湖南省衡阳市常宁市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1 页（共 16 页） 2015年湖南省衡阳市常宁市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题为单项选择题，共 10 小题，每小题 5 分） 1满足 1， 3 A=1， 3， 5的所有集合 A 的个数（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2直线 =1 的斜率是（ ） A B C D 3一水平放置的平面图形的直观图如图所示，则此平面图形的形状是（ ） A B C D 4空间直角坐标系中 点 P（ 1， 3， 5）关于原点对称的点 P的坐标是（ ） A（ 1， 3， 5） B（ 1， 3， 5） C（ 1， 3， 5） D（ 1， 3， 5） 5函数 f（ x） =的一个零点落在下列哪个区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 6如图，在正方体 ， E 为 中点，则异面直线 成的角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 7今有一组数据如下： t v 2 以下四个模拟函数中，最合适这组数据的函数是（ ） A v= C D v=2t 2 8已知 （ a 0， b 0 且 a 1， b 1），则函数 f（ x） =函数 g（ x） = ） 第 2 页（共 16 页） A B CD 9点 P（ 2， 1）为圆（ x 1） 2+5 的弦 中点，则直线 方程为（ ） A x+y 1=0 B 2x+y 3=0 C x y 3=0 D 2x y 5=0 10把正方形 对角线 起，当以 A、 B、 C、 D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直 线 平面 成的角的大小为（ ） A 90 B 60 C 45 D 30 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11幂函数的图象经过点（ 4， 2），那么 的值是 12经过（ 3， 4），且与圆 x2+5 相切的直线的方程为 13某几何体的三视图如图，其中正视图与侧视图上半部分为半圆，则该几何体的表面积为 14若奇函 数 y=f（ x）的定义域为 4， 4，其部分图象如图所示，则不 等式 f（ x） 2x 1） 0 的解集是 15已知直线 a、 b、 c 以及平面 、 ，给出下列命题： 若 a 且 b ，则 a b； 第 3 页（共 16 页） 若 ， c ，则 c ； 若 a b， a ，则 b ； 若 ， a ，则 a 若 a c， b c，则 a b 或 a、 b 异面或 a、 b 相交 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都填上） 三、解答题（本大题共 6 小题， 总分 75 分，请把解答写在指定方框内，否则不记分） 16分别求满足下列条件的直线方程 （ ）过点（ 0， 1），且平行于 4x+2y 1=0 的直线； （ ）与 x+y+1=0 垂直，且过点 P（ 1， 0）的直线 17已知：函数 f（ x） = +3x 9）的定义域为 A，集合 B=x|x a 0， a R （ 1）求：集合 A； （ 2）求： AB 18某校办工厂生产学生校服的固定成本为 20000 元，每生产一件需要增加投入 100 元，已知总收益 R（ x） 满足函数 R（ x） = ，其中 x 是校服的月产量，问： （ 1）将利润表示为关于月产量 x 的函数 f（ x）； （ 2）当月产量为何值时，工厂所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益 =总成本 +利润） 19长方体 ， ， C=2， O 是底面对角线的交点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 体积 20已知圆 方程为 x2+4x+22m+1=0 （ 1）求当圆的面积最大时圆 标准方程； （ 2）求（ 1）中求得的圆 于直线 l： x y+1=0 对称的圆 方程 21已知函数 f（ x）满足 f（ = （ x x 1），其中 a 0， a 1， （ 1）讨论 f（ x）的奇偶性和单调性； （ 2）对于函数 f（ x），当 x （ 1， 1）时， f（ 1 m） +f（ 2m） 0，求实数 m 取值的集合； 第 4 页（共 16 页） （ 3）是否存在实数 a，使得当 x （ ， 2）时 f（ x）的值恒为负数？