§10.3二项式定理.ppt

,山东金榜苑文化传媒集团,步步高大一轮复习讲义,二项式定理,忆一忆知识要点,1.二项式定理(ab)n_(nN*).这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数_叫做_.式中的_叫做二项展开式的_,用Tk1表示,即展开式的第_项；Tk1_.,二项式系数,通项,忆一忆知识要点,2.二项展开式形式上的特点(1)项数为_.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_.(3)字母a按_排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按_排列,从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从,一直到.,降幂,升幂,3.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端_的两个二项式系数相等，即.(2)增减性与最大值：二项式系数,当k_时,二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间的一项_取得最大值.当n是奇数时,中间两项_和_相等,且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即_.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即_.,“等距离”,忆一忆知识要点,C,求展开式中的特定项或特定项的系数,求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行,化简通项公式后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可,.,【例2】在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和,二项式系数和或各项的系数和的问题,解:设(2x3y)10a0 x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和即为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和a0a2a4a10.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.,(1)“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可;对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4,偶数项系数之和为a1a3a5.,二项式定理的应用,二项式定理的应用,利用二项式定理解决整除问题时,基本思路是:要证明一个式子能被另一个式子整除,只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此,一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开,此时常用“配凑法”、“消去法”结合有关整除知识来处理.,12,混淆二项展开式的项与项数以,及二项式系数与项的系数致误,学生错解展示,(1)本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念(2)解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；项数和项的不同(3)本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别,1.通项公式最常用，是解题的基础2.对三项或三项以上的展开问题,应根据式子的特点，转化为二项式来解决,转化的方法通常为集项、配方、因式分解,集项时要注意结合的合理性和简捷性.3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对k的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.,4.性质1是组合数公式的再现,性质2是从函数的角度研究二项式系数的单调性,性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和.,5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用,1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错3.通项公式是第k1项而不是第k项,作业布置,作业纸:,课时规范训练:P.1-2,预祝各位同学，2013年高考取得好成绩!,一、选择题,二、填空题,A组专项基础训练题组,三、解答题,一、选择题,二、填空题,B组专项能力提升题组,三、解答题,排列、组合,计数原理,计数原理,二项式定理,组合,通项,二项式定理,二项式系数性质,分类计数原理,分步计数原理,排列,排列的定义,排列数公式,组合的定义,组合数公式,组合数性质,应用,1.二项式定理(公式),通项为第r+1项：,主要性质和主要结论：,6.二项式定理的应用：解决有关展开式中的指定项、近似计算、整除问题、证明某些组合数不等式、结合放缩法证明与指数有关的不等式.,忆一忆知识要点,2.二项式系数的性质,(1)对称性：与首末两端_的两个二项式系数相等，即,“等距离”,(2)增减性与最大值：二项式系数，当_时,二项式系数是递增的；当_时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，中间的一项_取得最大值;当n是奇数时，中间两项_和_相等，且同时取得最大值.,忆一忆知识要点,(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n.,(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.,(3)各二项式系数的和,3.二项式系数的性质,忆一忆知识要点,解法一:,例1.求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数,所以x的系数为,【点评】三项式不能用二项式定理,必须转化为二项式,解法二：因为(x2十3x十2)5(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2)(x2十3x十2),例1.求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数,所以(x2十3x十2)5展开式的各项是由五个因式中各选一项相乘后得到的.,则它的一次项只能从五个因式中的一个取一次项3x,另四个因式中取常数项2相乘得到.,所以x的系数为240.,解法三:,所以含x的项为,例1.求(x2十3x十2)5的展开式中x的系数.,【1】展开式中x4的系数是_.,144,【2】多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是().A.120B.-120C.100D.-100,B,补偿练习,【3】展开式中的常数项是_.,补偿练习,【4】,的展开式中x2的系数是_.,在(x-1)6的展开式中,含有x3项的系数为,原式,-20,补偿练习,【5】三项式转化为二项式,再利用二项式定理逐项分析常数项得,=1107.,补偿练习,1107,【6】的展开式中x6项的系数.,解:,的通项是,的通项是,的通项是,由题意知,解得,所以x6的系数为:,【点评】对于较为复杂的二项式与二项式乘积,利用两个通项之积比较方便运算.,补偿练习,解:设,例2.已知,(3)因为是负数,例2.已知,反馈演练,2.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数.,最大的系数呢？,解:设,展开式各项系数和为,【点评】求展开式中各项系数和常用赋值法:令二项式中的字母为1.,上式是恒等式,所以当且仅当x=1时,【3】求(2x2-1)n的展开式中各项的系数和.,反馈演练,例3.近似计算:|x|1时，,【点评】要注意误差绝对值应小于精确度的一半,否则应该加项.,整除性的证明、求余数.,解：,例4.用二项式定理证明能被8整除.,能被8整除,能被8整除.,【1】如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+37n5天后的那一天是星期几？,所以23n+37n5被7除所得余数为6,所以对于任意自然数n，经过23n+37n5后的一天是星期日,补偿练习,【2】求证能被64整除.,补偿练习,反馈演练,【1】已知且则自然数n的值为_.,8,-15120,【2】(x+3y-z)8中含x2y3z3的项的系数是_.,反馈演练,【3】已知(10+xlgx)5的展开式中第4项为106，则x的值是_.,【4】已知且则自然数n的值为_.,8,反馈演练,5.的值为()A.2nB.22n-1C.2n-1D.22n-1-1,令x=1得,两式相加，得,D,令x=-1得,【1】(07江西)设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+a11的值为().A.-2B.-1C.1D.2,A,-1,杨辉,详解九章算法中记载的表,数学趣苑,在国外，这个表被称为帕斯卡三角。认为是法国数学家帕斯卡在17世纪最早发现这一规律的。而在我国，南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法中就不仅有了这个的图表，还清楚地写着贾宪用此术。贾宪是我国11世纪的数学家，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就。但是，杨辉，贾宪的成就只有详解九章算法中有记载而此书早已失传，仅在永乐大典中抄录了部分内容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据。,数学趣苑,永乐大典是极其珍贵的国宝，然而1900年，八年联军侵占北京，把翰林院中的永乐大典残本掠走，运往英国。后来，中国数学家李俨的外国朋友在英国见到