第五章量子力学的矩阵形式和表象变换考试题.ppt

第五章量子力学的表示变换和矩阵形式，量子态的不同表示，模态变换的表示变换，表示力学量的力学量矩阵，5.1.1坐标表示，通过坐标变换，介绍了量子力学中的表示和表示变换的概念。表示：量子力学中状态和力学量的具体表示称为表示。平面上的任何向量都可以用它们展开，(2)，A1和A2表示向量A在两个分量坐标上的投影。5.1量子态的不同表示，酉变换，(3)，以矩阵形式写成，(5)，R()，称为变换矩阵元，是两个坐标系的基向量之间的标量积。当R被确定时，任意两个坐标系之间的关系也被确定。其转置矩阵表示为(6)，并且变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系是因为R *=R，(7)，5 . 1 . 2表示理论(表示理论)，粒子的状态可以完全由归一化波函数(R，T)来描述，并且(R，T)被称为坐标表示。下面将讨论以动量为变量描述的波函数。(r，t)也可以表示为整个动量空间的积分。C(p，t)是膨胀系数，p(r)是动量的本征函数。(11)、(12)，显然，由c(p，t)描述的粒子状态和由(r，t)描述的粒子状态一样完整。如果c(p，t)是已知的，(r，t)可以被找到，反之亦然。也就是说，c(p，t)和(r，t)描述了粒子状态的相同状态。因此，c(p，t)被称为粒子态的动量表示。如果(r，t)是已知的，c(p，t)可以由上述公式得到，反之亦然。(13)、(14)，那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为，其他观测值的平均值可以类似地表示。如果(x，t)描述的是动量为p的自由粒子的状态，那么在动量表象中，动量为p的粒子的波函数就是一个函数。例如，一维粒子运动的状态是解决方案：由于波函数被归一化，波函数必须首先被归一化以找到1)粒子动量的概率分布；2)粒子的平均动量，动量的概率分布是，动量的平均值是，考虑到任何力学量q的特征值是1，2，n，以及相应的正交特征函数u1 (x)，U2 (x)，联合国(十).那么任何波函数(x)都被q的本征函数展开，下标n代表能级，上述公式的两边都乘以u*m(x)，并积分，而粒子的状态完全由一个完整的集合决定，即能量表示。(16)、(17)和(3)能量表示，因为，因此，它是取对应于机械量q的不同能量特征值的概率，并且可以以列矩阵的形式表示，列矩阵的共轭矩阵是行矩阵，因为波函数被归一化，表示为，例1:一维谐振子的能量表示中不同能量特征值的波函数，n=03:n=1: 因为系统的波函数是正交归一化波函数，表示为，在直角坐标系中，矢量A的方向由三个单位矢量基矢量I、J、K、J和K确定，而幅度由三个分量AX、AY和AZ(基矢量的系数)确定。 在量子力学中，选择f表示，本征函数u1 (x)，U2 (x)，联合国(十)，被认为是一组具有无穷多个的基向量。尺寸由a1 (t)、a2 (t)，一个(t)，系数。因此，量子力学中由状态向量确定的空间是无限维空间函数，而基向量是正交归一化波函数。数学上称为希尔伯特空间。常见的表示法包括坐标表示法、动量表示法、能量表示法和角动量表示法。总之，示例2中，质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F0)中移动，并且运动范围被限制为x0。尝试求解动量表象中的束缚态能级和本征函数。，解：势能是v (x)=FX，总能量是，在动量表象中，x的算子表示为，定态薛定谔方程，e可以用贝塞尔函数求解，基态能级是，练习4.1在动量表象中找到角动量的矩阵元素Lx和L2x的矩阵元素，解：动量表象中Lx的矩阵元素，第一项和第二项也可以导出，然后Lx的矩阵元素， 4.2算子的矩阵表示，让算子f有如下关系：在q表示中，q的特征值是Q1，Q2，Q3，Qn.相应的本征函数是u1 (x)，U2 (x)，un(x)，分别是。(x，t)和(x，t)分别由q表项中q的本征函数展开，代入上述公式，两边乘以u*n(x ),并在整个空间中积分。利用本征函数UN (x)的正交性，引入符号(23)。矩阵Fnm的共轭矩阵表示为，因为量子力学中的算子都是自共轭算子。如果每个矩阵元素在转置矩阵中被它的共轭复数所代替，则得到的新矩阵被称为f的共轭矩阵。例如，Fnm的转置矩阵是，例如，在示例中一维无限势阱中粒子的坐标和动量的能量表示中的矩阵元素(练习4.2)，并且能量表示，例如X，可以被表示为： 动量p表示为：结论：算符在它自己的表示中是对角矩阵，在一维无限势阱能量表示中是能量矩阵元，在一维谐振子能量表示中是能量矩阵元，并且两个矩阵的和是两个矩阵的分量的和。 设C是两个矩阵的和，CMN=BMN(42)，两个矩阵的乘积，矩阵Fpp是动量空间。矩阵F=(FMNMn)称为对角矩阵。当Fmn=1时，称为单位矩阵，表示为I=(Mn)。在动量空间中，算符F的矩阵元素，4.3量子力学公式的矩阵表达式，1。平均值公式以单位矩阵形式写成，(51)，缩写为一维无限势阱。当n=1和n=2时，粒子坐标的平均值，解：2。量子力学中最重要的问题是寻找算符的特征值和本征函数。首先，算子f的本征函数满足(54)、(55)的条件，如果其系数行列式为零，则为非零解，(60)，这是一个线性齐次代数系统和一个长期方程。