，若存在，求 a 的取值范围，若不存在，说明理由 第 5 页（共 16 页） 2015年湖南省衡阳市常宁市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题为单项选择题，共 10 小题，每小题 5 分） 1满足 1， 3 A=1， 3， 5的所有集合 A 的个数（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 并集及其运算 【分析】 由题意得 1， 3 和 5 可能是集合 B 的元素，把集合 B 所有的情况写出来 【解答】 解： 1， 3 A=1， 3， 5， 1 和 2 和 3 可能是集合 B 的元素， 则集合 B 可能是： 5， 1， 5， 3， 5， 1， 5， 3共 4 个 故选 D 2直线 =1 的斜率是（ ） A B C D 【考点】 直线的斜率 【分析】 把直线的方程化为斜截式，从而求得它的斜率 【解答】 解：直线 =1 即 y= x 2，故直线的斜率等于 ， 故选 A 3一水平放置的平面图形的直观图如图所示，则此平面图形的形状是（ ） A B C D 【考点】 平面图形的直观图 【分析】 本选择题，可以用选择题的特殊方法来解，观察直观图右边的边与纵轴平行，与 样只有 C 符合题意，从而得出正确答案 【解答】 解：根据平面图形水平放置的直观图可知， 右边的边与纵轴平行，与 x 轴垂直，这样此平面图形中有一个内角是直 角，只有 C 符合题意， 故选 C 4空间直角坐标系中点 P（ 1， 3， 5）关于原点对称的点 P的坐标是（ ） 第 6 页（共 16 页） A（ 1， 3， 5） B（ 1， 3， 5） C（ 1， 3， 5） D（ 1， 3， 5） 【考点】 空间中的点的坐标 【分析】 根据空间坐标关于点的对称的结论进行求解即可 【解答】 解：空间直角坐标系中点 P（ 1， 3， 5）关于原点对称的点的坐标都有相应的相反数， 即（ 1， 3， 5）， 故选： A 5函数 f（ x） =的一个零点 落在下列哪个区间（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 根据函数的实根存在定理，要验证函数的零点的位置，只要求出函数在区间的两个端点上的函数值，即可得到结论 【解答】 解： f（ 1） = 1 0 f（ 2） =1 = f（ 1） f（ 2） 0 根据函数的实根存在定理得到函数 的 一个零点落在（ 1， 2）上 故选 B 6如图，在正方体 ， E 为 中点，则异面直线 成的角为（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定 【分析】 连接 明 平面 得 用 C，即可得出结论 【解答】 解：连接 面是正方形，则 何体是正方体，可知 ， 平面 面 异面直线 成角是 90 故选： D 第 7 页（共 16 页） 7今有一组数据如下： t v 2 以下四个模拟函数中，最合适这组数据的函数是（ ） A v= C D v=2t 2 【考点】 变量间的相关关系 【分析】 观察表中的数据发现随着 t 的增加，数据 v 的递增速度越来越快，可以从此变化趋势上选择恰当的函数关系 【解答】 解：把 t 看作自变量， v 看作其函数值，从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快 对照四个选项， A 选项是对数型函数，其递增速度不断变慢 B 选项随着 t 的增大 v 变小，故不能选 D 选项以一个恒定的幅度变化，其图象是直线型的，符合本题的变化规律 C 选项是二次型，对比数据知，其最接近实验数据的变化趋势 故应选 C 8已知 （ a 0， b 0 且 a 1， b 1），则函数 f（ x） =函数 g（ x） = ） A B CD 【考点】 对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质 【分析】 由 （ a 0， b 0 且 a 1， b 1），得 ，从而得到 g（ x） =f（ x） =为反函数，从而得到答案 第 8 页（共 16 页） 【解答】 解： （ a 0， b 0 且 a 1， b 1）， ， b= ， g（ x） = = = 函数 f（ x） =函数 g（ x） = 为反函数， 二者的图象关于直线 y=x 对称， 故选 B 9点 P（ 2， 1）为圆（ x 1） 2+5 的弦 中点，则直线 方程为（ ） A x+y 1=0 B 2x+y 3=0 C x y 3=0 D 2x y 5=0 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 由垂径定理，得 点与圆心 C 的连线与 相垂直，由此算出 斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线 方程 【解答】 解： 圆（ x 1） 2+5 的弦，圆心为 C（ 1， 0） 设 中点是 P（ 2， 1）满足 此， 斜率 k= = =1 可得直线 方程是 y+1=x 2，化简得 x y 3=0 故选： C 10把正方形 对角线 起，当以 A、 B、 C、 