2014年高考数学三轮复习难点突破教学案：难点03-与三角变换、向量等综合的三角形问题

高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量、函数等的综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的.1. 向量与三角形问题的结合向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“满足运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景.1.1 向量与三角形谈“心”内心（三角形内切圆圆心）：三角形三条内角平分线的交点；外心（三角形外接圆的圆心）：三角形各边中垂线的交点；垂心：三角形各边上高的交点；重心：三角形各边中线的交点，其向量形式为若是内的一点，是的内心；若两点分别是的边上的中点,且 是的外心； 若,则是的重心；若是面内的一点，且，则是的垂心.例1. 若O点是的外心, H点是的垂心,且,求实数m的值.来源:思路分析：在向量式两边同时减去，得，由H点是的垂心，两边同时点积，=0，又O点是的外心，故，所以，该题也可以通过特例解题，取，则O，H分别是斜边中点，和直角顶点，很容易得到.1.2 判断三角形形状三角形的边可以看做向量的模长，三角形的内角可以看做向量的夹角，所以可利用向量的数量积和夹角公式或者其他线性运算，结合平面几何知识来判断三角形的形状例2.的三个内角A、B、C成等差数列，则一定是（ ）A直角三角形B等边三角形 C非等边锐角三角形 D钝角三角形思路分析：由三内角等差可判断，由可得到三角形是等腰三角形，故三角形是等边三角形.1.3 向量运算与三角形问题的综合运用解答这类题，首先向量的基本概念和运算必须熟练，要很好的掌握正弦定理、余弦定理的应用条件，其次要注意把题目中的向量用三角中边和角表示，体现向量的工具作用.例3. 在中，内角所对的边分别为，已知m，n，mn（1）求的大小；（2）若，求的面积思路分析：（1）由，结合向量数量积的定义，可得关于的三角函数关系式，然后对三角函数关系式进行适当变形处理，直到能求出的某个三角函数即可；（2）本题本质上就是一个解三角形的问题，沟通三角形中的边角关系主要是正弦定理和余弦定理，在中，已知，求其面积，可先用余弦定理求出，再用面积公式求出面积，也可先用正弦定理求出，再得，进而用三角形面积公式求出面积.2. 三角函数与三角形问题的结合 三角函数的起源是三角形，所以经常会联系到三角形，这类型题是在三角形这个载体上的三角变换，第一：既然是三角形问题，就会用到三角形内角和定理和正、余弦定理以及相关三角形理论，及时边角转换，可以帮助发现问题解决思路；第二：它也是一种三角变换，只不过角的范围缩小了，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的.例4.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求的取值范围思路分析：（1）中有正切和正弦、余弦，这样的问题一般是“切化弦”，统一为同名三角函数后再利用三角函数的相关公式进行变形解答；（2）利用正弦定理，可化为角的三角函数，再利用，可消去一元，问题于是就转化为三角函数的值域问题. 3. 三角变换、向量、三角形问题的综合高考会将几方面结合起来命题，三角形主要考察正弦定理、余弦定理以及有关的三角形性质；向量主要考察向量的运算、向量的模、向量的夹角、向量的垂直以及向量的共线，体现向量的工具作用，三角变换主要考察求值、化简、变形.例5. 在中，分别是角，的对边，向量，且/ （）求角的大小； （）设，且的最小正周期为，求在区间上的最大值和最小值思路分析：（）求角的大小，由已知/，根据共线向量的充要条件可知，这样得到的关系式即含有边，又含有角，需要进行边角互化，由于求角的值，故利用正弦定理把边化成角，得，通过三角恒等变化，从而求出；（）求在区间上的最大值和最小值，首先对进行恒等变化，把它化为一个角的一个三角函数，由它的最小正周期为，来确定的值，得的解析式，从而求出最大值和最小值4. 实际应用中的三角形问题 在实际生活中往往会遇到关于距离、角度、高度的测量问题，可以借助平面图形，将上述量放在一个三角形中，借助解三角形知识达到解决问题的目的.例6.如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角(1)求BC的长度； (2)在线段BC上取一点P(点P与点B，C不重合)，从点P看这两座建筑物的张角分别为，问点P在何处时，最小？试题分析：(1)由题意不难想到作 于,这样能将条件很好的集中在 和 中,不妨设出一长度和角度,即设,在上述两直角三角形中,由直角三角形中正切的含义即,这样就可得到关于的一元二次方程,就可解得值; (2)先在图中含有和的两个直角三角形中,得到,再由两角和的正切公式可求出关于的表达式,通过化简得，结合基本不等式可求出它的最小值,并由基本不等式成立的条件得到此时的值,即可确定出的位置. 综合上述几个方面的阐述，解三角形问题不是孤立的，而是跟其他相关知识