会有1，2.nn个解，它们是f的特征值。例如，下表面波函数中算子X的特征值，-a，a区间，解：然后，3。矩阵形式的薛定谔方程，薛定谔方程矩阵形式，(81)，(82)，例子：线性谐振子在动量表象中的能量本征函数，线性谐振子的总能量是，解1:在动量表象中，X的算符表示为：然后h算符表示为，定态薛定谔方程表示为，c(p)是动量表象中的本征函数，c(p)可以通过模拟一维谐振子坐标空间的求解方法来求解。当n=0时，解2讨论了从一种表示到另一种表示的一般情况。算子a的正交归一化的特征函数1(r)，2(r)，n(r)；特征函数1 (r)，2 (r)，算子b的正交归一化的n (r );(64)，(66)，1。酉变换(酉变换)，它确定了Fmn和F之间关系的变换矩阵，算子b的本征函数(x)被算子a的本征函数n (x)展开(68)，同样，(70)，(71)，通过应用Hermite共轭矩阵的性质，得到两种表示中算子的变换矩阵，简称为，这是力学量f从a表示到b表示的变换公式。(72)S和S的乘积等于单位矩阵。即，SS=I，S=S-1，(74)，满足上述公式的矩阵称为酉矩阵，酉矩阵表示的变换称为酉变换。物理意义：在不同的表示中是守恒的。如果处于状态n的粒子的概率是1，处于状态n的概率是s n2，那么s 12，s 22，s n2，给出 n状态下粒子的概率分布。下面的公式必须成立。(75)示例：查找然后，TrFA=TrFB，并且矩阵的乘积不依赖于特定的表示。5.4狄拉克符号，在经典力学中，系统的运动定律与所选坐标无关，引入这些坐标是为了方便处理问题。同样，在量子力学中，粒子的运动定律与所选择的表象无关，而选择表象是为了方便地处理问题。在经典力学中，问题通常以矢量的形式讨论，而不指定坐标系。类似地，在量子力学中，坐标系可能不能用来描述状态和力学量。这样一组符号被称为狄拉克符号。右矢量和左矢量。例如，由波函数描述的状态用表示。标量积运算规则：如果=0，则称之为正交。如果=1，称为归一化状态向量。这表明状态向量是一个完整的正交归一化系统，例如：轨道角动量l=RP，证明在lz的任何本征态中lx和ly的平均值为零，证明如果m是lz=的本征态并且属于m的本征态，因为倒易关系，类似地，使用倒易关系，可以证明q表示中|A的分量是a1(t)、a2(t)的标记，和|B在同一个表示q，3中。具体表示中算子的狄拉克表示。假设算子F具有以下关系，状态向量A和B分别在Q表示中展开。使用|m的左手乘法，然后使用正交性，并且使用两侧的左手乘法来计算X、p、x2、p2以及X和p的平均值，解决方案：因为，使用正交性，我们也使用正交性，对于基态，n=0，这只是不确定性关系的下限，4。解释和，我们知道谐振子的能量是等间距的，n的能量大于n ，这个能量被分成n部分，一部分叫做声子，然后n叫做n-n声子态，(66 66)，解释：如果应用阿波罗函数，湮灭产生一个声子，因此叫做湮灭算符；当作用于一个函数时，产生一个声子，创造算符。因为它被称为声子数算符)，所以共振小波场中的量子就是声子。如果把它与光子相比，那就更清楚了。计算A，A，A，A，A，A，5.6机械量随时间的演化，(1)，因为波函数和算符都与时间有关，平均值也与时间有关。(2)第一项表示算子L的瞬时偏导数的平均值，而第二项积分是利用算子H的埃尔米特积分得到的，h=e，(4)。结论：平均值随时间的变化等于平均值。如果l不包含时间，即(6)，如果，那么，6.2埃赫伦费斯特定理，考虑到坐标和动量的时间导数不包含时间，那么下面的公式成立，并且对于其他分量也成立。为了研究它们的相互作用，我们认为势垒中粒子的哈密顿量是，位置和动量之间的关系与经典力学中坐标和动量之间的关系是一致的。形式类似于经典的牛顿方程。对于三维位置和动量，是的，这是ehrenfest的理论，6.3定律守恒，那么算子对时间的导数为零，它的运动可以看作是常数，即匀速运动。如果一个算符本身不包含时间，也就是说，它是h的倒数，算符h是总能量算符，显然h是自身的倒数。即使它包含时间，它的运动仍然是不变的，这是能量守恒定律。匀速运动算子对我们进一步研究量子力学非常重要。1。守恒量，动量算符P不包含时间。如果V/x=0，这叫做动量守恒定律。对于中心力，势能只是半径R的函数，角动量算符，势能V(r)是倒数。因此，整个哈密顿量就是角动量守恒定律。也可以断定2。尽管如此，势能定律是由动能算符和势能的平均值得到的公式，它在经典力学和量子力学中都成立。在经典力学中，周期运动中的瞬时平均值为零。时间导数，在量子力学中，我们考虑。l得到了一个力定理，它适用于所有n，当然表观值是存在的。TheSchrdingerRepresentation，以前，我们用与时间有关的状态函数(r，t)来描述物理系统的动态演化，这样我们就可以把没有时间的力学量的平均值和概率分布的演化完全分类为波函数随时间的演化。然而，机械量算符并不随时间而变化，因此应用该算符来描述没有时间的物理量。我们称这个描述为薛定谔表象或薛定谔图像。波函数和算符不是实际观察的对象。实际观测的对象是概率分布和波函数平均值的变化。为了解释这两种不同的现象，我们有时称它们为图像。让我们看看算子l的矩阵元素。当描述一个系统时，这两个表示是完全等价的。它们具有相同的表观值和相同的光谱。从一种表示到另一种表示的转换是通过一个依赖于时间的酉矩阵来实现