第三节--逆矩阵.ppt

逆矩阵的概念,主要内容,矩阵可逆的充要条件,可逆矩阵的性质,举例,第三节逆矩阵,引例,矩阵多项式,补充例题,一、引例,定义7设是n阶方阵，若存在n阶方,阵，使得,ABBAE，（）,则称矩阵A可逆，且称B是A的逆矩阵，记作,BA1,如果不存在满足（）的矩阵B，则称矩阵,A是不可逆的,二、逆矩阵的概念,现在的问题是，矩阵A满足什么条件时可逆？,可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？,可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题,三、矩阵可逆的充要条件,定理1如果n阶矩阵可逆，则它的逆,矩阵是唯一的,定理n阶矩阵可逆的充要条件是,|0.如果可逆，则,其中为矩阵的伴随矩阵.,由,推论若AB=E（或BA=E），则,B=A-1.,可得下述推论：,若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|0，,则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵.,说明，矩阵A可逆与矩阵非奇异是,等价的概念.,定理不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而,且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为,伴随矩阵法.,四、可逆矩阵的性质,（2）,设A,B,Ai(i=1,2,m)为n阶可逆矩阵，,k为非零常数，则,A-1,kA,AB,A1A2Am,AT,也都是可逆矩阵，且,（1）(A-1)-1=A;,（3）(AB)-1=B-1A-1,(A1A2Am)-1=Am-1A2-1A1-1;,（4）(AT)-1=(A-1)T;,（5）,（6）(Am)-1=(A-1)m,m为正整数.,例10求二阶矩阵,的逆矩阵.,五、举例,例11用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：,单击这里开始,例12解矩阵方程AXB=C，其中,例13设,求An.,六、矩阵多项式,设(x)=a0+a1x+amxm为x的m次多,项式，A为n阶方阵，记,(A)=a0E+a1A+amAm，,(A)称为矩阵A的m次多项式.,1.定义,从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相,乘或分解因式.,例如,(E+A)(2EA)=2E+AA2,(EA)3=E3A+3A2A3.,因为矩阵Ak、Al和E都是可交换的，所以,矩阵A的两个多项式(A)和f(A)总是可交换的，,即总有,(A)f(A)=f(A)(A)，,2.性质,3.计算方法,（1）如果A=PP1，则Ak=PkP1，从而,(A)=a0E+a1A+amAm,=Pa0EP1+Pa1P1+PammP1,=P()P1.,（2）如果=diag(1,2,n)为对角矩阵,则，k=diag(1k,2k,nk)，从而,()=a0E+a1+amm,例14设,求(A)=A3+2A23A.,例b1设方阵A满足,证明,都可逆，并求,七、补充例题,例b2设,求B.,例b3设n阶矩阵A,B,A+B均可逆,证明,(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.,例b4设A为n(n2)阶方阵,证明,|A|=|A|n-1.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.,本节内容已结束!若想