D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线 平面 成的角的大小为（ ） A 90 B 60 C 45 D 30 【考点】 空间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 欲使得三棱锥体积最大，因为三棱锥底面积一定，只须三棱锥的高最大即可，即当平面 平面 ，三棱锥体积最大，计算可得答案 【解答】 解：如图，当平面 平面 ，三棱锥体积最大 取 中点 E，则 平面 故直线 平面 成的角为 ， 5 故选 C 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 第 9 页（共 16 页） 11幂函数的图象经过点（ 4， 2），那么 的值是 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【分析】 先设出幂函数解析式来，再通过经过点（ 4， 2），解得参数，从而求得其解析式，再代入 求值 【解答】 解：设幂函数为： y= 幂函数的图象经过点（ 4， 2）， 2=4 = = 故答案为： 12经过（ 3， 4），且与圆 x2+5 相切的直线的方程为 3x+4y 25=0 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 由点在圆上，设过该点与圆相切的直线方程的斜率为 k，利用点到直线的距离公式，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于 k 的方程，求出方程的解得到k 的值，由 k 的值写出切线方程即可 【解答】 解：因为点（ 3， 4）在圆 x2+5 上， 设切线方程的斜率为 k，则切线方程为 y 4=k（ x 3），即 y 3k+4=0， 则圆心（ 0， 0）到切线的距离为 d= =5，解得 k= ， 则切线方程为 x y+ +4=0，即 3x+4y 25=0 故答案为： 3x+4y 25=0 13某几何体的三视图如图，其中正视图与侧视图上半部分为半圆，则该几何体的表面积为 7 【考点】 由三视图 求面积、体积 第 10 页（共 16 页） 【分析】 由三视图知几何体上部是半球，下部是圆柱，且圆柱的底面圆的直径为 2，圆柱的高为 2，半球的半径为 1，把数据代入面积公式计算可得答案 【解答】 解：由三视图知几何体上部是半球，下部是圆柱，且圆柱的底面圆的直径为 2，圆柱的高为 2； 半球的半径为 1， 几何体的表面积 S= 12+2 1 2+2 12=+4+2=7 故答案是 7 14若奇函数 y=f（ x）的定义域为 4， 4，其部分图象如图所示，则不 等式 f（ x） 2x 1） 0 的解集是 （ 1， 2） 【考点】 其他不等式的解法；奇偶函数图象的对称性 【分析】 结合图象利用奇函数的图象关于原点对称可得 f（ x） 0 的解集、 f（ x） 0 的解集，再求出 2x 1） 0 的解集以及 2x 1） 0 的解集，不等式即 或 ，由此求得原不等式的解集 【解答】 解：由图象并利用奇函数的图象关于原点对称的性质可得， f（ x） 0 的解集为（2， 0） （ 2， 4）， f（ x） 0 的解集为（ 4， 2） （ 0， 2） 由于不等式 2x 1） 0 的解集为 （ 1， +），不等式 2x 1） 0 的解集为 （ 0，1） 由 f（ x） 2x 1） 0 可得 或 解得 x ，或 1 x 2，故不等式 f（ x） 2x 1） 0 的解集是（ 1， 2）， 故答案为 （ 1， 2） 15已知直线 a、 b、 c 以及平面 、 ，给出下列命题： 若 a 且 b ，则 a b； 若 ， c ，则 c ； 若 a b， a ，则 b ； 若 ， a ，则 a 若 a c， b c，则 a b 或 a、 b 异面或 a、 b 相交 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都填上） 第 11 页（共 16 页） 【考点】 命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【分析】 根据线面平行的几何特征及线线位置关系的定义，可判断 ，根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，可判断 ；根据 a b， a 时，可能 b，可判断 ；根据面面垂直 及线面平行的几何特征及线面垂直的判定方法，可判断 ；根据线线垂直的几何特征，及空间中直线与直线位置关系的定义，可判断 【解答】 解：若 a 且 b ，则 a 与 b 可能平行，可能相交，也可能异面，故 错误； 若 ， c ，因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个，则 c ，故 正确； 若 a b， a ，则 b 或 b，故 错误； 若 ， a ，则 a 与 可能平行，可能相交（包括垂直），也可能线在面内，故 错误； 若 