点多；故事结束时两针恰好也是 90角，这时是 8 点多，他还发现，讲故事中，两针成 90角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？ 考 点 5 与线段有关的实际问题 例 5 摄制组从 A 市到 B 市有 1 天的路程，计划上午比下午多走 100 千米到 C 市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400 千米，傍晚才停下来休息司机说，再走从 C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问 A、 B 两市相距多少千米？ 【切题技巧】 题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题 【规范解答】 如图 ，设小镇为 D，傍晚汽车 x，则 3x， 400， 400 2x 12(400 2x) 200 x，于是有： 3x 400 2x 200 x 600(答： A、 B 两市相距 600 千米， 【借题发挥】 利用“线段图”将实际问题转化为几何问题， 借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题 是数学竞赛中的 常用方法，如： A、 B、 C、 D、 E、 F 六支足球队进行单循环比赛， 当比赛到某一天时，统计出 A、 B、 C、 D、 E 五队已分别比赛了 5、 4、 3、 2、 1 场球，则还没有与 B 队比赛的球队是哪支队？此 题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用 6 个点表示 A、 B、 C、 D、 E、 支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与 B 队比赛的球队是 E