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文档简介
,小结与复习,第十七章勾股定理,优翼课件,八年级数学下(RJ)教学课件,要点梳理,考点讲练,课堂小结,课后作业,要点梳理,1.如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么,a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,在直角三角形中才可以运用,2.勾股定理的应用条件,一、勾股定理,3.勾股定理表达式的常见变形:a2c2b2,b2c2a2,,二、勾股定理的逆定理,1.勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.,满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.,2.勾股数,3.原命题与逆命题,如果两个命题的题设、结论正好相反,那么把其中一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题.,例1在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,AC=20,BC=15.(1)求AB的长;(2)求BD的长,解:(1)在RtABC中,ACB=90,(2)方法一:SABC=ACBC=ABCD,2015=25CD,CD=12在RtBCD中,,考点讲练,方法二:设BD=x,则AD=25-x.,解得x=9.BD=9.,对于本题类似的模型,若已知两直角边求斜边上的高常需结合面积的两种表示法起来考查,若是同本题(2)中两直角三角形共一边的情况,还可利用勾股定理列方程求解.,1.RtABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2的值为()A.8B.4C.6D.无法计算,A,3.一直角三角形的三边分别为2、3、x,那么以x为边长的正方形的面积为_.,2.如图,C=ABD=90,AC=4,BC=3,BD=12,则AD的长为_,13或5,13,4已知RtABC中,C=90,若a+b=14cm,c=10cm,求ABC的面积.,解:a+b=14,(a+b)2=196.又a2+b2=c2=100,2ab=196-(a2+b2)=96,ab=24,例2我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?,解:如图,设水池的水深AC为x尺,则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺,,在直角三角形ABC中,BC=5尺,由勾股定理得BC2+AC2=AB2,即52+x2=(x+1)2,25+x2=x2+2x+1,,2x=24,,x=12,x+1=13.,答:水池的水深12尺,这根芦苇长13尺.,D,B,C,A,例3如图所示,一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点C1处,问怎样走路线最短?最短路线长为多少?,解析:蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点,有三种方式:,沿ABB1A1和A1B1C1D1面;沿ABB1A1和BCC1B1面;沿AA1D1D和A1B1C1D1面,把三种方式分别展成平面图形如下:,解:在RtABC1中,,在RtACC1中,,在RtAB1C1中,,沿路径走路径最短,最短路径长为5.,化折为直:长方体中求两点之间的最短距离,展开方法有多种,一般沿最长棱展开,距离最短.,5.现有一长5米的梯子架靠在建筑物的墙上,它们的底部在地面的水平距离是3米,则梯子可以到达建筑物的高度是_米,4,在RtABO中,OA2米,DCOB1.4米,AB2221.422.04.42.61.4,1.421.96,2.041.96,答:卡车可以通过,但要小心,解:如图,过半圆直径的中点O,作直径的垂线交下底边于点D,取点C,使CD1.4米,过C作OD的平行线交半圆直径于B点,交半圆于A点.,6.如图,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现有一辆卡车装满家具后,高4米,宽2.8米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道?,7.在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.(1)此时快艇航行了多少米(即AB的长)?,A,B,60,45,C,解:根据题意得AOC=30,COB=45,AO=1000米.AC=500米,BC=OC.在RtAOC中,由勾股定理得BC=OC=,在O处的某海防哨所发现在它的北偏东60方向相距1000米的A处有一艘快艇正在向正南方向航行,经过若干小时后快艇到达哨所东南方向的B处.(2)距离哨所多少米(即OB的长)?,A,B,60,45,C,解:在RtBOC中,由勾股定理得,例4在ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,2c-b=12,求ABC的面积,解:由题意可设a=3k,则b=4k,c=5k,2c-b=12,10k-4k=12,k=2,a=6,b=8,c=10,62+82=102,a2+b2=c2,ABC为直角三角形,ABC的面积为68=24,例5B港有甲、乙两艘渔船,若甲船沿北偏东60方向以每小时8nmile的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以每小时15nmile的速度前进,2h后,甲船到M岛,乙船到P岛,两岛相距34nmile,你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?,解:甲船航行的距离为BM=16(nmile),乙船航行的距离为BP=30(nmile)162+302=1156,342=1156,BM2+BP2=MP2,MBP为直角三角形,MBP=90,乙船是沿着南偏东30方向航行的,8.下列各组数中,是勾股数的为()A1,2,3B4,5,6C3,4,5D7,8,9,9.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点上,可以判定三角形是直角三角形的有_,(2)(4),C,10.如图,在四边形ABCD中,AB=20cm,BC=15cm,CD=7cm,AD=24cm,ABC=90猜想A与C关系并加以证明,解:猜想A+C=180连接AC.ABC=90,在RtABC中,由勾股定理得AD2+DC2=625=252=AC2,ADC是直角三角形,且D=90,DAB+B+BCD+D=360,DAB+BCD=180,即A+C=180,例6如图,在长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,求ABE的面积.,解:长方形折叠,使点B与点D重合,ED=BE.设AE=xcm,则ED=BE=(9-x)cm,在RtABE中,AB2+AE2=BE2,32+x2=(9-x)2,解得x=4.ABE的面积为34=6(cm2).,勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题;如果只知一边和另两边的关系时,也可用勾股定理求出未知边,这时往往要列出方程求解,11.如图,有一张直角三角形纸片,两直角边AC6cm,BC8cm,将ABC折叠,使点B与点A重合,折痕是DE,则CD的长为,1.75cm,考点四本章解题思想方法,方程思想,例7如图,在ABC中,AB=17,BC=9,AC=10,ADBC于D.试求ABC的面积,解:在RtABD和RtACD中,AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2,设DC=x,则BD=9+x,故172-(9+x)2=102-x2,解得x=6.AD2=AC2CD2=64,AD=8.SABC=98=36,解:当高AD在ABC内部时,如图.在RtABD中,由勾股定理,得BD2AB2AD2202122162,BD16.在RtACD中,由勾股定理,得CD2AC2AD215212281,CD9.BCBDCD25,ABC的周长为25201560.,例8在ABC中,AB20,AC15,AD为BC边上的高,且AD12,求ABC的周长,分类讨论思想,题中未给出图形,作高构造直角三角形时,易漏掉钝角三角形的情况如在本例题中,易只考虑高AD在ABC内的情形,忽视高AD在ABC外的情形,当高AD在ABC外部时,如图.同理可得BD16,CD9.BCBDCD7,ABC的周长为7201542.综上所述,ABC的周长为42或60.,例9有一圆柱体高为8cm,底面圆的半径为2cm,如
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