a c， b c，则 a b 或 a、 b 异面或 a、 b 相交，故 正确； 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，总分 75 分，请把解答写在指定方框内，否则不记分） 16分别求满足下列条件的直线方程 （ ）过点（ 0， 1），且平行于 4x+2y 1=0 的直线； （ ）与 x+y+1=0 垂直，且过点 P（ 1， 0）的直线 【考点】 直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系 【分析】 （ ）根据直线的平行关系代入点斜式方程即可；（ ）根据直线的垂直关系设出直线方程，求出即可 【解答】 解：（ ）所求直线行于 所求直线的斜率为 2，又过点为（ 0， 1） ， 由点斜式可得直线方程为 y+1= 2（ x 0）， 即 2x+y+1=0； （ ）所求直线直线与 直， 可设直线方程为 x y+m=0， 过点 P（ 1， 0），则 m=1， 故所求直线方程为 x y+1=0 17已知：函数 f（ x） = +3x 9）的定义域为 A，集合 B=x|x a 0， a R （ 1）求：集合 A； （ 2）求： AB 【考点】 交集及其运算；函数的定义域及其求法 【分析】 （ 1）根据负数没有算术平方根，对数函数性质求出 f（ x）定 义域 A 即可； （ 2）表示出 B 中不等式的解集确定出 B，根据 a 的范围分类讨论求出 AB 即可 【解答】 解：（ 1）由题意得： ，即 ， 解得： 2 x 4， 则 A=（ 2， 4； （ 2）由 B 中不等式解得： x a， a R，即 B=（ ， a）， 当 a 2 时， AB=； 第 12 页（共 16 页） 当 2 a 4 时， AB=（ 2， a）； 当 a 4 时， AB=（ 2， 4 18某校办工厂生产学生校服的固定成本为 20000 元，每生产一件 需要增加投入 100 元，已知总收益 R（ x）满足函数 R（ x） = ，其中 x 是校服的月产量，问： （ 1）将利润表示为关于月产量 x 的函数 f（ x）； （ 2）当月产量为何值时，工厂所获利润最大？最大利润为多少元？（总收益 =总成本 +利润） 【考点】 函数模型的选择与应用 【分析】 （ 1）由题意，由总收益 =总成本 +利润可知，分 0 x 400 及 x 400 求利润，利用分段函数表示； （ 2）在 0 x 400 及 x 400 分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值从而得到 最大利润 【解答】 解：（ 1）由题意， 当 0 x 400 时， f（ x） =400x 20000 100x =300x 20000； 当 x 400 时， f（ x） =80000 100x 20000 =60000 100x； 故 f（ x） = ； （ 2）当 0 x 400 时， f（ x） =300x 20000； 当 x= =300 时， f（ x） 5000； 当 x 400 时， f（ x） =60000 100x 60000 40000=20000； 故当月产量为 300 件时，工厂所获利润最大，最大利润为 25000 元 19长方体 ， ， C=2， O 是底面对角线的交点 （ ）求证： 平面 （ ）求证： 平面 （ ）求三棱锥 体积 第 13 页（共 16 页） 【考点】 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面 垂直的判定 【分析】 （ ）直接根据 及 平面 ，即可得到结论； （ ）先根据条件得到 平面 1O 通过求先线段的长度推出 可证明 平面 （ ）结合上面的结论，直接代入体积计算公式即可 【解答】 解：（ ） 证明：依题意： 平面 平面 ） 证明：连接 平面 O 在 ， 平面 C=2 ， 同理： ， 1 平面 ）解： 平面 所求体积 = 20已知圆 方程为 x2+4x+22m+1=0 （ 1）求当圆的面积最大时圆 标准方程； （ 2）求（ 1）中求得的圆 于直线 l： x y+1=0 对称的圆 方程 第 14 页（共 16 页） 【考点】 直线与圆的位置关系；圆的标准方程 【分析】 （ 1）根据圆的面积最大时半径最大，写出圆 径 r 的解析式，求出半径最大值以及对应的圆 方程，再化为标准方程； （ 2）求出圆 圆心坐标关于直线 l 的对称点，即可写出对称圆圆 方程 【解答】 解：（ 1）圆 面积最大，即圆的半径最大， 则圆 半径为 ， 即 ， 因此当 m=1 时圆 半径最大，最大值为 2， 此时圆 方程为 x2+4x+2y+1=0， 化为标准方程是（ x 2） 2+（ y+1） 2=4； （ 2）由（ 1）知圆 圆心坐标是（ 2， 1），半径为 2，设圆 圆心为（ a， b）， 则 中点坐标为 ，直线 斜率为 ， . 由题意，直线 l 垂直平分线段 ， 解得 ； 所以，所求圆 方程为（ x+2） 2+（ y 3） 2=