数理金融基本数学方法

西方经济学微观第2章1,陕西科技大学理学院,第二章基本数学方法,数理金融,数学方法的基本应用原理和应用技巧,一、函数和微积分的应用二、线性代数的应用三、随机过程的应用,数理金融第2章2,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,一、数理金融中的指数和对数函数,（一）连续复利和实际利率,给定本金P，每年以利率i计算复利一次，t年后终值F为：,主要学习函数和微积分在利率分析、边际分析、银行按揭贷款等方面的应用,如果每年计算复利m次，t年后终值为：,数理金融第2章3,陕西科技大学理学院,如果利率为100%，一年内连续计算复利，终值为：,对于非100%的利率r，及非一年的时期t，终值为：,对于负增长率，如折旧或贬值，公式中的i或r为负数。,例：求100元本金，以10%复利两年的终值。（1）每年计算复利一次（2）半年计算复利一次（3）连续复利计算,第一节函数和微积分的应用,数理金融第2章4,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,（二）实际利率与名义利率,相同的本金及相同的名义利率但终值不同，即实际利率不同,实际利率记为：ie，则,可得：,若为连续复利，m，有：,例：计算上例中三种情况的实际利率,数理金融第2章5,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,（三）银行按揭贷款,先在银行贷款，然后分期还款；有等额偿还和等本金偿还。银行按揭可归纳为数学问题：贷款P元，年利率r，分n期等额偿还，每期应还多少？,一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r，月息为i=r/12，设每期偿还A元，则n期还款折现的总和应等于贷款总和，有现值公式知：,上式又成为资金还原公式，后一个表达式成为资金还原系数常用（A/P，i，n）表示，可查福利表计算,数理金融第2章6,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,例：某人贷款金额为20万元，年利息为6%，计划办理5年银行按揭，每个月月末影响银行还款多少？,问题（1）还款总数为多少？（2）所付利息总额为多少？（3）若为月初还款，如何计算？（4）若遇到利息调整，如何计算？,数理金融第2章7,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,（四）分期付款,（1）成交时取货，企业需计算现值（2）货款付清后取货，消费者计算终值（3）向银行借款购买商品，以后分期偿还（4）分期付款在半途变更付款条件,例：汽车每辆销售价100000元，成交时付款34000元，其余的分11个月付款，即每月6000元，试以月息0.42%求其现值。,数理金融第2章8,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,（五）银行贴现,企业间存在商业信用，企业可以签发远期汇票，当未到期汇票的持有者向银行要求兑现，就需要计算贴息额和兑现额,设票面金额为S，离到期时间为n天，日息为R，则应的兑现额：,银行实际业务贴付利息和实得兑现额为：,数理金融第2章9,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,例：面值5000元的汇票，20天后到期，银行月息为0.6%，求贴息额与兑现额,应得兑现额是4980.08应贴利息：19.92实贴利息：20实际兑现额：4980,数理金融第2章10,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,（六）利用指数、对数函数计算时间最优问题,例：为投资买入的土地以下面的公式增值：,在连续复利下贴现率为0.09，为使土地的现值最大，应持有多久？,求解此问题的关键是求出现值P。,数理金融第2章11,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,二、数理金融中微分方法的应用,（一）边际效用函数分析,例：已知总成本函数TC=Q3-18Q2+750Q，利用微分知识做出总成本、平均成本和边际成本三者关系的图形。,（二）经济函数最优化,例：已知一个企业的总收益水平是R=4000Q-33Q2，总成本函数C=2Q3-3Q2+400Q+500，设Q0，求最大利润,数理金融第2章12,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,（三）划拨价格的决定机制,假定某跨国公司由三个部门组成，两个上游部门，一个下游部门。两个上游部门的产量为Q1和Q2，相应成本为C1和C2，下游部门的产量为Q，Q=f（K，L，Q1，Q2），公司除了上游部门的成本外，还有下游部门的成本Cd（Q）；两个上游部门生产的中间产品的划拨价格分别为P1和P2，下游部门的销售收入为R；当三个部门各自达到利润最大化时，公司的利润最大化。,设该企业的总利润为,求其最大值,数理金融第2章13,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,利用多元函数求极值：,为了使母公司利润最大化,数理金融第2章14,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,两个上游部门的利润分别为,利润最大化,因此划拨价格制定的条件是：,数理金融第2章15,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,例：某生产赛车的跨国公司有两个部门组成，上游生产引擎下游组装赛车。