2018年上海市徐汇区高三二模数学卷

2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学 2018.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1已知全集，集合，则 . 2在的二项展开式中，常数项是 . 3函数的定义域为_4已知抛物线的准线方程是，则 .5若一个球的体积为，则该球的表面积为_6已知实数满足 则目标函数的最小值为_7函数的最小正周期是_8若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于 .9将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是，记第二颗骰子出现的点数是，向量，向量，则向量的概率是 .10已知直线.当在实数范围内变化时，与的交点恒在一个定圆上，则定圆方程是 .11若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是 12已知向量满足、，若对任意的，都有成立，则的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13在四边形中，且0，则四边形是-（ ）（A）菱形 （B）矩形 （C）直角梯形 （D）等腰梯形14. 若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且， ()，则复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于-（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限15在中，“”是“”的-（ ）（A） 充分非必要条件（B）必要非充分条件（C） 充要条件 （D）既不充分也不必要条件16如图，圆分别与轴正半轴，轴正半轴相切于点，过劣弧上一点作圆的切线，分别交轴正半轴，轴正半轴于点，若点是切线上一点，则周长的最小值为-( )（A）10 （B）8 （C） （D）12三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图在长方体中，点为的中点，点为的中点（1）求长方体的体积；（2）求异面直线与所成角的大小（用反三角函数表示）18(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速20公里小时，送快件到处，已知（公里），是等腰三角形，（1） 试问，快递小哥能否在50分钟内将快件送到处？（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均时速60公里小时，问，汽车能否先到达处？19(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)已知函数，其定义域为， (1) 当时，求函数的反函数； (2) 如果函数在其定义域内有反函数，求实数的取值范围20(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.(1)求的值；(2)若直线过点，求证：；(3)设直线与轴的交点为(为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由21(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)已知数列的前项和满足，且，数列满足，其前9项和为36(1)求数列和的通项公式；(2)当为奇数时，将放在的前面一项的位置上；当为偶数时，将放在前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：，求该数列的前项和；(3)设，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出(用表示)；若不存在，请说明理由2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准 2018.4一 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 220 3 4 567 8 9 10 11 12 二选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题分）13A14D15B16A三 解答题：（本大题共5题，满分74分）17(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1） 连、是直角三角形，是长方体，又，平面，又在中，-6分（2）解法一：如图建立空间直角坐标系则、，所以、，10分则向量与所成角满足异面直线与所成的角等于14分解法二：取的中点，连、，四边形为平行四边形，等于异面直线与所成的角或其补角-9分，得，异面直线与所成的角等于-14分18(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】（1）（公里），中，由，得（公里）-2分于是，由知，快递小哥不能在50分钟内将快件送到处-6分（2）在中，由，得（公里），-8分在中，由，得（公里），-10分由（分钟）知，汽车能先到达处-14分19(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)【解】(1) ； -6分(2) 若，即，则在定义域上单调递增，所以具有反函数；-8分 若，即，则在定义域上单调递减，所以具有反函数；-10分 当，即时，由于区间关于对称轴的对称区间是，于是当或，即或时， 函数在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数综上，-14分20(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)【解】(1)设，由于，所以，因为在椭圆上，于是，即，所以.-4分(2)设直线，由得，于是，-6分10分 (3)由于直线与轴的交点为，于是，联立直线与椭圆的方程，可得，于是.-12分因为直线，直线，两式相除，可知，于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上16分21(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)【解】答案：(1)因为，于是数列是首项为1，公差为的等差数列，所以，即，当时，又因为，所以.-2分又因为，于是数列是等差数列，设的前项和为，由于，则，由于，所以-4分(2)数列的前n项和，数列的前项和-5分当时，；-6分当时，；-7分当时，；-8分所以，其中-10分(3)由(1)可知，.若对于任意给定的正整数，存在正整数，使得成等