该车需求曲线为：P=20000-Q。已知上游部门的成本是CE=2QE2，下游部门的成本为CA=8000Q，求引擎的划拨价格PE，赛车的产量Q，引擎的产量QE和赛车的价格PA？,数理金融第2章16,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,三、数理金融中积分方法的应用,（一）净投资时间积分的测度（连续变换）,净投资I定义为时间t内资本存量构成K的变化率,例如：,数理金融第2章17,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,例：给定净投资率，且当t=0时初始资本存量为150，求资本函数。,例：边际储蓄倾向，当收入是25时，储蓄减少3.5，既当Y=25时，s=-3.5，求储蓄函数。,（二）消费者剩余和生产剩余的测度（略）,数理金融第2章18,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,四、数理金融中微分方程和差分方程的应用,（一）运用微分方程决定动态平衡点,微分方程可用与决定市场均衡模型的动态平衡，它描述出在不同的宏观经济条件下，价格增长的时间路径，也可以估计资本函数，并根据边际成本和边际收入函数估计总收益函数,例：,假定市场中价格的变化率dP/dt是正的，它是关于超额需求Qd-Qs的线性函数。,分析在什么条件下，当t时，P(t)将趋近与上式均衡价格,这个条件就是市场上的动态价格稳定的条件。,数理金融第2章19,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,只要hb，拥有正斜率需求函数或负斜率供给函数的市场也将是动态稳定的。,数理金融第2章20,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,（二）运用可分离变量微分方程求投资函数,投资的变化率将影响经济的总需求和生产能力，运用微分方程寻找经济增长的时间路径，并沿该路径增长,例：若边际储蓄倾向和边际资本产出变化率K都是常数，计算可达到预期增长所需的投资函数。,总体需求的变化等于投资的变化乘以1/s，,生产能力的变化等于资本存量的变换乘以边际资本产出比率的倒数,数理金融第2章21,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,当生产力充分利用时,投资量必须以由s/K决定的常数比率即储蓄率与资本产出率之比增长,数理金融第2章22,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,（三）运用差分方程制定滞后收入决定模型,差分方程表示的是因变量和滞后的自变量之间的关系，这些变量在离散的时间区间内变化。假定消费量是前一期收入的函数，那么,数理金融第2章23,陕西科技大学理学院,第一节函数和微积分的应用,因为边际消费倾向c不等于1，并且假设t=0时，假定Yt=Y0，,那么这条时间路径的稳定性取决于c，因为时间路径将收敛。因为c0，所以非振荡，均衡是稳定的，并且当t时，这时收入的暂时均衡。,例：给出,数理金融第2章24,陕西科技大学理学院,第二节线性代数的应用,一、数理金融中矩阵的应用,矩阵是数、参数或变量的矩阵排列，通过矩阵的加减乘除运算以及矩阵转置、逆矩阵的相互关系，可以求解线性方程组。解决相关计算问题。,（一）市场均衡水平分析（ISLM分析）,IS是表示商品市场均衡的利率和收入水平的不同组合的点的轨迹；LM是表示货币市场均衡的利率和收入水平的不同点的组合轨迹。ISLM分析试图找到使商品市场和货币市场都处于均衡状态的收入和利率水平，可通过方程组完成,例：对于一个二部门经济，当Y=C+I，商品市场是均衡的，当货币供给（Ms）等于货币需求（Md）时，货币市场是均衡的，货币需求依次有货币的预备交易需求（Mt）和特殊需求（Mz）组成，假设,数理金融第2章25,陕西科技大学理学院,第二节线性代数的应用,（二）证券组合收益率和风险的测度,在证券组合分析中，证券的种类繁多，需要运用矩阵方法测度多种证券组合的收益率和风险。,例：某证券组合有一个风险证券组合和一个无风险证券组合构成，风险证券组合中包括两个证券A、B，他们的预期收益率分别为10%和8%，证券A和B的方差为协方差为，两种证券权重均为0.5，无风险证券的预期收益率为5%，在证券组合中的权重为0.25，要求计算该证券组合的总预期收益率和风险,数理金融第2章26,陕西科技大学理学院,第二节线性代数的应用,二、特殊行列式和矩阵在数理金融中的应用,（一）雅克比行列式|J|,雅克比行列式既可以用来检测线性函数的相关性，也可以检验非线性函数的相关性。雅克比行列式|J|是由方程的所有一阶偏导数按一定顺序排列组成的，已知,数理金融第2章27,陕西科技大学理学院,第二节线性代数的应用,例：已知利用雅可比行列式判断其函数相关性。,数理金融第2章28,陕西科技大学理学院,第二节线性代数的应用,（二）海赛行列式|H|,海赛行列式|H|是由所有的二阶偏导数构成的，其中二阶直接偏导数位于主对角线上，交叉偏导数位于非对角线的位置。利用海赛行列式，可以方便地检验二阶条件。,若|H1|0，|H2|0，此时|H|被称为正定的，完全能胜任极小值的二阶条件的角色。,若|H1|0，此时|H|被称为负定的，完全能胜任极大值的二阶条件的角色。,数理金融第2章29,陕西科技大学理学院,第二节线性代数的应用,例：,数理金融第2章30,陕西科技大学理学院,第二节线性代数的应用,（三）最优化问题中的海赛行列式,以三元函数为例,若|H1|0，|H2|0，|H3|0，此时|H|被称为正定的，完全能胜任极小值的二阶条件的角色。,数理金融第2章31,陕西科技大学理学院,第二节线性